L’homographie associ´ee aux projections d’un plan

 relie les projet´es de points du plandans les deux images.

L’homographie du plan `a l’infini est appel´ee homographie infinie et d´esign´ee parH

1. Au cha-pitre 3, nous d´ecrivons le rˆole que jouent le plan `a l’infini et son homographie pour la reconstruction et le calibrage affines.

2.6 Quelques relations entre homographies, matrices fondamentales et

matrices de projection

Nous r´esumons bri`evement, dans cette section, quelques formules portant sur le calcul de la matrice fondamentale et les homographies de plans. Nous consid´erons deux cam´eras, avec des ma-trices des param`etres intrins`equesK

1 etK

2 et des matrices d’orientation et des vecteurs de position

R 1 ;R 2 ;t 1ett

2. Leurs matrices de projection sont doncP i =K i R i ( I j,t i

). Les centres de projec-tion sont donn´es parC

T 1 =(t T 1 ;1)etC T 2 =(t T 2 ;1).

Les ´epip ˆoles. L’´epipˆole dans une image est le projet´e du centre de projection de l’autre vue. Les deux ´epipˆoles sont donc donn´es par :

e 1  K 1 R 1 (t 2 ,t 1 ) (2.8) e 2  K 2 R 2 (t 1 ,t 2 ) : (2.9)

L’homographie infinie. Les projections d’un point `a l’infini(Q T

;0) T

sont les pointsq i K i R i Q. Il en d´ecoule que l’homographie infinie entre la vue 1 et la vue 2 se calcule par :

H 1 K 2 R 2 R T 1 K ,1 1 : (2.10)

Notons que dans le cas d’une cam´era effectuant une translation pure, en gardant ses param`etres in-trins`eques constant, l’homographie infinie est alors l’identit´e.

Les homographies g´en´erales. L’homographie d’un plan quelconque T = (n T ;,d)est donn´ee par : H  H 1 +e 2 n T  T C 1 R T 1 K ,1 1 :

Au cas o`u le rep`ere monde co¨ınciderait avec le rep`ere de la premi`ere cam´era, l’homographie devien-drait : H  H 1 +e 2 n T d K ,1 1 :

Il est facile de prouver que les deux ´epipˆoles se correspondent par toute homographie d’un plan, c’est-`a-dire quee

2 H

 e

1pour tout plan.

Les homographies pour des rotations pures. Consid´erons le cas particulier d’une cam´era effec-tuant une rotation pure autour de son centre de projection. Dans ce cas, tous les plans ont la mˆeme homographie (sauf les plans contenant le centre optique, pour lesquels l’homographie n’est pas d´e-finie), et par cons´equent toutes les homographies de plans sont ´egales `a l’homographie infinie (voir l’´equation (2.10)).

La matrice fondamentale et les homographies. La matrice fondamentale peut ˆetre d´etermin´ee par un ´epipˆole et une homographie de plan quelconque par :

F[e 2 ] ^ H  : (2.11)

L’interpr´etation g´eom´etrique de cette formule est simple : l’homographieH

 projette un pointq 1sur le point q

2 dans la deuxi`eme image qui est la projection du mˆeme point 3D de . Puisque q 1 et

q

2 sont des points image correspondants, q

2 doit se trouver sur la droite ´epipolaire de q

1 dans la deuxi`eme image. Par cons´equent, la droitehe

2 q 2 i[e 2 ] ^ H  q

1est cette droite ´epipolaire.

L’´equation suivante ´etablit une relation directe entre les homographies et la matrice fondamentale, qui peut servir `a v´erifier la coh´erence d’une homographie estim´ee avec la g´eom´etrie ´epipolaire :

F T H  +H T  F=0 : (2.12)

La matrice fondamentale et les matrices de projection. Nous donnons maintenant une formule pour calculer la matrice fondamentale `a partir des matrices de projection des deux vues, donn´ees par

P 1 =( P 1 jp 1 )etP 2 =( P 2 jp 2

). Le premier centre de projection est le point :

C 1 = ,P ,1 1 p 1 1 ! :

Sa projection dans la deuxi`eme image est le deuxi`eme ´epipˆole :

e 2 P 2 P ,1 1 p 1 ,p 2 :

L’homographie infinie est donn´ee par H 1

 P 2

P ,1

1 . Donc, d’apr`es (2.11), nous obtenons pour la matrice fondamentale (cette formule n’est valable que si le centre de projection deP

1 n’est pas `a l’infini) : F[P 2 P ,1 1 p 1 ,p 2 ] ^ P 2 P ,1 1 : (2.13)

2.7. CONIQUES, QUADRIQUES, C ˆONES, ... 29

Le chemin inverse, c’est-`a-dire remonter de la matrice fondamentale aux matrices de projection, n’est ´evidemment pas enti`erement d´efini. On peut pourtant donner l’ensemble des solutions. Les matrices de projection compatibles avec une matrice fondamentaleFsont :

P 1 = ( I j0) P 2 = ( H  je 2 ) et les matricesP 1 T;P 2

T, pour toute transformation T

44 non singuli`ere.H

 est une homographie d’un plan quelconque.

2.7 Coniques, quadriques, cˆones, ...

2.7.1 Coniques et quadriques Une quadrique dansP

n

est un ensemble de points satisfaisant une ´equation quadratique en leurs coordonn´ees homog`enes. Dans cette th`ese, nous ne consid´erons que des quadriques avec des coeffi-cients r´eels. Toute quadrique peut ˆetre repr´esent´ee par une matrice(n+1)(n+1)sym´etrique.

Une quadrique imaginaire est une quadrique qui ne contient aucun point r´eel et une quadrique propre est une quadrique dont la matrice est non singuli`ere. Les coniques sont les quadriques du plan projectifP

2

; dans la suite nous n’allons pas distinguer la conique de sa matrice. Une conique dans l’espace 3D – une conique 3D – est d´efinie par son plan support et l’´equation de la conique dans ce plan.

Toutes les coniques propres et imaginaires sont des coniques `a centre [20] (le centre d’une conique est le pˆole de la droite `a l’infini). Les caract´eristiques suivantes se r´ef`erent aux coniques imaginaires et propres. Leur forme normale euclidienne est la matrice diagonale des valeurs propres, d´efinie `a une permutation des valeurs propres pr`es. Si les trois valeurs propres sont distinctes, la conique est une ellipse imaginaire et poss`ede deux axes de sym´etrie. Les axes sont orthogonaux et passent par le centre de la conique. Si les valeurs propres ne sont pas distinctes, la conique est un cercle imaginaire et toutes les droites passant par le centre sont des axes de sym´etrie.

2.7.2 Cˆones

Un cˆone (propre) est une quadrique deP n

de rangn. Nous nous restreignons, dans la suite, au cas deP

3

. Sauf mention contraire, nous comprenons par cˆone une quadrique de rang 3 dansP 3

, dont le vertex (le point singulier) ne se trouve pas sur le plan `a l’infini. Un cˆone est d´efini de mani`ere unique par son vertex et une section plane quelconque ne contenant pas le vertex, les sections planes d’un cˆone ´etant des coniques. Dans le chapitre 7, nous utilisons les cˆones via la notion de cˆone de projection d’une conique 3D, c’est-`a-dire le cˆone trac´e par les rayons de projection des points sur la conique (voir la figure 2.10).

La forme normale euclidienne d’un cˆone est une matrice diagonale de ses valeurs propres, diag( 1 ; 2 ; 3 ;0), avec des

i non nuls. Si tous les

i sont distincts, le cˆone est elliptique et pos-s`ede trois axes mutuellement orthogonaux. Des rotations de 180



autour des axes laissent le cˆone globalement invariant. Si exactement deux des 

i sont ´egaux, le cˆone est circulaire et invariant `a des rotations de degr´e arbitraire autour de son axe principal. Un cˆone avec des valeurs propres non nulles identiques est un cˆone isotropique. Des rotations arbitraires autour du vertex laissent un cˆone isotropique globalement invariant. L’intersection d’un cˆone isotropique avec le plan `a l’infini est la conique absolue (voir plus bas).