R´esum´e et liens vers les chapitres suivants

b P

m

n

i;p

ip

i

p

o`ud(;)d´esigne la distance euclidienne.

Ce crit`ere n’est pas choisi au hasard : si les coordonn´ees des points image sont affect´ees par un bruit gaussien (voir 2.1), ce crit`ere donne la solution au maximum de vraisemblance [178].

3.8 R´esum´e et liens vers les chapitres suivants

Nous avons bri`evement d´ecrit les principes de la stratification de la reconstruction et du cali-brage dans un formalisme d’ajustement de faisceaux. Les niveaux projectif, affine et euclidien ont ´et´e pass´es en revue et nous avons d´ecrit pour chaque niveau quel type d’information est n´ecessaire

3.8. R ´ESUM ´E ET LIENS VERS LES CHAPITRES SUIVANTS 43

pour l’atteindre. L’appariement de primitives image suffit pour la reconstruction et pour le calibrage projectifs. Les deux chapitres suivants sont principalement d´edi´es au d´eveloppement de m´ethodes num´eriques pour cette tˆache.

Ensuite, nous nous int´eressons aux probl`emes de la reconstruction euclidienne non calibr´ee et de l’auto-calibrage. Nous consid´erons surtout le cas o`u aucune information sur la structure de la sc`ene ou sur le mouvement des cam´eras n’est disponible. Les seules connaissances sont des contraintes sur les param`etres intrins`eques telles que leur invariance pour une cam´era en mouvement ou le fait que les pixels sont rectangulaires. Ces cas et quelques autres sont d´ecrits dans le chapitre 6.

Finalement, au chapitre 7, nous d´ecrivons des mouvements de cam´era qui causent des d´eg´en´eres-cences pour la reconstruction euclidienne non calibr´ee et l’auto-calibrage.

4.

Triangulation

– reconstruction `a partir de 2 vues

Triangulation

– reconstruction `a partir de 2 vues

Dans ce chapitre, nous consid ´erons le pro-bl `eme de la reconstruction de points `a partir de deux vues. D’abord, nous passons en revue des m ´ethodes classiques de reconstruction `a partir de vues calibr ´ees, donc des m ´ethodes de reconstruction euclidienne. Ensuite, nous nous concentrons sur le cas de la reconstruction pro-jective, `a partir de vues non calibr ´ees et de la reconstruction affine, ´etant donn ´e un calibrage affine. Nous montrons que les m ´ethodes

((calibr ´ees))sont inappropri ´ees dans ces cas. La partie principale du chapitre est la descrip-tion d’une m ´ethode de reconstrucdescrip-tion, appli-cable aux cas projectif, affine et euclidien, et

qui fournit le r ´esultat optimal, d’apr `es le crit `ere de minimisation des erreurs de reprojection.

Pour cette m ´ethode, nous d ´ecrivons des simplifications qui sont possibles pour certains types de mouvement, impliquant des formes particuli `eres de la matrice fondamentale. Nous pr ´esentons ´egalement d’autres m ´ethodes et dis-cutons leur applicabilit´e aux diff ´erents cas de reconstruction. Les r ´esultats d’exp ´eriences ´eva-luant toutes ces m ´ethodes sont donn ´es en fin de chapitre.

Les r ´esultats de ce chapitre ont ´et ´e obtenus en grande partie en collaboration avec Richard Hartley. Une partie des r ´esultats a ´et ´e publi ´ee dans [73, 74, 75].

4.1 Le probl`eme de la triangulation

Nous supposons qu’un point Qde R 3

est visible dans deux vues, dont les matrices de projec-tionP

1 etP

2sont connues. Soientq 1 etq

2les projections deQdans les deux vues. Il est facile de d´eterminer les rayons de projection correspondant aux deux points image. Le probl`eme de la trian-gulation consiste en la d´etermination de l’intersection des deux rayons de projection. `A premi`ere vue, ce probl`eme semble ˆetre trivial puisque l’intersection de deux droites ne repr´esente aucune difficult´e. Pourtant, en pr´esence de bruit dans les coordonn´ees des points image, les rayons de projection ne se coupent g´en´eralement pas, et il devient alors n´ecessaire de trouver une meilleure solution, sous l’hy-poth`ese d’un certain mod`ele de bruit. La m´ethode classique consiste `a choisir le point minimisant la somme des distances aux rayons de projection non incidents – il s’agit du point milieu de la perpen-diculaire commune aux rayons. Cette solution s’appuie sur des notions euclidienne (perpendicularit´e) et affine (point de milieu) et n’a donc pas de sens si nous consid´erons la reconstruction projective ou mˆeme affine (pour la perpendicularit´e) o`u le monde 3D n’est connu qu’`a une transformation pro-jective ou affine pr`es. Nous proposons dans la suite l’utilisation d’un autre crit`ere de minimisation, qui est bas´e sur des distances dans les images. Ceci a l’avantage qu’on combat le bruit l`a o`u il se manifeste – dans la position des points image – et que le crit`ere est valide pour tous les niveaux de reconstruction – euclidien, affine et projectif.

Organisation de ce chapitre. Nous introduisons d’abord la notion d’invariance de m´ethodes de triangulation par rapport `a des transformations de l’espace 3D d’un groupe donn´e. Ensuite, dans la section 4.3 nous rappelons bri`evement les m´ethodes classiques de reconstruction `a partir de deux vues. Dans la section 4.4, nous proposons un crit`ere de minimisation dans les images. Une m´ethode origi-nale de triangulation qui r´esout ce crit`ere de mani`ere optimale est d´evelopp´ee en 4.5. Ensuite, nous ´etudions des simplifications de la complexit´e alg´ebrique de notre m´ethode dues `a des mouvements particuliers entre les deux vues. En 4.7, nous d´ecrivons d’autres m´ethodes, quelques-unes originales, qui ont ´et´e compar´ees avec la m´ethode optimale et nous pr´esentons des r´esultats d’exp´eriences en 4.8. Le chapitre est clos par un ensemble de conclusions.