0 a ,ab a 0 c,d ,ab ,c,d 2bd 1 A :
Les ´epipˆoles sont e 1 = ( d,c a ;b;1) T et e 2 = ( d+c a ;b;1) T
et leur point milieu est q = ( d a
;b;1) T
. Appliquer la mˆeme translation dans les deux images, qui ram`eneq`a l’origine, d´eplace les ´epipˆoles sur les axes desurespectifs, sur des points oppos´es par rapport `a l’origine. La matrice fondamentale transform´ee est de la forme :
F 0 @ 0 a 0 a 0 c 0 ,c 0 1 A ;
et les ´epipˆoles sont les points(, c a ;0;1) T et( c a ;0;1) T
. Contrairement `a la m´ethode g´en´erale, nous ne pla¸cons pas les points image `a l’origine, ce qui doit ˆetre pris en compte lors de la construction de la fonction de coˆut. Soientq
0 1
etq 0 2
les points image transform´es par les translations d´ecrites. Poly. La fonction de coˆut est :
s 1 (t)= (cq 0 12 ,aq 0 11 t,ct) 2 +(cq 0 22 +aq 0 21 t,ct) 2 a 2 t 2 +c 2 et le polynˆomer 1
(t)est une fonction quadratique ent:
r 1 (t) = t 2 a 2 c(a(q 0 11 q 0 12 ,q 0 21 q 0 22 )+c(q 0 12 +q 0 22 ))+ tc 2 (2c 2 +a 2 (q 0 11 2 +q 0 21 2 ,q 0 12 2 ,q 0 22 2 )+2ac(q 0 11 ,q 0 21 )), c 3 (a(q 0 11 q 0 12 ,q 0 21 q 0 22 )+c(q 0 12 +q 0 22 )) :
Nous obtenons donc directement les deux solutions candidates possibles. Il est tout de mˆeme n´eces-saire d’´evaluer la fonction de coˆut pour t = 1, pour traiter la situation o`u b
q 0
1 se trouverait sur la mˆeme droite verticale quee
1. Nous obtenons la valeurs 1 (1)= 2c 2 +a 2 (q 0 11 2 +q 0 21 2 )+2ac(q 0 11 ,q 0 21 ) a 2 .
Poly-Abs. La fonction de coˆut est :
s 2 (t)= jcq 0 12 ,aq 0 11 t,ctj+jcq 0 22 +aq 0 21 t,ctj p a 2 t 2 +c 2 : Le polynˆomer
2est quadratique, tout commer 1: r 2 (t)=ac 2 (c(q 0 11 +q 0 21 )+a(q 0 12 ,q 0 22 )t)(2c 2 +a 2 (q 0 12 +q 0 22 )t+ac(q 0 11 ,q 0 21 )) ;
et nous pouvons tirer les mˆemes conclusions pour ce cas.
4.7 Autres m´ethodes de triangulation
Dans cette section, nous pr´esentons quelques autres m´ethodes de triangulation qui ont ´et´e compa-r´ees avec les m´ethodes POLYet POLY-ABS(voir les r´esultats exp´erimentaux dans la section 4.8).
4.7. AUTRES M ´ETHODES DE TRIANGULATION 61
4.7.1 M´ethodes lin´eaires
En dehors de la m´ethode du POINT MILIEU, les m´ethodes lin´eaires pr´esent´ees dans la suite sont les plus populaires. Consid´erons la projection d’un point 3DQsur un pointqdans l’image :
qPQ :
Nous ´ecrivons en coordonn´ees homog`enesq=w(u;v;1) T
, o`u(u;v)sont les coordonn´ees observ´ees etwest un facteur d’´echelle inconnu. En notantp
T i lai
e ligne de la matrice P, cette ´equation peut s’´ecrire comme : wu=p T 1 Q ; wv =p T 2 Q ; w=p T 3 Q :
En ´eliminantwnous obtenons :
up T 3 Q=p T 1 Q vp T 3 Q=p T 2 Q : (4.11) Avec deux vues, nous obtenons au total 4 ´equations lin´eaires par rapport aux coordonn´ees de
Q, qui peuvent ˆetre mises ensemble en un syst`eme d’´equations de la formeAQ = 0, o`uAest une matrice44. Ces ´equations d´efinissentQseulement `a un facteur d‘´echelle pr`es et nous cherchons une solution non-nulle pourQ. Bien entendu, en pr´esence de bruit dans les donn´ees, les ´equations ne seront pas satisfaites exactement, et nous cherchons une(( meilleure )) solution. Nous d´ecrivons maintenant deux m´ethodes pour ce faire.
La premi`ere consiste `a trouverQqui minimisejjAQjj, sous la contraintejjQjj=1. La solution est le vecteur propre unitaire qui correspond `a la plus petite valeur propre de la matriceA
T
A. Il peut ˆetre d´etermin´e en utilisant une d´ecomposition en valeurs singuli`eres (SVD) ou la m´ethode de Jacobi pour trouver les valeurs propres de matrices sym´etriques [159]. Nous appelons ce proc´ed´e la m´ethode LIN-PROPRE.
Une deuxi`eme approche consiste `a fixer une coordonn´ee deQ, par exemple en ´ecrivant :
Q= 0 B B @ X Y Z 1 1 C C A :
Ainsi, nous r´eduisons l’ensemble des ´equations homog`enes AQ = 0 `a un syst`eme de 4 ´equations non-homog`enes en 3 inconnues. La solution aux moindres carr´es peut ˆetre trouv´ee par la m´ethode des pseudo-inverses ou par une d´ecomposition en valeurs singuli`eres. Nous appelons cette approche la m´ethode LIN-MC.
Les deux m´ethodes sont similaires, mais elles ont par contre des propri´et´es assez distinctes en pr´esence de bruit dans les donn´ees. La m´ethode LIN-MC suppose que le point Q n’est pas `a l’in-fini puisque sa quatri`eme coordonn´ee est fix´ee `a1. Ceci peut ˆetre d´esavantageux dans le cas d’une reconstruction projective o`u des points reconstruits peuvent se trouver sur le plan `a l’infini.
Outre ceci, aucune des deux m´ethodes n’est appropri´ee `a la reconstruction projective puisqu’elles ne sont pas projectivement invariantes. Afin de se rendre compte de ceci, supposons que les matrices de projectionP
1 etP
2 sont remplac´ees parP 1 T ,1 etP 2 T ,1
. La matrice du syst`eme d’´equationsA
devient alorsAT ,1
. Un pointQtel queAQ=pour le probl`eme original correspond `a un pointTQ
satisfaisant(AT ,1
)(TQ)=pour le probl`eme transform´e. Donc, il y a une correspondance bijective entre les pointsQet les pointsTQqui m`ene `a la mˆeme erreur. Pourtant, ni la conditionjjQjj=1ni
Q 4
=1ne sont invariantes par application d’une transformation projectiveT. Par cons´equent, si un pointQr´esout le probl`eme original, le point transform´eTQne sera g´en´eralement pas la solution du probl`eme transform´e.
La situation est diff´erente pour les transformations affines. Bien que la conditionjjQjj=1ne soit pas pr´eserv´ee par les transformations affines, la deuxi`eme param´etrisation,Q =(X;Y;Z ;1)
T
l’est, puisque pour une transformation affineT:T(X;Y;Z ;1)
T =(X 0 ;Y 0 ;Z 0 ;1) T
. Ceci veut dire qu’il y a une correspondance bijective entre les vecteursQ=(X;Y;Z ;1)
T (avecA(X;Y;Z ;1) T =) et les vecteursTQ = (X 0 ;Y 0 ;Z 0 ;1) T (avec(AT ,1 )(X 0 ;Y 0 ;Z 0 ;1) T
= ). L’erreur est la mˆeme pour des points correspondants. Donc, les points qui minimisent l’erreurjjjjse correspondent, ce qui signifie que la m´ethode LIN-MC est invariante aux transformations affines tandis que LIN-PROPRE ne l’est pas. Ces conclusions sont confirm´ees par les r´esultats des exp´eriences.
4.7.2 M´ethodes lin´eaires it´eratives
Un inconv´enient des m´ethodes LIN-MC et LIN-PROPREest que la valeur minimis´eejjAQjjn’a pas de signification g´eom´etrique. Surtout, elle ne correspond pas au crit`ere des erreurs de reprojection (4.1). En outre, une pond´eration individuelle des ´equations homog`enes (lignes deA) changera la so-lution. L’id´ee de base pour les m´ethodes pr´esent´ees ci-dessous est de changer les poids des ´equations de mani`ere it´erative afin de faire correspondre la valeur minimis´ee `a l’erreur de reprojection.
Consid´erons la premi`ere des ´equations (4.11). En g´en´eral, le pointQtrouv´e ne satisfera pas cette ´equation – mais engendre une erreur=up
T 3
Q,p T 1
Q. La quantit´e `a minimiser est la diff´erence entre les coordonn´ees udu point mesur´e et de celui reprojet´e (p
T 1
Q=p T 3
Q). Concr`etement, nous voulons minimiser : 0 ==p T 3 Q=u,p T 1 Q=p T 3 Q :
Ceci signifie que si l’´equation avait ´et´e pond´er´ee par le facteur1=w, o`u :
w=p T 3
Q ;
l’erreur r´esultante aurait ´et´e pr´ecis´ement ce que nous voulons minimiser. Le mˆeme poids1=w est `a attribuer `a la deuxi`eme ´equation de (4.11). Le poids correct pour les ´equations associ´ees `a la deuxi`eme image,1=w
0
, est d´etermin´e de mani`ere analogue.
Bien entendu, nous ne pouvons pas pond´erer les ´equations au pr´ealable parce que les poids d´e-pendent des coordonn´ees du point `a reconstruire Q que nous ne connaissons qu’apr`es avoir r´esolu les ´equations ! C’est pourquoi nous proc´edons de mani`ere it´erative pour adapter les poids. Nous com-men¸cons en mettant w
0 = w
0 0
= 1, et utilisons une des m´ethodes LIN-PROPRE ou LIN-MC pour trouver une solution initialeQ
0. Ensuite, nous pouvons mettre `a jour les poids. Ce processus est r´ep´et´e plusieurs fois, multipliant `a la i
e it´eration les ´equations (4.11) par1=w i (respectivement1=w 0 i ) o`uw i(respectivement w 0 i
) est d´etermin´e `a l’aide de la solution Q
i,1de l’it´e-ration pr´ec´edente. Apr`es quelques it´el’it´e-rations, ce processus va converger (on l’esp`ere), auquel cas nous auronsQ i =Q i,1et alorsw i =p T 3 Q
i. L’erreur (pour la premi`ere ´equation de (4.11) par exemple) approchera l’erreur de reprojection :
i u,p T 1 Q i =p T 3 Q i.
Cette approche peut se baser et sur LIN-PROPRE et sur LIN-MC. Nous appelons les m´ethodes r´esultantes IT-PROPRE et IT-MC. L’avantage de ces m´ethodes par rapport `a d’autres m´ethodes de moindres carr´es non lin´eaires comme Levenberg-Marquardt (LM) [159] est qu’elles sont tr`es faciles `a impl´ementer. En effet, leur impl´ementation ne requiert qu’une adaptation triviale des m´ethodes lin´eaires. Il n’y a pas besoin d’une m´ethode d’initialisation s´epar´ee comme c’est souvent n´ecessaire