Figure 12.1. Disque du plan
12.2. Fronti`ere d’un sous-ensemble
Rappel : SiDest une partie deR2, on appelle compl´ementaire deD, le sous-ensemble not´eDc d´efini par : Dc=R2\ D={(x, y)∈R2|(x, y)6∈ D}.
D´efinition 12.3. — SoitDun sous-ensemble de R2,D 6=R2. On dit que le pointA est un point-fronti`ere deD si toute boule ouverte de centreA, de rayon non nul, rencontre `a la foisDet son compl´ementaire.La fronti`ere deD, not´eeFr(D), est l’ensemble de ses points-fronti`ere.
Le compl´ementaire deR2 est l’ensemble vide. Par suite, pour tout A de R2, toute boule ouverte de centreA, de rayon non nul, ne peut avoir de point commun avec le compl´ementaire deR2.Autrement dit,R2 n’a pas de fronti`ere.
Deux sous-ensembles compl´ementaires, diff´erents deR2 et de l’ensemble vide∅, ont la mˆeme fronti`ere. Dans la figure 12.2, les pointsB1 etB2sont des points-fronti`ere deD.B1 appartient `aDmais pasB2.
Figure 12.2. Fronti`ere d’un ensemble
12.3. Ouverts, ferm´es 12.3.1. D´efinitions. —
D´efinition 12.4. — SoitDune partie deR2,D 6=R2.
Dest une partie ouverteouun ouvert siDest vide ou siDne contient aucun point de sa fronti`ere.
Destune partie ferm´eeouun ferm´e si son compl´ementaire est un ouvert, donc siDcontient tous les points de sa fronti`ere.
Remarque 12.5. — SiDest un ouvert, pour tout pointAdeD, il existe une boule ouverte de centreAet de rayonr(r >0)contenue dansD:
Dest un ouvert non vide ⇐⇒ ∀A∈ D,∃r >0, B(A, r)⊂ D.
En particulier, siA est un point d’un ouvert D, alors tous les points tr`es ”proches” de A (au voisinage deA) appartiennent encore `a D. On peut toujours se d´eplacer d’une faible distance `a partir de A, dans toutes les directions, tout en restant dansD.
De nombreuses parties de R2ne sont ni ouvertes ni ferm´ees, comme l’illustre l’exemple 12.6 ci-dessous.
12.4. SOUS ENSEMBLES BORN ´ES - COMPACTS 53
Exemple 12.6. — SoitD={(x, y)∈R2|x2+y264 et x+y >0}. Il sufft de faire un dessin pour constater queDcontient certains points de sa fronti`ere, par exemple (2,0), doncDn’est pas un ouvert. MaisDne contient pas tous ses points-fronti`ere (par exemple (0,0)) doncDn’est pas ferm´e non plus.
12.3.2. Int´erieur d’un ensemble. —
D´efinition 12.7. — SoitDune partie quelconque deR2. Un pointA deDest ditpoint int´erieurdeDs’il existe une boule ouverte de centreA et de rayonr(r >0) contenue dansD.
On apelleint´erieur deDl’ensemble de tous les points int´erieurs deD. On le note ˚D.
SoitD 6=R2. Un pointAdeDn’est pas un point int´erieur deD, si toute boule ouverte de centreAet de rayon r (r >0) n’est pas enti`erement contenue dans D, c’est-`a-dire si son intersection avec le compl´ementaire de D est non vide.
Autrement dit : les points int´erieurs de Dsont les points deDqui ne sont pas sur la fronti`ere.
On montre, et nous l’admettrons, que l’ensemble ˚Dest un ouvert. C’est le plus grand ouvert contenu dans D.
Par suite,Dest un ouvert si et seulement siD= ˚D.
Exemple 12.8. — La boule ouverteB(A, r) est l’int´erieur de la boule ferm´ee B(A, r).
12.3.3. Catalogue. — Notons que dans les exercices la nature topologique des ensembles sera toujours pr´ecis´ee.
Le catalogue suivant n’est pas `a retenir mais aidera `a comprendre la nature topologique des exemples rencontr´es (voir exercices).
(i) R2 et∅sont les seuls ensembles ouverts et ferm´es.
(ii) Une boule ouverte est une partie ouverte.
(iii) Une boule ferm´ee est une partie ferm´ee.
(iv) Une partie r´eduite `a un point est ferm´ee car on peut ´ecrire{A}=B(A,0).
(v) R2 priv´e d’un point est un ouvert (puisque son compl´ementaire est ferm´e).
(vi) Toute partie, d´efinie `a l’aide de fonction(s) continue(s) (par exemple un ou des polynˆome(s)) et par une ou des in´egalit´es strictes est une partie ouverte.
(vii) Toute partie, d´efinie `a l’aide de fonction(s) continue(s) et par une ou des in´egalit´es larges (ou des ´egalit´es) est une partie ferm´ee. En particulier :
– Tout demi-plan deR2d´efini par une in´egalit´e stricte est un ouvert.
– Tout demi-plan deR2d´efini par une in´egalit´e large est un ferm´e.
– Toute droite deR2est un ferm´e.
– Tout cercle deR2 est un ferm´e.
(viii) Le produit cart´esien de deux intervalles ouverts (resp. ferm´es) est un ouvert deR2 (resp. ferm´e).
12.4. Sous ensembles born´es - Compacts 12.4.1. Sous-ensembles born´es. —
D´efinition 12.9. — Une partieDdeR2estune partie born´ee ou un sous-ensemble born´esi l’une des deux conditions ´equivalentes suivantes est r´ealis´ee :
(i) On peut inclureDdans une boule (ferm´ee ou ouverte)
(ii) Il existem1>0 etm2>0, tels que pour toutM = (x, y)∈ D,|x|6m1et |y|6m2. Preuve. — On va montrer que (i) implique (ii) puis que (ii) implique (i).
– (i)⇒(ii) Supposons doncD ⊂B(A, r) (le raisonnement est le mˆeme avec la boule ouverte). On poseA= (a, b). puisque la racine carr´ee est croissante surR+. Comme
|x−a|>
|x| − |a|
>|x| − |a|,
54 CHAPITRE 12. TOPOLOGIE DE L’ENSEMBLER2
on en d´eduit que |x|6|a|+r. On trouve donc la borne sur |x| dans (ii) en posantm1=|a|+r. De m´Ime, en partant de|y−b|6r, on trouve que |y|6m2en posant m2=r+|b|.
– (ii)⇒(i) Supposons qu’il existem1>0 etm2>0 tels que pour tout M = (x, y)∈ D,|x|6m1et |y|6m2. Posonsm= max(m1, m2). Alors
x26m2 ety26m2 ce qui donne
x2+y262m2. En passant aux racines carr´ees, on obtient :p
x2+y2 6√
2mavecm >0. DoncDest inclus dans la boule de centreO et de rayon√
2m.
Exemple 12.10. — En particulier toute boule (ouverte ou ferm´ee) ainsi que sa fronti`ere (cercle) sont des parties born´ees puisque ces sous-ensembles sont inclus dans la boule ferm´ee de mˆeme rayon.
Remarque 12.11. — D’apr`es (ii) une partieDest born´ee si et seulement si les deux coordonn´ees des points deDsont born´ees dansR(donc on peut inclureDdans un rectangle).
Exemple 12.12. — E= [1,2]×]−1,5] est un born´e deR2 car pour tout point M = (x, y)∈E, on a|x|62 et|y|65.
Dans les exercices pour montrer qu’un ensemble n’est pas born´e, on s’appuiera sur le r´esultat suivant : Proposition 12.13. — Une demi-droite (donc une droite) du plan n’est pas un ensemble born´e. En parti-culier, tout sous-ensemble de R2 qui contient une demi-droite n’est pas born´e.
Preuve. — On consid`ere la demi-droiteDd’extr´emit´e le pointM0= (x0, y0) et de vecteur directeurv= (a, b) avec (a, b)6= (0,0). Dest alors l’ensemble des pointsM =M0+t v avect d´ecrivantR+. Donc tous les points de coordonn´ees (xn, yn) avecn∈Nde la forme
xn = x0+a n, yn = y0+b n,
appartiennent `a la demi-droite. La demi-droite n’est pas born´ee car l’une au moins des deux suites de coordonn´ees est une suite non born´ee (tendant vers l’infini lorsquentend vers l’infini).
12.4.2. Sous-ensembles compacts. —
D´efinition 12.14. — Une partieDdeR2estune partie compacte ou un compact deR2siDest un ensemble ferm´e et born´e.
Proposition 12.15. — Toute boule ferm´ee et tout cercle sont des compacts de R2.
Preuve. — En effet, d’une part, d’apr`es l’exemple 12.10 les boules ferm´ees et les cercles sont des ensembles born´es. D’autre part, d’apr`es le catalogue, toute boule ferm´ee est un ferm´e et tout cercle est un ferm´e.
CHAPITRE 13
PARTIES CONVEXES DE R
2Nous verrons au chapitre 21 la d´efinition des fonctions convexes ou concaves. Ces fonctions sont tr`es importantes en ´economie. Le domaine de d´efinition d’une telle fonction ne peut pas ˆetre une partie quelconque de R2 mais devra v´erifier les propri´et´es introduites dans ce chapitre.
13.1. Segment dans R2
Consid´erons la droite passant par deux points distinctsAet B deR2. Pour tout point M de la droite (AB) = D(A, B) (voir Proposition 11.27 page 47) il existe un r´eelt tel que
(13.1) M =A+t−→
AB= (1−t)A+t B.
Le segment joignant les points Aet B est l’ensemble des points de la droite (AB) qui sont compris entreAet B. On le note [A, B]. On a d’ailleurs [A, B] = [B, A].
Si t = 0 dans l’´equation (13.1), on trouve le point M =A, si t = 1 on trouve le point M =B. Donc si t est compris entre 0 et 1, le pointM sera entreAetB. Ceci nous conduit `a la d´efinition suivante :
D´efinition 13.1. — SoientAet B deux points deR2. On appellesegment [A, B] l’ensemble des pointsM deR2 pouvant s’´ecrire sous la forme :M = (1−t)A+t B avect∈[0,1].
Comme [A, B] = [B, A], on peut ´echanger les rˆoles jou´es par AetB.
13.2. Sous-ensembles convexes de R etR2
Dans la figure 13.1, l’ensembleD1 sera dit convexe par contre l’ensembleD2 n’est pas convexe.
Figure 13.1. D1 est convexe,D2 ne l’est pas
D´efinition 13.2. — Un sous-ensembleCdeRn (n= 1 oun= 2) est ditconvexes’il est vide ou si pour tout couple (A, B) de points deC le segment [A, B] est enti`erement contenu dansC. C’ est-`a-dire :
∀A∈ C,∀B∈ C,∀t∈[0,1], (1−t)A+t B∈ C.
Remarque 13.3. — SiA=B, pour toutt∈[0,1],t A+ (1−t)A=A. Donc [A, A] ={A}. Un sous-ensemble r´eduit `a un point est donc convexe.
M´ethode 13.4. — Pour montrer qu’un sous-ensemble DdeR2n’est pas convexe on exhibe deux points Aet B deDdont le milieu A+B
2 = 1
2A+1
2B n’est pas dansD.
La proposition suivante liste les ensembles convexes `a connaˆıtre.