23. Extrema libres pour deux variables
23.2. Nature des points critiques
= (0,0)⇐⇒ x=y= 0
etf(0,0) = 1. Or,∀(x, y)∈U,f(x, y)61, on en d´eduit que (0,0) donne un maximum (global) pourf surU . Exemple 23.5. — Soit la fonctionf(x, y) =x2−y2. La fonctionf est de classeC1 surR2 (polynˆome).
On a ∇f(x, y) = (2x,−2y) = (0,0)⇐⇒x= y = 0. f(0,0) = 0. Pour x6= 0 on a f(x,0) =x2 > 0, et pour y 6= 0 on af(0, y) =−y2 <0. Suivant les directions prises pour aller vers (0,0), on rencontre en ce point soit un minimum, soit un maximum pourf.
La fonction f n’admet ni maximum, ni un minimum en (0,0). La condition du th´eor`eme 23.1 n’est donc pas suffisante. On pourra voir sur la figure 23.1 le graphique de la fonctionf autour du point (0,0).
Figure 23.1. Un point col
D´efinition 23.6. — Si (¯x,y) est un point critique qui ne donne ni un maximum local, ni un minimum local,¯ pour f surU , on dit quef pr´esente unpoint selle ou point colen (¯x,y).¯
Remarque 23.7. — L’hypoth`eseU ouvert deR2est indispensable comme le montre l’exemple suivant. Soit la fonction f(x, y) =x+y et soitU = [0,1]×[0,1]. Alors ∀(x, y)∈U,f(x, y)62 etf(1,1) = 2. Ainsif admet en (1,1) un maximum global surU. Or, les d´eriv´ees partielles def ne sont pas nulles en (1,1).
23.2. Nature des points critiques
Comme le montre l’exemple 23.5, les points critiques ne donnent pas forc´ement un extremum pourf. Ce sont seulement des points candidats et ce sont d’ailleurs les seuls, sif est de classeC1surU ouvert.
Principe : soit (¯x,y)¯ ∈ U, point critique def et soit le vecteur (h, k) tel que (¯x+h,y¯+k)∈ U. Pour pouvoir conclure que (¯x,y) donne bien un extremum pour¯ f surU et pr´eciser s’il s’agit d’un maximum ou d’un minimum il faut :
– Si ∀(h, k) tel que (¯x+h,y¯+k)∈ U, ∆f(¯x,¯y)(h, k) est de signe constant alors (¯x,y) donne un extremum global¯ def surU .
– Si lorsque la norme de (h, k) est petite, c’est-`a-dire lorsque hetksont assez petits, ∆f(¯x,¯y)(h, k) est de signe constant alors (¯x,y) donne un extremum local de¯ f surU .
– Dans le cas contraire, c’est-`a-dire lorsque ∆f(¯x,¯y)(h, k) change de signe, mˆeme pourhetkpetits, alors (¯x,y)¯ donne un point col. On pourra de nouveau consulter la figure 23.1.
L’´etude du signe de la diff´erence ∆f(¯x,¯y)(h, k) peut se faire directement dans certains cas simples (voir l’exemple 23.3) mais ce n’est pas en g´en´eral le cas, et on utilise alors les th´eor`emes 23.10 ou 23.11 qui sont ´enonc´es dans les pages suivantes.
23.2. NATURE DES POINTS CRITIQUES 99
23.2.1. ´Etude directe. — Dans certains probl`emes, il est inutile de faire appel `a des r´esultats savants, le simple bon sens suffit. (0,0) est le seul point critique et
∆f(0,0)(h, k) =f(0 +h,0 +k)−f(0,0) =h4−k2.
Supposons|h|et|k|suffisamment petits. Sik= 0 eth6= 0, alors ∆f(0,0)(h, k) =h4>0, sih= 0 et k6= 0, alors
∆f(0,0)(h, k) =−k2 <0. Donc ∆f(0,0)(h, k) change de signe sur tout voisinage de (0,0). Ainsi le point (0,0) donne un point col (voir la figure 23.1).
23.2.2. Condition suffisante d’extremum global sur U ouvert convexe. —
Th´eor`eme 23.10 (Extrema des fonctions convexes et concaves). — Soient f une fonction d´efinie surDf ⊂R2etU ⊂ Df un ensemble ouvert convexe. On suppose quef est de classeC1surU. Soit(¯x,y)¯ ∈ U. – Si ∇f(¯x,y) = (0,¯ 0)etf convexe sur U alorsf pr´esente en(¯x,y)¯ un minimum globalU .
– Si ∇f(¯x,y) = (0,¯ 0)etf concave surU alorsf pr´esente en(¯x,y)¯ un maximum globalU .
Preuve. — Supposons quef soit convexe surU. D’apr`es la d´efinition de la convexit´e, le graphe def est donc au-dessus du plan tangent passant par (¯x,y). Ainsi on obtient pour tout (x, y)¯ ∈ U,
f(x, y)>f(¯x,y) +¯ h∇f(¯x,y),¯ (x−x, y¯ −y)i,¯
ce qui donne, puisque (¯x,y) est un point critique de¯ f,f(x, y)>f(¯x,y). Donc¯ f pr´esente en (¯x,y) un minimum¯ global surU.
Avecf concave les in´egalit´es changent de sens et on trouve un maximum global.
23.2.3. Condition suffisante d’extremum local ou condition du second ordre. —
Th´eor`eme 23.11. — Soitf une fonction de classe C2 d´efinie sur un U ouvert deR2 et soit(¯x,y)¯ ∈ U tel
Dans le th´eor`eme 23.11 les d´eriv´ees partielles secondes sont calcul´ees au point critique. Ce sont donc des nombres r´eels.
Preuve. — Si rt−s2 > 0 alors la fonctionf est localement convexe ou localement concave au voisinage du point(¯x,y), on en d´¯ eduit qu’elle est convexe ou concave sur une boule ouverte de centre (¯x,y) et, en appliquant¯ le th´eor`eme 23.10, f admet un extremum global sur cette boule ouverte. Cet extremum est alors au moins un extremum local pourf surU, d’o`u les deux premiers r´esultats.
Cet extremum est peut-ˆetre global surU mais il faudra d’autres arguments pour le justifier.
Pour justifier le troisi`eme r´esultat, ´ecrivons la formule de Taylor-Young `a l’ordre 2 (ou un DL d’ordre 2) au voisinage du point critique. Comme le terme du premier ordre est nul on obtient :
f(¯x+h,y¯+k) =f(¯x,y) +¯ 1
2(rh2+ 2shk+tk2) + (h2+k2)ε(h, k) c’est-`a-dire :f(¯x+h,y¯+k)−f(¯x,y) =¯ d2f(¯x,¯y)(h, k) +reste.
Si rt−s2<0, alorsr,s, tne sont pas nuls tous les trois. On suppose (h, k)6= (0,0). Sid2f(¯x,y)¯(h, k)6= 0 et si les valeurs de|h| et|k|sont suffisamment petites, le reste est n´egligeable devant le terme du deuxi`eme ordre et
100 CHAPITRE 23. EXTREMA LIBRES POUR DEUX VARIABLES d2f(¯x,¯y) change de signe sur toute boule ouverte de centre (¯x,y) mˆ¯ eme de rayon suffisamment petit.
Par suite (¯x,y) donne un point col pour¯ f surU.
Remarque 23.12. — Voici quelques points importants :
1. On d´eduit du th´eor`eme 23.11 que, si une fonction est localement convexe au voisinage d’un point critique alors elle admet un minimum local en ce point, et si une fonction est localement concave au voisinage d’un point critique alors elle admet un maximum local en ce point.
2. La surface repr´esentative d’une fonction localement convexe au voisinage du point (¯x,y) a, au voisinage¯ de ce point, l’allure du graphe def(x, y) =x2+y2au voisinage de (0,0), voir figure 14.4.1.2 page 62.
3. La surface repr´esentative d’une fonction localement concave au voisinage du point (¯x,y) a, au voisinage¯ de ce point, l’allure du graphe de f(x, y) = −x2−y2 au voisinage de (0,0) (renverser la figure 14.4.1.2 page 62).
4. La surface repr´esentative d’une fonction qui admet un point col au point (¯x,y) a, au voisinage de ce point,¯ l’allure du graphe def(x, y) =x2−y2 au voisinage de (0,0), voir figure 23.1 page 98.
Remarque 23.14. — Le th´eor`eme 23.11 ne donne aucune conclusion lorsquert−s2 = 0 car, dans ce cas, tout peut se produire : maximum, minimum, point col. Dans une telle situation :
1. On ´ecrit le DL d’ordre 2 au point critique (¯x,y) :¯ f(¯x+h,y¯+k)−f(¯x,y) =¯ d2f(¯x,¯y)(h, k) +reste.
2. On suppose les valeurs de|h|et|k|suffisamment petites.
(a) pour les valeurs dehet ktelles qued2f(¯x,¯y)(h, k)6= 0, on n´eglige le reste et le signe def(¯x+h,y¯+ k)−f(¯x,y) est celui de¯ d2f(¯x,¯y)(h, k).
(b) pour les valeurs dehetktelles qued2f(¯x,¯y)(h, k) = 0 on ´etudie directement le signe de la diff´erence f(¯x+h,y¯+k)−f(¯x,y).¯
3. On conclut en comparant les r´esultas des cas (a) et (b).
Exemple 23.15. — Dans l’exemple 23.9 on aurait pu aussi raisonner comme suit.
La fonctionf est de classeC2 surR2(c’est un polynˆome) etO= (0,0) est le seul point critique.
On trouver= 12x2,s= 0 ett=−2.
Pour le point (0,0) on a rt−s2= 0. Le th´eor`eme 23.11 ne permet pas de conclure.
1. ´Ecrivons le DL d’ordre 2 au point critique (0,0) :f(0 +h,0 +k)−f(0,0) =−k2+reste 2. Supposons les valeurs de|h| et|k| suffisamment petites.
3. Sik6= 0, on peut n´egliger le reste et ´ecriref(0 +h,0 +k)−f(0,0)' −k2. La diff´erence est donc n´egative