de la production additionnelle obtenue avec une unit´e suppl´ementaire de travail en raisonnant comme suit. La fonction marginale est
fm(x) =f0(x) = 1 4√
x donc fm(900) = 1
120 '0,00833333
est une bonne mesure de la production additionnelle cherch´ee et il est plus facile de travailler avec le seul terme fm(900) qu’avec la diff´erencef(901)−f(900).
8.2.2. Variation absolue. —
Proposition 8.6. — Soitf une fonction ´economique (production, coˆut, utilit´e, demande) d´efinie sur]0,+∞[
`
a valeurs positives, d´erivable et d´ependant de la variablex(quantit´e, prix). Si la variablexvarie dea`aa+∆x, alors la variation absolue de f est ´egale au produit de la fonction marginale (calcul´ee au point consid´er´e a) par l’accroissement de la variable, i.e.
∆fa(∆x) =f(a+ ∆x)−f(a)'fm(a)∆x.
Exemple 8.7. — Supposons que la firme de l’exemple 8.5 diminue sa force de travail en passant de a= 900 unit´es `a 891 unit´es. On cherche `a donner une estimation de la variation de la production qui en r´esulte. Les donn´ees sont :
la production diminue d’environ 0,075 unit´es. On peut dire que la nouvelle production sera approximativement
´ egale `a
f(891)'f(900) +fm(900)×(−9) = 14,925.
La m´ethode pr´ec´edente permet de faire des estimations rapides avec des calculs assez simples.
La fonction marginale et la variation absolue d´ependent des unit´es choisies. Pour ´eviter cet inconv´enient, on introduit la notion de variation relative.
8.3. Variation relative et ´elasticit´e
La variation relative est le quotient de la variation absolue avec la valeur initiale. Dans la situation ´evoqu´ee dans l’exemple pr´ec´edent, la variation relative de la production quandxpasse de 900 `a 891 sera
f(891)−f(900) f(900) .
Comme le num´erateur et le d´enominateur sont mesur´es avec la mˆeme unit´e, les unit´es apparaissent dans le processus de division et le r´esultat s’exprime en pourcentage.
Plus g´en´eralement, soitf une fonction ´economique d´efinie sur ]0,+∞[, positive et d´erivable, d´ependant de la variablex. Lorsquexvarie dea`aa+ ∆xet si f(a)6= 0, lavariation relativedef est
f(a+ ∆x)−f(a)
f(a) .
On reconnaˆıt au num´erateur la variation absolue de f. En utilisant une valeur approch´ee de cette variation absolue, on obtient : On met ainsi en ´evidence dans l’expression obtenue un facteur remarquable.
D´efinition 8.8. — Soit f une fonction ´economique d´efinie sur ]0,+∞[, strictement positive et d´erivable, d´ependant de la variablex. On appelle´elasticit´e def la fonction d´efinie par :
∀x∈]0,+∞[, ef(x) =f0(x) x
f(x) =x×(ln◦f)0(x).
8.4. R ´ECAPITULATIF 33
L’´elasticit´e permet de calculer une valeur approch´ee de la variation relative def. Lorsquexpasse dea`aa+ ∆x, on a
On peut dire que la variation relative est pratiquement ´egale au produit de l’´elasticit´e par la variation relative de la variable. Cela donne le mˆeme genre de calcul pour les variations relatives et les variations absolues : l’´elasticit´e remplace la fonction marginale, la variation relative remplace la variation absolue.
Remarque 8.9. —
1. La valeur de l’´elasticit´e d´epend du point consid´er´e mais ne d´epend pas des unit´es choisies.
2. Le nombre ef(a) donne une valeur approch´ee de la variation relative def lorsque xaugmente de 1% `a partir dex=a.
5. Si l’´elasticit´e est proche de 0 cela signifie que la fonctionf est plutˆot insensible aux variations dex.
6. Dans certains cas, lorsque l’expression de la fonctionf s’y prˆete, le calcul de l’´elasticit´e est plus simple si on passe par la d´eriv´ee de lnf.
Exemple 8.10. —
1. Reprenons l’exemple 8.5 et donnons une valeur approch´ee de la variation relative de la production. Pour toutx >0, ln[f(x)] =−ln 2 + (1/2) lnxdonc (ln◦f)0(x) = 1/(2x). Alors poura= 900,
2. Dire que l’´elasticit´e de la demande par rapport au prix est ´egale `a−2 lorsque le prix unitaire est fix´e `a 10 euros, signifie que si le prix augmente de 1%, la demande diminuera de 2%.
8.4. R´ecapitulatif
R´esumons dans les deux tableaux suivants les notions d´efinies dans ce chapitre et indispensables en ´Economie.
On consid`ere une fonction ´economiquef d´efinie sur ]0,+∞[, strictement positive et d´erivable ena.
valeur exacte valeur approch´ee
taux d’accroissement relatif f(a+ ∆x)−f(a)
∆x × 1
CHAPITRE 9
FORMULE DE TAYLOR
Dans tout ce chapitrenest un entier naturel non nul.
9.1. Polynˆome de Taylor
9.1.1. Probl`eme pos´e. — Les fonctions polynˆomes sont parmi les plus simples `a ´etudier et `a calculer en un pointxdonn´e, car tous les calculs peuvent se faire `a la main. D’o`u l’id´ee d’approcher une fonctionf quelconque d´efinie sur un intervalleIcontenanta, par un polynˆome, et ceci pour en simplifier l’´etude au voisinage du point a.
Nous avons d´ej`a vu une premi`ere illustration de cette id´ee. En effet si f est une fonction de classeC1 sur un intervalle ouvert Icontenant a, alors f est d´erivable en aet on peut ´ecrire le d´eveloppement limit´e d’ordre 1 : il existe une fonctionεd´efinie surR, continue en 0 avecε(0) = 0 et telle que
∀x∈I, f(x) =f(a) + (x−a)f0(a) + (x−a)ε(x−a).
L’expressionf(a) + (x−a)f0(a) est un polynˆome de degr´e 1 en (x−a) qui donne une approximation def, dite approximation affine.
Pour am´eliorer l’approximation def, on souhaite approcher f au voisinage de apar un polynˆome de degr´en de la forme
P(x) =λ0+λ1(x−a) +λ2(x−a)2+. . .+λn(x−a)n.
9.1.2. ´Etude d’un cas particulier. — Les coefficients du polynˆome recherch´e vont d´ependre de la fonction f consid´er´ee et du point a choisi. Pour les d´eterminer on va consid´erer le cas particulier o`u f est d´ej`a un polynˆome de degr´en. Supposons que
f(x) =λ0+λ1(x−a) +λ2(x−a)2+. . .+λn(x−a)n. – Calcul deλ0 : on constate queλ0=f(a).
– Calcul deλ1 : d´erivonsf, on obtient
f0(x) =λ1+ 2λ2(x−a) + 3λ3(x−a)2+. . .+nλn(x−a)n−1 et λ1=f0(a).
– Calcul deλ2 : d´erivonsf0, on obtient
f00(x) = 2λ2+ 3×2λ3(x−a) +. . .+n×(n−1)λn(x−a)n−2 et λ2=1 2f00(a).
– Par d´erivations successives, on v´erifie que
∀k∈ {0,1, . . . , n}, λk= 1
k!f(k)(a).
On peut donc ´ecrire
f(x) =f(a) + (x−a)f0(a) + (x−a)2f00(a)
2! +. . .+ (x−a)nf(n)(a) n! . 9.1.3. Cas g´en´eral. —
D´efinition 9.1. — Soitf une fonction d´efinie sur un intervalleI contenanta. On suppose quef estn fois d´erivable ena. On appellepolynˆome de Taylor def `a l’ordren au pointale polynˆomePn(f, a) d´efini par
∀h∈R, Pn(f, a)(h) =f(a) +hf0(a) +h2f00(a)
2! +. . .+hnf(n)(a) n! . Ce polynˆome d´epend def, deaet de n.