5. On peut parler d’une fonction convexe seulement sur un intervalle, nous verrons les raisons dans le cha-pitre 21.
Figure 5.2. x7→ex est convexe etx7→lnxest concave
Mˆeme si Df est un intervalle, la fonction f peut ˆetre convexe (concave) sur un intervalle I⊂ Df sans ˆ
etre convexe (resp. concave) sur Df.
5.2.2. Caract´erisation pour les fonctions de classe C2. — En comparant les pentes des tangentes de la courbe repr´esentative d’une fonction convexe, on constate que la pente de la tangente en un point d’abscisse xest une fonction croissante de x. La fonction d´eriv´ee est donc croissante. Sif est de classe C2, alorsf00 est positive. On admettra la r´eciproque.
Th´eor`eme 5.4. — SoitIun intervalle deRet soitfune fonction de classeC2surI. Les assertions suivantes sont ´equivalentes.
(i) f est convexe surI, (ii) f0 est croissante surI, (iii) f00(x)>0 pour chaque x∈I.
Si on remplace “convexe” par “concave”, on a le mˆeme th´eor`eme en rempla¸cant “croissant” par “d´ecroissant” et en rempla¸cant “f00(x)>0” par ‘f00(x)60”. Ce th´eor`eme donne un moyen tr`es simple pour ´etudier la convexit´e ou la concavit´e d’une fonction de classeC2.
Exemple 5.5. —
1. Les fonctionsx7→x2 etx7→exsont convexes surR. 2. La fonctionx7→lnxest concave sur ]0,+∞[.
3. La fonction affinex7→ax+best concave et convexe surR.
4. La fonctionx7→x3 est convexe sur [0,+∞[ et concave sur ]− ∞,0].
5.2.3. Application au graphe des fonctions monotones. — Lorsqu’une fonction monotone est aussi convexe ou concave, cela donne les quatre cas suivants qui seront fr´equemment utilis´es pour mod´eliser des fonctions ´economiques selon leurs propri´et´es.
1. Si une fonction est concave croissante, cela signifie qu’elle croˆıt de plus en plus lentement. C’est-`a-dire les valeurs prises par la fonction augmentent beaucoup moins rapidement que les valeurs prises par la variable.
2. Si une fonction est convexe croissante, cela signifie qu’elle croˆıt de plus en plus rapidement. C’est-`a-dire les valeurs prises par la fonction augmentent beaucoup plus rapidement que les valeurs prises par la variable.
3. Si une fonction est concave d´ecroissante, cela signifie qu’elle d´ecroˆıt de plus en plus rapidement. C’est-` a-dire les valeurs prises par la fonction diminuent beaucoup plus rapidement que les valeurs prises par la variable.
4. Si une fonction est convexe d´ecroissante, cela signifie qu’elle d´ecroˆıt de plus en plus lentement. C’est-` a-dire les valeurs prises par la fonction diminuent beaucoup moins rapidement que les valeurs prises par la variable.
5.4. REPR ´ESENTATION GRAPHIQUE D’UNE FONCTION 23
5.3. Branches infinies
Les branches infinies d’un graphe correspondent `a la forme du graphe pour les tr`es grandes valeurs positives ou les tr`es petites valeurs n´egatives dexou de f(x). Lorsque la distance entre la courbe repr´esentative d’une fonction et une droite est de plus en plus faible, on dit quela droite est asymptote `a la courbe.
1er cas : Si pour un r´eel a, on a
x→alimf(x) =±∞ ou lim
x→a−f(x) =±∞ ou lim
x→a+f(x) =±∞
alors la droite verticale d’´equationx=aest asymptote `a la courbe.
2`eme cas : Si pour un r´eel b, on a
x→+∞lim f(x) =b ou lim
x→−∞f(x) =b alors la droite horizontale d’´equationy=best asymptote `a la courbe.
3`eme cas : Si
x→+∞lim f(x) =±∞ ou lim
x→−∞f(x) =±∞
alors on poursuit l’´etude en v´erifiant s’il existea∈Rtel que
x→±∞lim f(x)
x =a.
Dans l’affirmative, trois sous-cas sont `a envisager :
3.a : sia= 0 alorsf admet une branche parabolique de directionOx,
3.b : sia∈ {+∞,−∞}alorsf admet une branche parabolique de directionOy, 3.c : siaest fini non nul, on poursuit on l’´etude en v´erifiant s’il existeb∈Rtel que
x→±∞lim [f(x)−ax] =b.
Dans l’affirmative, deux sous-cas sont `a envisager :
3.c.i : sib∈ {+∞,−∞}alorsf admet une branche parabolique de directiony=ax,
3.c.ii : si b ∈ R alors la droitey = ax+b est asymptote `a la courbe. Dans ce dernier cas, le signe def(x)−ax−bau voisinage de ±∞donne la position de la courbe par rapport `a son asymptote.
Exemple 5.6. —
1. La fonctionf d´efinief(x) =x2 donne un exemple d’une branche parabolique de directionOy.
2. La fonctionf d´efinie parf(x) =√
xdonne un exemple d’une branche parabolique de directionOx.
5.4. Repr´esentation graphique d’une fonction Voici les diff´erentes ´etapes d’une ´etude de fonction.
1. Si le domaine de d´efinitionDf n’est pas indiqu´e, on d´etermine le plus grand sous-ensemble deRsur lequel f est d´efinie. Par des consid´erations telles que la parit´e, on d´etermine un sous-ensembleDe⊂ Df appel´e domaine d’´etude, sur lequel il suffit d’´etudierf.
2. On recherche les limites aux bornes de l’ensemble d’´etude en utilisant les limites de r´ef´erence (fonctions usuelles) et les op´erations sur les limites.
3. On justifie la continuit´e et la d´erivabilit´e en utilisant les th´eor`emes sur somme, produit, quotient et compos´ee de foncions continues et d´erivables.
4. On d´etermine le sens de variations en ´etudiant le signe de la d´eriv´eef0(x) pourx∈ De. Pour cela, il peut ˆ
etre n´ecessaire de calculer f00 ou d’utiliser une fonction auxiliaire pour avoir les variations de f0 et en d´eduire le signe de f0. Sif0 est continue alors sur chaque sous-intervalle o`uf0 ne s’annule pas, le signe de f0est constant. Dans les cas non ´evidents, il suffit de d´eterminer le signe def0(a) pour un point particulier (judicieusement choisi)adu sous-intervalle. On dresse le tableau de variations.
5. On ´etudie les branches infinies.
6. On trace un rep`ere orthonorm´e. On place les points remarquables figurant dans le tableau de variations avec leur tangente. On place les droites asymptotes ´eventuelles et on compl`ete la repr´esentation graphique par des sym´etries si n´ecessaire.
CHAPITRE 6
FONCTIONS BIJECTIVES ET R´ ECIPROQUES
La notion de fonction r´eciproque est utile, non seulement pour d´efinir les fonctions exponentielles et les fonctions puissances d’exposant fractionnaire ou n´egatif, mais aussi parce qu’elle joue un rˆole dans certains mod`eles
´
economiques.
6.1. D´efinitions
D´efinition 6.1. — SoientIun intervalle deRetf une fonction d´efinie surI. On dit quef estbijective deI sur f(I) ou estune bijection deI surf(I) si, pour chaquey∈f(I), l’´equationy=f(x) d’inconnuexadmet toujours une unique solutionx∈I.
Sif est bijective deIsurf(I), on peut d´efinir l’application r´eciproquedef, not´eef−1, d´efinie surf(I) par : pour chaquey∈f(I),f−1(y) est l’unique solution dansI de l’´equationy=f(x).
Exemple 6.2. — La figure 6.1 repr´esente les graphes d’une fonction bijective et d’une fonction non bijective.
Remarque 6.3. — 1. Si (x, y)∈I×f(I) alors
y=f(x) ⇐⇒ x=f−1(y).
2. Si on note IdI (resp. Idf(I)) la fonction d´efinie surI (resp. surf(I)) parx7→xalors f−1◦f = IdI et f◦f−1= Idf(I).
6.2. Caract´erisation des fonctions bijectives continues
La figure 6.1 montre que pour qu’une fonction f soit bijective deI sur f(I), elle doit n´ecessairement ˆetre au moins strictement monotone surI. Nous admettrons que cette condition est aussi suffisante. Maisf(I) n’est pas forc´ement un intervalle et c’est pourquoi nous nous limiterons aux fonctions strictement monotones et continues.
Th´eor`eme 6.4. — Si f une fonction d´efinie sur un intervalle I, continue et strictement monotone sur I, alorsf est une application bijective de I sur f(I). En outre,
– l’application r´eciproque f−1 est continue et monotone sur f(I)avec le mˆeme sens de monotonie que f, – dans un rep`ere orthonorm´e, les courbes repr´esentatives de f et f−1 sont sym´etriques par rapport `a la
premi`ere bissectrice.
Figure 6.1. Une fonction bijective et une fonction non bijective