et `a gauche ne co¨ıncident pas, la fonctiong n’est pas d´erivable en 0.
On admet le r´esultat suivant.
Proposition 4.6. — Sif est d´erivable en aalorsf est continue en a.
Cette proposition affirme que la continuit´e def enaest une condition n´ecessaire `a la d´erivabilit´e def ena. En particulier, sif n’est pas continue en aalorsf n’est pas d´erivable ena.
La r´eciproque de la proposition pr´ec´edente est fausse. Une fonction peut ˆetre continue en un point sans ˆ
etre d´erivable en ce mˆeme point. Par exemple la fonction f d´efinie sur R par f(x) = |x|, est continue en 0 mais pas d´erivable en 0.
SoitG le graphe d’une fonction f dans un plan rapport´e `a un rep`ere orthonorm´e. SoitA le point du plan de coordonn´ees (a, f(a)) et soit M un point de coordonn´ees (x, f(x)) avec a 6= x ∈ Df. On suppose que f est continue ena. On consid`ere Dla droite passant par les points Aet M. La pente de cette droite estθa(x). On dit queGadmetune tangente enasiθa(x) admet une limite`∈Rlorsquextend versa. La tangente `a Gena est alors la droite passant parA et de pente`. Lorsque`∈ {+∞,−∞}, la tangente est dite verticale.
On d´eduit de la d´efinition de la d´erivabilit´e, les ´equivalence suivantes.
Proposition 4.7 (D´erivabilit´e et tangente). — Une fonctionf est d´erivable en a si et seulement si la graphe de f admet une tangente non verticale enA= (a, f(a))d’´equation
y=f0(a)(x−a) +f(a).
4.1.2. Fonction d´eriv´ee – D´eriv´ee sur un intervalle. —
D´efinition 4.8. — SoitI un intervalle deRet soitf une fonction d´efinie surDf contenantI. La fonction f est dited´erivable sur I sif est d´erivable en tout point `a l’int´erieur deI, d´erivable `a droite en l’extr´emit´e inf´erieure (si elle est finie) deI et d´erivable `a gauche en l’extr´emit´e sup´erieure (si elle est finie) deI.
On appelle alorsfonction d´eriv´ee def surI, la fonction f0 d´efinie surI parf0 :x7→f0(x).
Il est facile de v´erifier que la d´eriv´ee d’une fonction constante sur un intervalle est la fonction nulle.
4.1.3. D´eriv´ees successives. —
D´efinition 4.9. — SoitIun intervalle deRet f une fonction d´erivable surI. Si f0 est elle-mˆeme d´erivable surI, on notef00 sa fonction d´eriv´ee et on l’appelled´eriv´ee seconde def sur I. composition, on d´emontre quef est d´erivable surRavec
f0(x) =−2xexp{−x2}.
Une nouvelle fois en utilisant les th´eor`emes sur les op´erations alg´ebriques et la composition, on d´emontre que f0 est d´erivable et que
f00(x) = (4x2−2) exp{−x2}.
De mˆeme on montre quef est trois fois d´erivable avec
f(3)(x) = (−8x3+ 12x) exp{−x2}.
4.2. OP ´ERATIONS SUR LES FONCTIONS D ´ERIVABLES 19
Il est tr`es utile de savoir qu’une fonction de classeC1est une fonction dont la courbe estlisse, c’est-`a-dire sans point anguleux.
4.2. Op´erations sur les fonctions d´erivables
4.2.1. Op´erations alg´ebriques. — Les r´esultats suivants d´ecoulent de la d´efinition de la d´eriv´ee et des propri´et´es des limites.
Toutes les fonctions usuelles sont d´erivables sur leur domaine de d´efinition, sauf certaines fonctions puissances qui sont d´efinies (et mˆeme continues) en 0 mais ne sont pas d´erivables en 0. Voici un tableau des d´eriv´ees usuelles.
Fonction Domaine de d´erivabilit´e D´eriv´ee
ex R ex 4.2.2. Composition de deux fonctions d´erivables. —
Th´eor`eme 4.14. — Soituune fonction d´erivable enaet soitf une fonction d´erivable enu(a). La fonction f ◦uest d´erivable en aet l’on a
(f◦u)0(a) = (f0◦u)(a)×u0(a) =f0[u(a)]×u0(a).
Si les propri´et´es suivantes sont satisfaites – la fonction uest d´erivable sur un intervalleI, – la fonction f est d´erivable sur un intervalleJ, – u(I)⊂J,
alors la fonctionf ◦uest d´erivable surI avec
(f◦u)0 = (f0◦u)×u0.
Remarque 4.15. — Les th´eor`emes pr´ec´edents sont encore valables en rempla¸cantd´erivableparde classe Ck. En pratique ce sont ces th´eor`emes qui permettront de justifier qu’une fonction construite `a l’aide des fonctions usuelles (somme, produit, quotient et compos´ee) est d´erivable (ou de classeCk) sur un intervalleI. Ainsi toute
20 CHAPITRE 4. FONCTIONS D ´ERIVABLES
fonction polynˆome est de classe C∞ sur R et toute fraction rationnelle est de classe C∞ sur son domaine de d´efinition (r´eunion d’intervalles ouverts disjoints).
4.3. Applications au sens de variations des fonctions
Le signe de la d´eriv´ee premi`ere d’une fonction fournit des informations sur son sens de variation.
Th´eor`eme 4.16. — Soit I un intervalle de R, on note ˚I l’intervalle I priv´e de ses extr´emit´es finies
´
eventuelles. L’intervalle ˚I est un intervalle ouvert. Si f est une fonction continue sur I, d´erivable sur ˚I alors
(i) f est constante surI si et seulement si f0(x) = 0pour chaque x∈˚I, (ii) f est croissante sur I si et seulement sif0(x)>0pour chaque x∈˚I, (iii) f est d´ecroissante sur I si et seulement si f0(x)60 pour chaquex∈˚I.
Le th´eor`eme suivant donne des conditions suffisantes pour justifier qu’une fonction est strictement croissante.
Th´eor`eme 4.17. — Avec les mˆemes hypoth`eses que le th´eor`eme pr´ec´edent, (iv) sif0(x)>0pour chaque x∈˚I alorsf est strictement croissante sur I, (v) si f0(x)<0 pour chaquex∈˚I alorsf est strictement d´ecroissante sur I,
(vi) si f0(x)>0 pour chaque x∈˚I etf0 ne s’annule qu’en un nombre fini de points alors f est strictement croissante surI,
(vii) si f0(x)60 pour chaquex∈˚I et f0 ne s’annule qu’en un nombre fini de points alorsf est strictement d´ecroissante sur I.
Les deux th´eor`emes pr´ec´edents ne s’appliquent que sur un intervalle.
Exemple 4.18. —
1. Soitf la fonction d´efinie surRparf(x) = 2 six60 etf(x) = 0 six >0. La fonctionf est d´erivable sur R∗ avecf0(x) = 0 pour toutx∈R∗ et pourtantf n’est pas constante surR∗.
2. Soitf la fonction d´efinie surR∗ parf(x) =−1/x. La fonctionf est d´erivable et sa d´eriv´ee est strictement positive sur R∗. Pourtant f n’est pas croissante puisque f(−1) = 1 > f(1) = −1. Par contre f est strictement croissante sur ]− ∞,0[ et strictement croissante sur ]0,∞[.
3. La r´eciproque de l’assertion (iv) est fausse : prenons par exemplef la fonction d´efinie surRparf(x) =x3. Cette fonction est strictement croissante surRet pourtantf0(0) = 0.
4.4. Primitive
D´efinition 4.19. — Soitf une fonction d´efinie sur un intervalleI. On dit quef admet uneprimitiveF sur I siF est une fonction d´efinie et d´erivable surI avecF0(x) =f(x) pour chaquex∈I.
Proposition 4.20. — Si la fonction f admet une primitive F sur l’intervalleI, alors – elle en poss`ede une infinit´e de la forme F+c o`u cest une fonction constante sur I, – elle en poss`ede une seule qui prenne une valeur donn´ee en un pointa deI.
Th´eor`eme 4.21. — [Th´eor`eme de Darboux] Toute fonction continue sur un intervalleIadmet une primitive sur I.
Exemple 4.22. — La fonction f d´efinie sur ]0,+∞[ par f(x) = 1/x poss`ede une primitive sur cet intervalle qui s’annule enx= 1. On l’appelle logarithme n´ep´erien et on la note ln.
CHAPITRE 5
PROPRI´ ET´ ES GRAPHIQUES DES FONCTIONS
5.1. Sym´etries
D´efinition 5.1. — Une fonctionf est dite
– pairesi pour chaquex∈ Df,−x∈ Df etf(−x) =f(x), – impaire si pour chaquex∈ Df,−x∈ Df etf(−x) =−f(x).
Figure 5.1. Exemples d’une fonction paire et d’une fonction impaire
Dans les deux cas, on construit la courbe repr´esentative def pourx∈ Df∩[0,+∞[. Sif est paire, on compl`ete ensuite la repr´esentation graphique de f par une sym´etrie d’axe Oy. Si f est impaire, on compl`ete ensuite la repr´esentation graphique def par une sym´etrie par rapport `a l’origine.
5.2. Fonctions convexes et concaves
Nous allons voir dans ce paragraphe comment le signe de la d´eriv´ee seconde d’une fonction apporte des indications suppl´ementaires sur la forme de son graphe. Nous nous limiterons aux fonctions qui sont au moins de classeC1 et nous ne donnerons donc pas la d´efinition des fonctions convexes ou concaves dans le cas le plus g´en´eral.
5.2.1. D´efinition pour les fonctions de classeC1. —
D´efinition 5.2. — SoientIun intervalle deRetf une fonction de classeC1surI. On noteGf(I) la portion de la courbe repr´esentative def correspondant `ax∈I.
– La fonction f estconvexe sur I siGf(I) est situ´ee au-dessus de toutes ses tangentes,i.e.
∀x∈I, ∀a∈I, f(x)>f(a) + (x−a)f0(a).
– La fonction f estconcave sur IsiGf(I) est situ´ee en-dessous de toutes ses tangentes,i.e.
∀x∈I, ∀a∈I, f(x)6f(a) + (x−a)f0(a).
Remarque 5.3. — 1. La figure suivante illustre les cas d’une fonction convexe et d’une fonction concave.
2. La fonctionf est concave surI si et seulement si−f est convexe surI.
3. Si dans les d´efinitions pr´ec´edentes, les in´egalit´es sout strictes pour x 6= a, on parle alors de fonctions strictement convexe surI ou strictement concave surI.
4. SiDf est un intervalle et sif est convexe (resp. concave) sur Df, on peut dire pour simplifier quef est convexe (resp. concave). On sous-entend l’expression ”surDf”.