Par construction,Dgcontient un voisinage deaetgest continue ena. On dit que l’on aprolong´ef par continuit´e en a. On peut d´efinir de mˆeme le prolongement par continuit´e def `a droite de aou `a gauche dea. On garde souvent la mˆeme notation pour la fonction et son prolongement par continuit´e.
Exemple 3.5. —
1. Soitf d´efinie surR∗ parf(x) =xln|x|. On prolongef surRen posantf(0) = 0.
2. Soitf d´efinie surR∗ parf(x) =xlnxsix > 0 et f(x) = 1/x six < 0. On prolongef par continuit´e `a droite en 0 en posantf(0) = 0.
3. Soitf d´efinie sur R∗ parf(x) = 1/x. On ne peut pas prolongerf par continuit´e en 0 puisque les limites
`
a droite et `a gauche ne sont pas r´eelles.
Lorsqu’un prolongement par continuit´e est possible, on l’op`ere syst´ematiquement.
3.1.2. Op´erations sur les fonctions continues en un point. —
Proposition 3.6. — Soient λ un r´eel et f, g deux fonctions continues en un point a. Alors les fonctions λf,f+g,f−g etf g sont continues ena. Si g(a)6= 0 alors la fonctionf /gest continue ena.
Proposition 3.7. — Si f est continue en a et g est continue en f(a) alors la fonction g◦f est continue en a.
3.2. Continuit´e sur un intervalle
En pratique la notion de continuit´e la plus int´eressante et la plus utile est la suivante.
D´efinition 3.8. —
– SiI est un intervalle ouvert deR, on dit quef est ditecontinue surI sif est continue en tout point deI.
– f est continue sur [a, b] sif est continue sur ]a, b[, continue `a droite enaet continue `a gauche enb.
– f est continue sur]a, b] si f est continue sur ]a, b[ et continue `a gauche enb. Cette d´efinition reste valable sia=−∞.
– f est continue sur[a, b[ sif est continue sur ]a, b[ et continue `a droite en a. Cette d´efinition reste valable sib= +∞.
Remarque 3.9. —
1. La courbe repr´esentative d’une fonction continue sur un intervalle se trace sans lever le crayon.
2. SiI etJ sont deux intervalles ouverts non vides, et sif est continue surI et surJ, alors est continue sur tout point de la r´eunionI∪J. On dit quef est continue surI∪J.
Lorsque l’intervalle n’est pas ouvert, les d´efinitions ci-dessus peuvent entraˆıner quelques bizarreries. Par exemple la fonction partie enti`ere est continue sur [1,2[ et sur [2,3[mais elle n’est pas continue en 2.
Donc elle n’est pas continue sur l’intervalle ouvert ]1,3[.
Notation 3.10. — SoitI un intervalle non vide deR, on noteC0(I) l’ensemble des fonctions continues surI.
Sif ∈ C0(I) alorsf est dite de classeC0surI.
La plupart des fonctions qui apparaissent dans les mod`eles ´economiques (coˆut de production, utilit´e, demande) sont continues.
3.2.1. Op´erations sur les fonctions continues sur un intervalle. —
Th´eor`eme 3.11. — Soient I un intervalle deR,λun r´eel etf etg deux fonctions continues sur I, alors (i) λf,f+g,f−g etf g sont continues sur I,
(ii) si de plus g(x)6= 0 pour chaquex∈I, alorsf /g est continue surI.
En application de ce th´eor`eme on obtient que toutes les fonctions polynˆomes sont continues sur R. De mˆeme toute fraction rationnelleR =P/Q avecP et Qdeux fonctions polynˆomes, est continue sur tout intervalle ne contenant pas les racines deQ.
3.3. PROPRI ´ET ´ES FONDAMENTALES 15
Th´eor`eme 3.12. — Soient I etJ deux intervalles deR. Si les conditions suivantes sont satisfaites : – f est continue surI,
– g est continue sur J, – f(I)⊂J,
alors la fonction compos´eeg◦f est continue sur I.
Ce sont les deux th´eor`emes pr´ec´edents qui vont nous permettre de justifier qu’une fonction construite `a partir des fonctions usuelles (somme, produit, quotient et compos´ee) est continue sur un intervalle. Par exemple, sif est une fonction continue sur un intervalleI alors|f|est continue surI.
3.3. Propri´et´es fondamentales
3.3.1. Fonction continue sur un intervalle. —
Th´eor`eme 3.13 (Th´eor`eme des valeurs interm´ediaires). — Soientf une fonction continue sur un in-tervalleI etα < β deux r´eels deI. Toutes les valeurs comprises strictement entref(α)etf(β)sont atteintes parf en au moins un point de]α, β[. Par exemple sif(α)< f(β)on a
∀y∈]f(α), f(β)[, ∃x∈]α, β[, y=f(x).
Corollaire 3.14. — Si f est un fonction continue sur un intervalle I, alors f(I)est un intervalle.
Les intervalles I etf(I)ne sont pas n´ecessairement de mˆeme nature. Par exemple : 1. Si f(x) =x2 et I=]−1,1[alorsf(I) = [0,1[.
2. Si g(x) = sinxetI=Ralorsg(I) = [−1,1].
En g´en´eral, si I =]a, b[ l’intervalle f(I) n’est pas d’extr´emit´es f(a) et f(b). Par contre si f est un fonction continue croissante sur I alorsf(I) = [f(a), f(b)].
Corollaire 3.15. — Une fonction continue sur un intervalle I ne peut changer de signe surI qu’en s’an-nulant.
Autrement dit, s’il existe deux pointsaetb deItels quef(a)f(b)<0, alors il existec∈]a, b[ tel quef(c) = 0.
Le pointcv´erifiant cette propri´et´e n’est pas forc´ement unique.
3.3.2. Fonctions continues sur un segment. —
Th´eor`eme 3.16. — Si f une fonction continue sur un segment [a, b] alors l’imagef([a, b])est un segment [m, M]. On en d´eduit quef est born´ee sur[a, b] et qu’elle atteint ses bornes, i.e.
∃(α, β)∈[a, b]2, ∀x∈[a, b], m=f(α)6f(x)6f(β) =M.
Ce th´eor`eme est fondamental, c’est le premier th´eor`eme d’optimisation que nous voyons. En d’autres termes, il nous montre qu’une fonction continue sur un ensemble compact admet un maximum et un minimum et que ceux-ci sont atteints. Nous verrons qu’il est utile dans certain cas (on pourra consulter l’exemple 10.5 page 37). De plus nous verrons le mˆeme th´eor`eme appliqu´e `a des fonctions de 2 variables (on pourra consulter le paragraphe 25.3 page 108).
CHAPITRE 4
FONCTIONS D´ ERIVABLES
Dans les relations entre variables ´economiques, la question centrale est : dans quelle mesure la variation d’une variable affecte-t-elle les autres ? Lorsque ces relations sont d´ecrites par des fonctions l’effet de la variation d’une variable sur l’autre s’obtient grˆace `a la notion de d´eriv´ee.
4.1. D´erivabilit´e
4.1.1. D´eriv´ee en un point. —
D´efinition 4.1. — Soitaun r´eel et soit f une fonction d´efinie sur une partieDf qui contient un voisinage dea. On appelletaux d’accroissement def ena, not´eθa(x), la fonction quotient d´efinie par
∀x∈ Df\ {a}, θa(x) = f(x)−f(a) x−a .
L’exemple classique pour illustrer cette notion est le suivant : six > a et sif(x)−f(a) repr´esente la distance parcourue entre les instantst=aet t=x, le tauxθa(x) repr´esente la vitesse moyenne entre ces deux instants, c’est-`a-dire la distance parcourue en moyenne par unit´e de temps. Si f est affine, cette vitesse moyenne est constante : c’est la pente. Sif n’est pas une fonction affine, cette vitesse moyenne d´epend dexet dea. D’autre part, le compteur de la voiture affiche une autre information : la vitesse instantan´ee, c’est-`a-dire la vitesse moyenne entre deux instants tr`es proches. Cette vitesse instantan´ee est en fait une limite. Il ne reste plus qu’`a formaliser rigoureusement ces notions.
D´efinition 4.2 (D´eriv´ee en un point). — Soientaun r´eel etfune fonction d´efinie surDf. SiDfcontient un voisinage de a, on dit que la fonction f est d´erivable en asi la fonction θa admet une limite finie en a.
Cette limite est not´eef0(a),i.e.
f0(a) = lim
x→a
f(x)−f(a) x−a .
D´efinition 4.3 (D´eriv´ees `a droite et `a gauche). —
– SiDf contient un voisinage `a gauche dea, on dit que la fonctionf est d´erivable `a gauche de asi la fonction θa admet une limite finie `a gauche dea. Cette limite est not´eefg0(a) ouf0(a−),i.e.
fg0(a) =f0(a−) = lim
x→a−
f(x)−f(a) x−a .
– SiDf contient un voisinage `a droite dea, on dit que la fonctionf estd´erivable `a droite deasi la fonctionθa admet une limite finie `a droite dea. Cette limite est not´eefd0(a) ouf0(a+),i.e.
fd0(a) =f0(a+) = lim
x→a+
f(x)−f(a) x−a . Remarque 4.4. —
1. Lorsquef est d´erivable ena, le nombref0(a) est appel´e le nombre d´eriv´e def ena.
2. Sif0(a) existe, en posantx=a+h, on peut ´ecrire f0(a) = lim
h→0
f(a+h)−f(a)
h .
En ´Economie, l’accroissementhest souvent not´e ∆x.
3. On a l’´equivalence suivante :f est d´erivable enasi et seulement sif est d´erivable `a gauche et `a droite de aetfg0(a) =fd0(a). On a alorsf0(a) =fg0(a) =fd0(a).
Exemple 4.5. —