Op´ erations alg´ ebriques

Exemple 14.11. — Df1 ={(x, y)∈R² |x6=y} est le plan priv´e de la droite d’´equationy=x.

Df₂={(x, y)∈R² |x²+y²61} est le disque ferm´e de centreOet de rayon 1.

Du graphe. — Consid´erons un rep`ere orthonorm´e deR³ d’origineO et d’axesOx,Oy etOz.

Si la fonction f est ”suffisamment r´eguli`ere” (c’est-`a-dire continue– voir Chapitre 15), le graphe de f est repr´esent´e par une surface deR³. C’est l’´equivalent de la courbe repr´esentative pour les fonctions d’une seule va-riable r´eelle. Comme il est souvent difficile d’avoir une id´ee de l’allure de la surface (pas de m´ethode syst´ematique d’´etude d’apr`es le paragraphe 14.3.2) on ´etudie ses diff´erentes intersections par des familles de plans parall`eles, ce qui permet de mieux la ”visualiser”.

Des logiciels comme ”Maple” ou ”Math´ematica” donnent une repr´esentation en trois dimensions de ces graphes (voir la figure 14.4.1.2 page 62).

14.4.1.1. Courbes de niveau. — Si les plans ´evoqu´es ci-dessus sont des plans horizontaux, d’´equation z = k o`uk∈R(on dit ”de cˆote” k), les projections, sur le plan xOy, des courbes obtenues sont appel´eescourbes de niveau.

D´efinition 14.12. — Pour tout r´eel k, on appelle courbe de niveau k de la fonction f, l’ensemble Ck des pointsM = (x, y) d´efini par :

C_k={x, y)∈R²|(x, y)∈ D_f et f(x, y) =k}.

Remarque 14.13. — (i) Une courbe de niveau peut ˆetre vide (voir le cask <0 dans l’Exercice 14.15 page 61).

(ii) D’apr`es la d´efinition,une courbe de niveau est toujours incluse dansDf. (iii) Deux courbes de niveaux diff´erents ne se coupent jamais.

(iv) Lorsqu’on sait repr´esenter graphiquement les courbes de niveau (ce n’est pas toujours le cas), la repr´esentation sur un mˆeme graphique des diff´erentes courbes de niveau donne une id´ee ”du relief” de la surface repr´esentative de f. Les courbes de niveau sont utilis´ees sur les cartes g´eographiques, mais aussi en Economie : courbe d’indiff´´ erence pour une fonction d’utilit´e, isoquantes pour une fonction de coˆut, etc...

14.4.1.2. Coupes verticales. — Au lieu de fixerz, on peut fixer une des deux autres variables, par exemplex= x₀. On obtient ainsi une fonction d’une seule variableg(y) =f(x₀, y) dont le graphe (ou courbe repr´esentative) est la section de la surface repr´esentative deGf par le plan d’´equationx=x0. De mˆeme en fixant y=y0. Ces sections verticales ne sont rien d’autre que les graphes des fonctions partielles. Ces diff´erentes ”coupes” deGf

peuvent aider `a la reconstitution spatiale du graphe def : c’est le principe du scanner en imagerie m´edicale.

Remarque 14.14. — Une droite verticale (parall`ele `aOz) coupe la surface repr´esentative def en au plus un seul point, car pour tout (x, y) la valeur def(x, y) est unique.

La surface repr´esentative deG_f s’appelle un parabolo¨ıde de r´evolution autour de l’axeOz.

14.5. Op´erations alg´ebriques

On d´efinit les op´erations alg´ebriques (addition, soustraction, multiplication, division) comme pour les fonctions d’une variable. Toutes les d´efinitions vues pour les fonctions d’une variable (voir Chapitre 1, paragraphe 1.4, page 3) se g´en´eralisent en rempla¸cantxr´eel parX point deR². Les domaines de d´efinition des fonctions ´etudi´ees sont alors des sous-ensembles deR².

62 CHAPITRE 14. FONCTIONS R ´EELLES DE DEUX VARIABLES R ´EELLES

Figure 14.1. Courbes de niveau

Figure 14.2. Section verticale du graphe def

Figure 14.3. Graphe def

CHAPITRE 15

FONCTIONS CONTINUES

L’objectif de ce chapitre est de donner la d´efinition d’une fonction continue sur un sous-ensemble deR². Dans les th´eor`emes des chapitres suivants nous consid´ererons g´en´eralement des fonctions continues sur un ouvert. En optimisation, nous ´etudierons aussi des fonctions continues sur un ferm´e.

15.1. D´efinitions

15.1.1. Continuit´e en un point. — Nous voulons traduire la mˆeme propri´et´e que celle vue pour les fonctions d’une variable (Chapitre 3), `a savoir qu’une fonction d´efinie en un pointA, est continue enA, si les images des points deDf proches deArestent proches def(A).Autrement dit,f est continue enAsi des petites variations deX autour de Aentraˆınent des petites variations def(X) autour def(A).

Exemple 15.1. — Soitαun r´eel quelconque, on consid`ere la fonction constante telle quef(X) =αpour tout X ∈R². Pour toutA∈R² et toutX ∈R²,f(X)−f(A) = 0. Doncf est continue en tout pointAdeR². Exemple 15.2 (Fonction d´efinie en(0,0) non continue en (0,0)). — Soit f la fonction d´efinie sur R² par :







f(x, y) = x y

x²+y² si (x, y)6= (0,0), f(0,0) = 0.

Montrons quefn’est pas continue en (0,0). Remarquons quef(x, x) =¹₂six6= 0. En particulierf(10⁻¹⁰,10⁻¹⁰) =

1

2, pourtant (10⁻¹⁰,10⁻¹⁰) est tr`es proche de (0,0). Mais on ne peut pas rendref(10⁻¹⁰,10⁻¹⁰) ausi proche de f(0,0) = 0 que l’on voudrait.

Toutes les fonctions usuelles d’une variable sont continues sur leur domaine de d´efinition. Or, les fonctions de deux variables sont d´efinies `a l’aide des fonctions d’une variable et des op´erations alg´ebriques et/ou de la composition. C’est pourquoi, nous ne donnerons pas de d´efinition rigoureuse de la continuit´e d’une fonction de deux variables, mais nous indiquerons les op´erations qui permettent de fabriquer des fonctions continues de deux variables `a partir de fonctions continues d’une variable (voir les th´eor`emes 15.6, 15.7, 15.11, 15.13).

Remarque 15.3 (Propri´et´es importantes pour la suite du cours). — Si f est continue en A et si f(A) = 0,alors la valeur absolue|f(X)|reste tr`es petite si X reste ”proche deA”, c’est-`a-dire siX reste dans une boule ouverte de centreAet de rayonα”tr`es petit”.

Si f est d´efinie sur R² et continue en A avec f(A)>0,alorsf(X) ne peut pas brutalement prendre des valeurs n´egatives ou nulles :f(X) reste strictement positif siX reste dans une boule ouverte de centreA et de rayonα >0,”suffisamment petit”. On obtient un r´esultat analoguesi f est d´efinie sur R² et continue en A avec f(A)<0.

Nous admettrons le th´eor`eme suivant qui traduit ce qui vient d’ˆetre dit :

Th´eor`eme 15.4. — Soient f une fonction d´efinie surR² tout entier etA un point deR². (i)

f continue enA etf(A)>0

⇒

∃α >0tel que ∀X ∈B(A, α), f(X)>0 . (ii)

f continue enA etf(A)<0

⇒

∃α >0tel que ∀X ∈B(A, α), f(X)<0 .

64 CHAPITRE 15. FONCTIONS CONTINUES

Continuit´e sur un sous-ensemble de Df. —

D´efinition 15.5. — Soit f une fonction d´efinie sur Df ⊂R², f est continue sur Df si f est continue en tout point de Df.

Sif est continue surD_f tout entier, alorsf est continue sur toute partieE(ouverte, ferm´ee, quelconque) incluse dansDf.

Mais on peut avoir une situation plus d´elicate : une fonction f peut ne pas ˆetre continue sur Df et on peut vouloir l’´etudier seulement sur une partieE strictement incluse dansDf. On ´etudiera alors la fonctiongd´efinie sur E par :∀x∈ E, g(X) =f(X). La fonctiong s’appelle la restriction de f `aE. On dira que f est continue surE sig est continue en tout point deE.

Th´eor`eme 15.6 (Exemples fondamentaux). — La norme euclidienne et les 2 projectionsπ₁: (x, y)7→x etπ2: (x, y)7→y sont continues sur R² tout entier.

Nous admettrons le th´eor`eme 15.6 mais nous donnons deux indications pour mieux le comprendre.

– Posons f(X) = kXk, alors pour tout X et tout A dans R², |f(X)−f(A)| 6 kX −Ak (voir (v) dans la proposition 11.17 page 45). En d’autres termes, si la norme kX−Ak est petite (c’est-`a-dire X ”proche” de A), alors la diff´erencef(X)−f(A) l’est aussi.

– PosonsX = (x, y) etA = (a, b), alors π₁(X) =x,π₁(A) =aet |π1(X)−π₁(A)|=|x−a|. Or, (x−a)² 6 (x−a)²+ (y−b)². Donc en passant aux racines carr´ees (les deux membres de l’in´egalit´e sont des nombres positifs ou nuls), on obtient|x−a|6kX−Ak. Par suite :

|π1(X)−π1(A)|6kX−Ak,

et on a la mˆeme situation que ci-dessus. Le raisonnement est exactement le mˆeme pour la projectionπ₂.