D´ eveloppement limit´ e d’ordre 1

17.2.1. Existence. — Pour g´en´eraliser `a deux variables le r´esultat vu pour une variable (Chapitre 9, page 36), on peut “deviner” les modifications `a faire. Il y a deux d´eriv´ees partielles au lieu d’une seule d´eriv´ee et deux accroissements. Comme on ne veut pas faire de jaloux, le r´esultat suivant, que nous admettrons, semble naturel :

Th´eor`eme 17.5. — Soitf une fonctionde classe C¹ sur un ouvert U de R² et soit M0= (x0, y0)∈ U. Alors il existe une fonction ε, continue sur une boule ouverteB de centre (0,0) telle queε(0,0) = 0 et telle que pour tout (h, k)∈B on a :

On dit que f admet un d´eveloppement limit´e (ou DL) d’ordre 1 au voisinage deM0.

La fonction ε est inconnue, on sait seulement qu’elle est continue en (0,0) avec ε(0,0) = 0. Donc ε(h, k) est

“petite” sik(h, k)k est ‘petite”.

Le DL d’ordre 1 est donc une formule localequi ne s’utilise qu’au voisinage d’un point, c’est-`a-dire pour des valeurs petites de|h|et|k|. Il est inutile de pr´eciser la boule ouverteB.

La quantit´e√

h²+k²ε(h, k) s’appellele restedu DL d’ordre 1.

Exemple 17.6. — Reprenons l’exemple 17.4 page 71. La fonction f est de classe C¹ sur R² (les d´eriv´ees partielles sont continues surR² comme produit de fonctions continues surR²). Il existe une boule ouverteBde centre (0,0) telle que :

∀(h, k)∈B, f(1 +h,1 +k) =e+ 2e h+e k+p

h²+k²ε(h, k) avecεcontinue surBetε(0,0) = 0.

Nous allons d´eduire du th´eor`eme 17.5 une propri´et´e fondamentale pour les fonctions de classeC¹.

Nous savons que, pour une fonction d’une variable, l’existence de la d´eriv´ee en un point assure la continuit´e en ce point. Ce r´esultat n’est plus vrai pour les fonctions de deux variables comme l’illustre l’exemple suivant : Exemple 17.7. — La fonctionf d´efinie surR²par :

admet des d´eriv´ees partielles en (0,0) :

∂f

∂x(0,0) = ∂f

∂y(0,0) = 0.

Maisf n’est pas continue en (0,0) (voir l’exemple 15.2 page 63).

Corollaire 17.8. — Sif admet des d´eriv´ees partielles premi`erescontinuessur un ouvertU contenantM0

alorsf est continue au point M0.

Plus g´en´eralement, sif est de classeC¹ sur un ouvert U alorsf est continue surU.

On admettra ce r´esultat, mais il est facile de voir quef(x₀+h, y₀+k) reste tr`es proche de f(x₀, y₀) pour des valeurs petites de|h|et|k|car la valeur deε(h, k) reste proche de z´ero sihetk sont proches de 0.

 L’hypoth`ese du corollaire 17.8 est cruciale : d’apr`es l’exemple 17.7, ce th´eor`eme n’est pas valable si on suppose seulement l’existence des d´eriv´ees partielles.

17.2. D ´EVELOPPEMENT LIMIT ´E D’ORDRE 1 73

17.2.2. Approximation affine. — La partie ”r´eguli`ere”, c’est-`a-dire l’expression sans le reste, du DL d’ordre 1 d’une fonctionf en un pointM0est une fonction affine en het k, d’o`u la d´efinition :

D´efinition 17.9. — Soitf une fonctionde classe C¹ sur un ouvert U de R² et soitM0= (x0, y0)∈ U.

On appelle approximation affine def au voisinage du pointM0 la fonction affine not´ee fbM₀ d´efinie sur tout R² par :

∀(h, k)∈R², fbM0(x0+h, y0+k) =f(x0, y0) +h∂f

∂x(x0, y0) +k∂f

∂y(x0, y0)

=f(x₀, y₀) +df_M0(h, k).

Remarque 17.10. — 1. L’approximation affine d´epend du pointM0choisi.

2. Il n’y a pas de notation standard. Nous proposonsfbM₀ qui est simple `a utiliser.

3. Si on posex=x0+h,y=y0+kdans les ´ecritures ci-dessus, on obtient fb_M0(x, y) =f(x₀, y₀) + (x−x₀)∂f

∂x(x₀, y₀) + (y−y₀)∂f

∂y(x₀, y₀).

 Dans l’expression de l’approximation affine fbM₀ il ne faut pas d´evelopper les termes en (x−x0) et (y−y0).

Exemple 17.11 (suite de l’exemple 17.4). — SoientA= (2,−1) etB= (1,1) alors fbA(x, y) =−4−4 (x−2) + 4 (y+ 1) fbB(x, y) = 1 + 2 (x−1) + (y−1).

17.2.3. Calculs approch´es. — On peut, avec les d´efinitions du paragraphe 17.1, traduire le th´eor`eme 17.5 par :

Corollaire 17.12. — Si f admet des d´eriv´ees partielles premi`eres continues sur un ouvert contenant M0

non simultan´ement nulles en M0 alors pour |h| et |k| ”petits” ∆fM₀(h, k) 'dfM₀(h, k). Autrement dit, la diff´erentielle fournit une valeur approch´ee (au premier ordre) de l’accroissement.

Les calculs approch´es se font en n´egligeant le reste du d´eveloppement limit´e ce qui revient `a remplacer la fonction f par son approximation affine au voisinage du point consid´er´e. On a donc

f(x₀+h, y₀+k)'fb_M0(x₀+h, y₀+k) ou encore f(x, y)'fb_M0(x, y). 1.01. La valeur obtenue par une calculatrice est (1.01)^0.98= 1.009799023.

17.2.4. Interpr´etation g´eom´etrique. — Le graphe de l’approximation affine de f au pointM₀= (x₀, y₀) est un planπ₀passant par le pointP₀= x₀, y₀, f(x₀, y₀)

ayant pour ´equationz=fb_M0(x, y).

SoitSla surface repr´esentative du graphe def. Sif est de classeC¹sur un ouvertU contenantM0, on montre que toutes les tangentes enP0 aux diff´erentes courbes trac´ees surS et passant par P0, sont justement dans le planπ0appel´e plan tangent `aS enP0.

Le plan π0 est orthogonal au vecteur_∂f

∂x(x0, y0),^∂f_∂y(x0, y0),−1

et passe parP0.

Remarque 17.15. — Ce r´esultat g´en´eralise la formule y−f(x0) = f⁰(x0) (x−x0) qui est l’´equation de la tangente au point x₀, f(x₀)

pour les fonctions d’une variable.

74 CHAPITRE 17. D ´EVELOPPEMENT LIMIT ´E D’ORDRE 1 ET DIFF ´ERENTIELLE

Il n’est pas utile de d´evelopper !

Remarques sur les notions introduites dans les paragraphes 17.1 et 17.2 :

(i) ∆fM₀(h,k) = f(x0+h, y0+k)−f(x0, y0) mesure l’accroissement de la fonction lorsque l’on passe du pointM₀= (x₀, y₀) au pointM = (x₀+h, y₀+k) en restant sur la surface repr´esentative S def, tandis quedfM₀(h, k) =h f_x⁰(x0, y0) +k f_y⁰(x0, y0) mesure l’accroissement obtenu lorsque l’on passe du pointM0

au pointM en restant sur le plan tangentπ0 enP0 `aS.

(ii) Remplacer f par son approximation affine au voisinage d’un point M₀, revient `a remplacer la surface repr´esentative def au voisinage deP0 par le plan tangent `aS enP0. On dit aussi que l’on ”lin´earise” la fonctionf au voisinage deM0.

17.3. Notation diff´erentielle

17.3.1. Diff´erentielle et accroissement des projections. — Consid´erons les projectionsπ₁ : (x, y)7→x etπ2: (x, y)7→y. Calculons les diff´erentielles de ces projections :

∀M₀∈R², ∀(h, k)∈R², dπ_1M0(h, k) =h et dπ_2M0(h, k) =k.

On constate que les r´esultats obtenus sontind´ependantsdu point M0. On peut donc supprimer la r´ef´erence au pointM₀ et noter plus simplementdπ₁(h, k) =het dπ₂(h, k) =k.

Comme dans le cas des fonctions d’une variable (voir page 29), on va se permettre l’abus de langage commode, qui consiste `a confondre les projections avec leurs images, et prendre comme notations pratiques,dx et dy au lieu dedπ1 et dπ2. Donc :

(17.1) ∀(h, k)∈R², h=dx(h, k), k=dy(h, k).

Dans ce qui suit,f est une fonction de classeC¹ sur un ouvertU et M0= (x0, y0)∈ U.

17.3.2. Diff´erentielle totale. — La diff´erentielle defau pointM0peut s’´ecrire en utilisant l’´equation (17.1) : dfM₀(h, k) = ∂f

Cette notation s’appellela diff´erentielle totale def et exprime la relation, facile `a retenir, qui relie les quantit´es df, dx et dy. Elle ne signifie rien d’autre que ”pour avoir la valeur dedfM₀(h, k), on remplace dans (17.3) dx parh,dy parket on prend les d´eriv´ees partielles au pointM0”.

Exemple 17.17. — Soitf(x, y) =x^1/3y^1/2 alorsdf = ¹₃x^−2/3y^1/2

dx+ ¹₂x^1/3y^−1/2)dy.

17.3. NOTATION DIFF ´ERENTIELLE 75

17.3.3. Utilisation faite par les ´economistes. — En notant ∆x= het ∆y = k les accroissements des variables et en utilisant le corollaire 17.12, on peut ´ecrire :

(17.4) ∆f_M0(∆x,∆y)'∂f

∂x(x₀, y₀) ∆x+∂f

∂y(x₀, y₀) ∆y.

Les ´economistes utilisent la notation moins rigoureuse ∆f_M0 pour ∆f_M0(∆x,∆y). Comme l’´egalit´e (17.4) est valable pour tout pointM0= (x0, y0) deU, on omet le pointM0 pour simplifier, ce qui donne :

(17.5) ∆fM₀' ∂f

∂x∆x+∂f

∂y ∆y.

On constate une certaine similitude d’´ecriture entre (17.3) et (17.5), c’est pourquoi, lorsque les nombres ∆xet

∆y sont suffisamment petits pour que l’erreur soit n´egligeable, voir quasi nulle, les ´economistes ´ecrivent dxau lieu de ∆x,dy au lieu de ∆y et df au lieu de ∆f et retrouvent ainsi (17.3).

En d’autres termes, les ´economistes utilisent directement la formule (17.3) en consid´erant que df, dx et dy repr´esentent des petits accroissements, c’est-`a-dire des nombres et non des fonctions.

Remarque 17.18. — Si on ´ecritz=f(x, y) on ´ecrit plutˆot ∆z `a la place de ∆f et dzau lieu dedf.

17.3.4. Op´erations alg´ebriques sur les diff´erentielles totales. — La proposition 7.16 page 29 du cha-pitre 7 reste enti`erement valable pour les diff´erentielles de fonctions de deux variables. Ces formules permettent un calcul m´ecanique sur les diff´erentielles.

CHAPITRE 18

CALCULS APPROCH´ ES DE VARIATIONS

Nous allons dans ce chapitre g´en´eraliser les d´efinitions vues au Chapitre 8 pour les fonctions d’une variable.On notera

D={(x, y)∈R²|x >0 ety >0}.

18.1. Fonctions marginales et variation absolue

D´efinition 18.1. — Soitf une fonction ´economique (production, coˆut, utilit´e, demande ...) d´ependant des variables xety (quantit´es, prix ...). On suppose quef est de classeC¹ surD.Les fonctions marginales par rapport `a xet y sont respectivement ∂f

∂x et ∂f

Ce qui signifie que la valeur des fonctions marginales au point M0 donne une valeur approch´ee de l’accrois-sement def, lorsque l’une des variables augmente d’une unit´e `a partir du point M0, l’autre variable restant constante.

Notons ∆xet ∆y les accroissements des variablesxet y `a partir du pointM0. L’accroissement def s’appelle aussivariation absolue : ∆fM0(∆x,∆y) =f(x0+ ∆x, y0+ ∆y)−f(x0, y0).

En utilisant toujours le corollaire 17.12 de la page 73 on peut ´ecrire (voir l’exemple 17.3 page 71) : Si ∇f(x0, y0)6= (0,0), on a alors l’approximaton suivante

Autrement dit, la variation absolue est pratiquement ´egale `a la somme des produits des fonctions marginales (calcul´ees au point consid´er´e) par les accroissements des variables.

18.2. Variation relative et ´elasticit´es

D´efinition 18.2. — Sous les hypoth`eses de la d´efinition pr´ec´edente, si f est strictement positive, on appelle´elasticit´e def par rapport `ax et´elasticit´e def par rapport `ay les fonctionsef/x et ef/y d´efinies sur

Si l’expression de ln(f) est simple, la diff´erentielle de la fonction g = ln(f) permet de trouver facilement les

´

elasticit´es car avec la notation diff´erentielle on peut ´ecrire :

(18.1) d(lnf) = df