Th´eor`eme final

On en d´eduit finalement le th´eor`eme suivant qui inspire le d´ebut de cette th`ese et constitue un large r´eservoir d’exemples de modules homotopiques. On souligne que k n’est pas suppos´e parfait :

Th´eor`eme 4.3.9 Soit M un module de cycles sur k.

Alors le pr´efaisceau gradu´e A0_{(.; M ) est canoniquement muni d’une structure de module}

homotopique (avec transferts) sur k.

On obtient plus pr´ecis´ement un foncteur

M Cycl_k → HMtr

k

M 7→ A0(.; M ).

Preuve : D’apr`es ce qui pr´ec`ede, A0_{(.; M ) est un pr´efaisceau avec transferts sur L}

k.

Pr´ecisons par ailleurs que d’apr`es le corollaire pr´ec´edent, pour tout morphisme f : X → Y de sch´emas dans Lk, pour tout σ ∈ A0(Y ; M ), [Γf]∗(σ) = f∗(σ), o`u f∗ est le morphisme

de Gysin du morphisme localement d’intersection compl`ete f d´efini en 4.2.23. Le morphisme f∗ co¨ıncide de plus avec le morphisme f• construit par Rost ([Ros96], §12).

Or, A0_{(.; M ) est de plus un faisceau Nisnevich. On commence par montrer pour cela}

que C∗(.; M ) est un faisceau Nisnevich, en utilisant la caract´erisation du corollaire 2.1.11)

; consid´erons donc un carr´e distingu´e ´el´ementaire de sch´emas alg´ebriques lisses

UV j _// ²² V p ²² U i //X et posons Z = (X − U )_red.

On doit montrer que, pour tout entier naturel n, l’image de ce carr´e par C∗(.; M ) est un

carr´e cocart´esien. Or, par d´efinition, Cn(X; M ) = Cn(U ; M ) ⊕ Cn(Z; M ) et Cn(V ; M ) =

Cn(UV; M ) ⊕ Cn(ZV; M ). Par ailleurs, le morphisme pullback Cn(ZV; M ) → Cn(Z; M )

est un isomorphisme. On en d´eduit donc la propri´et´e attendue.

Ainsi, C∗_{(.; M ) est un faisceau Nisnevich. Comme A}0_{(.; M ) est le noyau du morphisme}

C0_{(.; M ) → C}1_{(.; M ), on en d´eduit que A}0_{(.; M ) est aussi un faisceau Nisnevich.}

Donc A0_{(.; M ) est donc un faisceau homotopique sur k, car d’apr`es la proposition (8.6)}

de [Ros96], il est de plus invariant par homotopie. Ce faisceau est de plus naturellement gradu´e.

Soit X un sch´ema dans Lk. Consid´erons la suite exacte longue de localisation associ´ee

`a l’immersion ouverte j : Gm×kX → A1X :

0 →A0(A1_X; M, n)−→ Aj∗ 0(Gm×kX; M, n)−→ A∂ 0(X; M, n − 1)

→ A1(A1_X; M, n − 1) → ...

o`u le morphisme ∂ est le morphisme bord associ´e `a la d´ecomposition A1_X = Gm×kX t X.

D’apr`es le corollaire 3.4.4, A0_{(.; M, n)}

−1(X) est ´egal au conoyau de j∗. On en d´eduit

donc un morphisme canonique

Or, d’apr`es la proposition 8.6 de [Ros96], le morphisme A0_{(X; M, n − 1) →}

A1(A1_X; M, n − 1) est un isomorphisme. Ainsi, le morphisme ²0_n est un isomorphisme, et on pose donc ²n= (²0n)−1.

Or le morphisme j∗ _{est naturel par rapport aux transferts sur A}0_{(.; M ), et il en est}

de mˆeme du morphisme ∂. Ainsi, le morphisme ²nest un isomorphisme de faisceaux avec

transferts, ce qui munit le faisceau gradu´e A0_{(.; M ) d’une structure de module homotopique}

canonique.

La derni`ere assertion r´esulte de la compatibilit´e des «basic maps» de Rost avec les

morphismes de modules de cycles. ¤

Remarque 4.3.10.– Notons M le faisceau Nisnevich sur Lkqui co¨ıncide avec A0(.; M ).

On a montr´e dans cette d´emonstration que C∗_{(.; M ) est un faisceau Nisnevich qui v´erifie}

la condition de Brown-Gersten. Comme c’est une r´esolution de M, il en r´esulte que Hi_Nis(X; M) = Ai(X; M ).

D`es lors, d’apr`es la proposition 8.6 de [Ros96] d´emontr´e par M. Rost, le faisceau M a une cohomologie invariante par homotopie (propri´et´e que l’on appellera ˆetre «strictement invariant par homotopie»). On notera que l’hypoth`ese «k est parfait» n’est pas n´ecessaire pour obtenir ce r´esultat.

Transform´ee g´en´erique

Dans tout ce chapitre, k d´esigne un corps parfait.

Toutes les extensions de k sont suppos´ees ˆetre de type fini.

5.1

D´efinition et th´eor`eme fondamental

On ´etudie dans ce paragraphe la r´eciproque du th´eor`eme 4.3.9. La cat´egorie Es

k est ici la cat´egorie des extensions (de type fini) de k. Rappelons

qu’`a toute extension E/k on a associ´e dans 2.1.34 un pro-objet de Lk not´e (E) qui pro-

repr´esente un foncteur fibre du topos Nisnevich de Lk.

Comme on l’a d´ej`a annonc´e dans 3.3.8, on adopte la d´efinition suivante : D´efinition 5.1.1 Soit F∗ un module homotopique.

On d´efinit un foncteur not´e ˆF_∗

(E_ks)op → Z − A b E/k 7→ F∗(E).

Le th´eor`eme principal de ce chapitre est le suivant : Th´eor`eme 5.1.2 (k est un corps parfait)

Pour tout module homotopique (F∗, ²), le foncteur ˆF∗ est muni d’une structure canon-

ique de pr´e-module de cycles sur k. Pour cette structure, c’est un module de cycles, et on l’appelle la transformation g´en´erique de (F∗, ²).

Cette transformation est naturelle, et induit donc le foncteur

HMtr

k → M Cyclk

F∗ 7→ Fˆ∗.

Remarque 5.1.3.– On peut notamment introduire la d´efinition suivante :

D´efinition 5.1.4 Pour toute extension E/k, on note h0(E) le pro-objet de HN_ktr obtenu

par composition du pro-objet (E) de L_k et du foncteur canonique

pro−L_k pro−h0

−−−−→ pro−HN_ktr.

On obtient ainsi un foncteur contravariant de la cat´egorie Es

k dans la cat´egorie ab´eli-

enne pro−HNtr

k . On note HN

tr,(0)

k la sous-cat´egorie de pro−HNktr compos´ee des objets

de la forme S_tn⊗Htrh0(E) o`u n est un entier naturel, et E/k une extension (de type fini).

On peut voir la cat´egorie HN_ktr,(0) comme la cat´egorie des points pour la cat´egorie des faisceaux homotopiques (cf 3.3.4 et 3.4.5). Ainsi, on peut voir la transformation g´en´erique d’un module homotopique (F∗, ²) comme la «restriction» du faisceau homotopique gradu´e

F∗ `a la cat´egorie des points de HN_ktr,(0). Comme nous l’avons remarqu´e, cette transfor-

m´ee g´en´erique pr´esente une certaine analogie avec la transform´ee de Fourrier (le rˆole des harmoniques est jou´e ici par les points g´en´eriques), et on montrera plus loin que l’on peut d´efinir une transform´ee g´en´erique inverse.

Dans la partie concernant les motifs, on montrera comment on peut voir les donn´ees des pr´e-modules de cycles directement grˆace aux morphismes de la cat´egorie HN_ktr,(0), concr´etisant ainsi la remarque finale de 3.3.8.

Preuve : La preuve ´etant plutˆot longue, on l’a r´epartie dans les sections qui suivent. Il s’agit de construire les donn´ees d’un module de cycles, de v´erifier les relations que ces donn´ees doivent satisfaire, et de montrer les axiomes des modules de cycles. Pour que le lecteur s’y retrouve, on pr´ecise donc l’endroit o`u chacune de ces tˆaches est effectu´ee :

Donn´ees R´ef´erence Relations R´ef´erence Axiomes R´ef´erence

(D1) 5.2.1 (R1a) 5.2.2 (FD) 5.6.1 (D2) 5.3.21 (R1b) 5.3.22 (WR) 5.6.3 (D3) 5.5.17 (R1c) 5.3.24 (D4) 5.4.57 (R2a) 5.5.18 (R2b) 5.5.19 (R2c) 5.5.19 (R3a) 5.4.63 (R3b) 5.4.64 (R3c) 5.4.58 (R3d) 5.5.29 (R3e) 5.5.32

On renvoie donc `a la section 5.7 pour la conclusion de cette d´emonstration.

Dans tout le reste de ce chapitre, on fixe le module homotopique (F∗, ²).