Compactifications

On introduit dans ce paragraphe la notion de compactification, et plus pr´ecis´ement de bonne compactification (cf [SV96], §3) qui va nous servir `a interpr´eter certains groupes de correspondances finies `a homotopie pr`es.

Remarque 1.3.4.– L’hypoth`ese que S est un k-sch´ema r´egulier noeth´erien est, dans cette sous-section concernant les compactifications, surperflue.

1.3.2.1 D´efinition

D´efinition 1.3.5 Soit X une courbe sur S.

1. Une compactification de X/S est un S-sch´ema ¯X, muni d’un S-morphisme X −→ ¯i X tel que :

(a) i est une immersion ouverte. (b) ¯X/S est une courbe propre. (c) ¯X est normal.

On note dans ce cas X∞= ¯X − i(X) le sous-sch´ema ferm´e r´eduit de ¯X associ´e.

2. On dit qu’une compactification ¯X/S de X/S est bonne ssi X∞ admet un voisinage

ouvert affine sur S dans ¯X.

Remarque 1.3.6.– Ainsi, si ¯X/S est une bonne compactification de X/S, X∞ est fini

sur S, car il est propre et affine sur S.

Remarque 1.3.7.– Consid´erons dans cette remarque que tous les sch´emas sont essen- tiellement de type fini (cf d´efinition A.1.1) sur un corps de base k. Soit X un S-sch´ema tel que X est normal. Supposons donn´e ¯X un S-sch´ema v´erifiant les conditions (a) et

(b) de la d´efinition pr´ec´edente, et tel que X_∞ admette un voisinage affine V . Soit ˜X le

normalis´e de ¯X. Alors, ˜X −→ ¯p X est fini car ¯X/k est essentiellement de type fini, donc

˜

X/S est une courbe propre normale. Par ailleurs, X ´etant normal, c’est un ouvert de ˜X.

Enfin, l’image r´eciproque de V par p est un voisinage affine de ˜X − X dans ˜X, puisque p

est en particulier affine. Donc ˜X/S est une bonne compactification de X/S.

Pr´ecisons qu’on appelle simplement paire ferm´ee tout couple de sch´emas (X, Z) tel que

Z est un sous-sch´ema ferm´e de X, d’apr`es la d´efinition 5.4.1.

D´efinition 1.3.8 Soit (X, Z) une paire ferm´ee.

Soit S un sch´ema et f : X → S un morphisme de sch´emas de dimension relative ´egale `a 1 qui fait de X un S-sch´ema.

Une bonne compactification de (X, Z) relativement `a S est un S-sch´ema ¯X qui est `a la fois une bonne compactification de X/S et de (X − Z)/S.

Remarque 1.3.9.– On dira encore que (X, Z) admet une bonne compactification sur

S pour dire qu’il existe un S-sch´ema ¯X tel que ¯X/S est une bonne compactification de

(X, Z) relativement `a S.

Autrement dit, une bonne compactification de (X, Z) sur S est une compactification de X/S telle que X∞t Z admet un voisinage ouvert affine sur S.

1.3.2.2 Le cas des courbes sur un corps de base

La situation est simple dans le cas o`u on ´etudie les courbes sur un corps. Proposition 1.3.10 Soit C/k une courbe quasi-affine et r´eguli`ere.

Alors, il existe une courbe projective r´eguli`ere sur k not´ee ¯C telle que pour tout sous- sch´ema ferm´e Z de C ne contenant aucune composante irr´eductible de C, ¯C est une bonne compactification de (X, Z) sur k.

Preuve : On peut se ramener au cas o`u C est affine. D`es lors, C/k ´etant affine et de type fini, on peut consid´erer une immersion ferm´ee C → An_k. Soit ¯C l’adh´erence de C

dans Pn

k, munie de sa structure r´eduite. Alors, par d´efinition, ¯C/k est une courbe int`egre

et projective.

Consid´erons ˜C/k la normalisation de C/k, qui est une courbe de type fini puisque ¯C/k

est de type fini. Alors, ˜C est fini sur C, donc propre sur k. Comme ˜C est normal, il r´esulte

de [EGA2], 7.4.5 et 7.4.10, que ˜C/k est une courbe projective et r´eguli`ere.

Par ailleurs, C est un ouvert dense de ¯C. Donc, comme C est un sch´ema normal, c’est

encore un ouvert dense de ˜C.

Soit Z une partie ferm´ee de C de dimension nulle. Le sous-ensemble ( ˜C − C) t Z est

donc une partie ferm´ee de ˜C/k, constitu´ee d’un nombre fini de points. Elle admet donc

un voisinage affine puisque ˜C/k est projective. ¤

1.3.2.3 Cas semi-local

Le th´eor`eme suivant est dˆu `a M.Walker :

Th´eor`eme 1.3.11 (Walker) Supposons que k est un corps infini.

Soit (X, Z) une paire ferm´ee, telle que X est un sch´ema affine dans L_k. On suppose que Z est partout de codimension non nulle dans X.

Consid´erons {x1, ..., xn} un ensemble de points de X.

Alors, il existe :

1. un sch´ema affine S alg´ebrique lisse. 2. un voisinage ouvert affine U des xi.

3. un k-morphisme f : U → S lisse de dimension relative 1

tels que le couple (U, U ∩ Z) admet une bonne compactification sur S.

Preuve : La preuve suivante reprend la d´emonstration correspondante dans [Wal96], remarque 4.13.

1) R´eduction : On peut tout d’abord supposer que X est irr´eductible, puisqu’il est somme disjointe de ses composantes irr´eductibles.

Par ailleurs, on peut supposer que tous les xi sont ferm´es quitte `a prendre des sp´ecial-

isations, et que Z est de codimension 1 dans X, quitte `a le grandir.

Enfin, si l’on peut trouver une bonne compactification relative au voisinage de chacun des points s´epar´ement, puisque ceux-ci sont ferm´es, on peut r´eduire les ouverts correspon- dants pour qu’ils soient disjoints, ce qui donne ensuite une compactificaton pour la somme disjointe de ces ouverts, qui convient.

Le probl`eme se r´esume donc `a trouver une bonne compactification relative pour un diviseur Z de X au voisinage d’un point ferm´e not´e x.

2) Construction de S : Soit r + 1 la dimension de X. Ainsi, Z est purement de dimension r.

Puisque X est affine de type fini sur k, on peut consid´erer une immersion ferm´ee

X ,→ An

k, ce qui nous permet d’identifier X `a un sous-sch´ema ferm´e de Ank. On note :

1. ¯X l’adh´erence de X dans Pn

k vu comme sous-sch´ema r´eduit de Pnk

2. ¯Z l’adh´erence de Z dans Pn

k vu comme sous-sch´ema r´eduit de Pnk

3. ˙X = ¯X − X la fronti`ere de X dans Pn

k, qui est encore l’intersection de ¯X avec

l’hyperplan `a l’infini. C’est un sch´ema de dimension inf´erieure `a r.

On se r´eserve le droit d’augmenter n en consid´erant un plongement arbitraire An

k ,→ An

0

k .

On cherche le morphisme f en consid´erant les projections orthogonales de An

k dont le

centre est en position g´en´erale parmi les sous-vari´et´es lin´eaires de An

k de codimension r.

Param´etrisation des projections orthogonales An k → Ark.

Plus pr´ecis´ement, ces projections sont param´etr´ees par les points du sch´ema Anr k . En

effet, si λ est un point de Anr

k , notant κ(λ) son corps r´esiduel, il correspond `a un point

rationnel de Anr

κ(λ), c’est-`a-dire un ´el´ement (λi,j)1≤i≤r

1≤j≤n de κ(λ)

nr_.

On associe donc `a λ une projection lin´eaire p_λ =: An

κ(λ) → Arκ(λ) d´efinie comme le

spectre du morphisme κ(λ)-lin´eaire

κ(λ)[t1, ..., tr] → κ(λ)[X1, ..., Xn]

ti 7→

P_n

j=1Xj− λi,j.

On note Lλ le centre de cette projection, c’est-`a-dire le sous-sch´ema ferm´e d´efini par

l’intersection des r hyperplans correspondant aux z´eros de chaque projections de p_λ sur A1_κ(λ).

Par ailleurs, si ˙Lλ d´esigne la fronti`ere de Lλ vu comme sous-sch´ema de Pn_κ(λ), le mor-

phisme p_λ se prolonge sur les espaces projectifs en un morphisme ¯

pλ : Pnκ(λ)− ˙Lλ → Prκ(λ).

Munis de ces notations, on peut ´enoncer le lemme suivant qui va nous servir `a trouver le morphisme f de l’´enonc´e :

Lemme 1.3.12 Notons Ωn l’ouvert de Anrk form´e des points λ tels que :

1. p_λ|_Zκ(λ) est finie.

2. ˙X_κ(λ)∩ ˙Lλ est constitu´e d’un nombre fini de points ferm´es.

Alors, pour n assez grand, Ωn est dense dans Anr_k .

Preuve : Il est facile de montrer que Ω_n est ouvert, et la partie difficile est de voir que cet ouvert est dense. On fait la d´emonstration en deux ´etapes :

i) On se place d’abord dans le cas o`u x est un point rationnel de X. On peut donc supposer que x = 0 dans An

k.

Le fait que la premi`ere condition est dense r´esulte du fait que Z est ferm´e de dimension

r dans An_k.

Le fait que la deuxi`eme condition est dense r´esulte de ce que l’intersection dans Pn<sub>k</sub> de la sous-vari´et´e projective ˙X, qui est de dimension inf´erieure `a r, avec une sous-vari´et´e

projective lin´eaire de codimension r en position g´en´erale est finie.

Pour la troisi`eme condition, il suffit de garantir que l’intersection de Lλ avec X est

transverse en 0. On utilise alors le th´eor`eme suivant pour lequel on renvoie `a [SGA4], expos´e XI, th´eor`eme 2.1 :

Th´eor`eme 1.3.13 L’intersection dans An

k de X avec r hypersurfaces de degr´e 2 contenant

0 et qui sont en position g´en´erale est transverse. Or, quitte `a plonger An

k dans An

2

k par le plogement de Veronese, une sous-vari´et´e

lin´eaire de An2

k correspond `a une quadrique (donc de degr´e 2) de Ank, et le th´eor`eme

pr´ec´edent s’applique pour montrer que la troisi`eme condition est dense. ii) Cas g´en´eral.

On consid`ere une extension finie k0_{/k telle que la fibre de x dans X ⊗}

kk0soit constitu´ee

de points rationnels x0

i. Pour chacuns de ces points, les conditions de l’´enonc´e donnent

donc un ouvert Ω0_n,i dense dans Anr_k0. L’extension Ar_k0/Ar_k ´etant fid`element plate, les

conditions de l’´enonc´e se redescendent, et l’image directe de ∩iΩ0n,i dans Anrk est incluse

dans Ωn, ce qui implique que Ωn est dense. ¤

Puisque k est infini, Ω_n admet donc un point rationnel λ. On note alors p : X → Ar k

la restriction de pλ `a X. On pose ˙L = ˙X ∩ ˙Lλ qui est donc un sch´ema fini sur k d’apr`es la

condition 2 du lemme pr´ec´edent. On dispose donc du morphisme ¯p : ¯X − ˙L → Pr

k obtenu

par restriction du morphisme ¯p_λ.

On utilise le truc classique suivant pour rendre ¯p projectif. On note ˜X l’adh´erence du

graphe de ¯p dans ¯X ×kPrk. D`es lors, ¯X − ˙L est un ouvert dense de ˜X, et la projection

canonique ˜p : ˜X → Pr

k prolonge ¯p. Comme ¯X/k est projectif, ˜p est projectif. On a donc

obtenu le diagramme suivant :

X p ²²   _{// ¯} X − ˙L ¯ p ²²   _{// ˜} X ˜ p ||xxxx xxx Ar k  //Prk. 3) Construction de la compactification :

Comme le carr´e du diagramme ci-dessus est cart´esien et que L est fini sur k (condition 2 du lemme pr´ec´edent), les fibres de ˜p dans ˜X − X au-dessus de Ar

Donc, il existe un voisinage ouvert S de p(x) dans Ar

k tel que ˜p−1(S) ∩ ( ˜X − X) est

fini sur S. Quitte `a r´eduire S, puisque d’apr`es la condition 3 du lemme pr´ec´edent, p est lisse en p−1_{(p(x)), on peut supposer que p}−1_{(S) → S est lisse.}

Finalement, on pose donc U = p−1_{(S), et on note f : U → S la restriction de p `a}

U . Le morphisme f est donc lisse de dimension relative 1. De plus, d’apr`es la premi`ere

condition du lemme pr´ec´edent, le morphisme Z ∩ U → S, obtenu par restriction de p, est fini.

On pose encore ¯U = ˜p−1_{(S), de sorte que le morphisme ¯f : ¯U → S obtenu par}

restriction du morphisme ˜p est projectif. Il en r´esulte enfin que ¯U − U est fini sur S,

d’apr`es le choix de S.

Pour conclure, le lemme suivant montre, quitte `a restreindre encore S au voisinage de

p(x), que ( ¯U −U )tZ ∩U admet un voisinage ouvert affine, ce qui conclut la d´emonstration

du th´eor`eme :

Lemme 1.3.14 Soit ¯p : ¯U → S un courbe projective, et F un ferm´e de ¯U tel que F/S est fini. Soit x un point de F , d’image s dans S.

Alors, il existe un ouvert affine S0 _{de S contenant s, et un diviseur effectif D dans ¯X}

tel que :

1. F_S0 est inclus dans ¯U_S0− D.

2. ¯US0 − D_S0 est affine.

Preuve du lemme : On regarde Fs la fibre de F au-dessus de s. L’ensemble sous-jacent `a

Fs est donc fini. Comme ¯U /S est projectif, il existe une section f dans Γ( ¯U , O_U¯(i)), pour

i suffisamment grand, dont le diviseur D est disjoint de Fs. Il existe donc un voisinage

ouvert affine S0 _{de s dans S, tel que D est disjoint de F}

S0, ce qui garantit la premi`ere

condition. Comme S0 _{est affine, et D}

S0 est le diviseur associ´e `a une section globale d’un

fibr´e tr`es ample sur ¯U_S0, le sch´ema ¯U_S0− D_S0 est affine. ¤ ¤

Dans le document modules homotopiques avec transferts et motifs génériques (Page 50-55)