Cycles

Dans cette section, tous les sch´emas sont suppos´es noeth´eriens.

1.1.1 Rappels sur l’intersection des cycles

A la base de notre travail se trouve la d´efinition classique et fondamentale : D´efinition 1.1.1 Soit X un sch´ema.

On note Z(X) le groupe ab´elien libre engendr´e par l’ensemble sous-jacent `a |X|. Les ´el´ements de Z(X) sont appel´es les cycles de X.

Si α est un cycle de X, et x un point de l’espace associ´e `a X, on note αx le coefficient

de x dans α.

Notre r´ef´erence g´en´erale pour la th´eorie des cycles et de l’intersection est [Ful98]. Toutefois, W.Fulton utilise syst´ematiquement la relation d’´equivalence rationnelle sur les cycles. Le but de ces rappels est de montrer que dans la th´eorie de V. Voevodsky, on n’est pas oblig´e de consid´erer les classes de cycles pour l’´equivalence rationnelle, et que l’on peut travailler directement avec les cycles.

On rappelle la fonctorialit´e ´el´ementaire suivante :

1. Si f : X → X0 _{est un morphisme plat, il existe un morphisme canonique f}∗ _:

Z(X0) → Z(X), que l’on appelle changement de base ou encore «pullback».

2. Si f : X → Y est un morphisme propre, il existe un morphisme canonique f_∗ :

Z(X) → Z(Y ), que l’on appelle image directe ou encore «pushout».

Ces deux morphismes font de Z un foncteur contravariant (respectivement covariant) pour la cat´egorie des sch´emas noeth´eriens munie des morphismes plats (resp. propres), d’apr`es loc.cit., 1.4 et 1.7.

Passons maintenant au produit d’intersection de cycles :

D´efinition 1.1.2 Soit X un sch´ema, Z (respectivement Z0) un sous-sch´ema ferm´e int`egre de X de codimension d (respectivement d0_{). On dit que l’intersection de Z et Z}0 _{est propre}

si et seulement si les composantes irr´eductibles de Z ∩ Z0 _{sont de codimension d + d}0_.

On dira que deux cycles de X s’intersectent proprement si et seulement si leurs com- posantes respectives s’intersectent deux `a deux proprement.

Remarque 1.1.3.– Lorsque X est r´egulier, si Z et Z’ sont des sous-sch´emas ferm´es de

X, d’apr`es [Ser58], on a toujours l’in´egalit´e :

codimX(Z ∩ Z0) ≥ codimXZ + codimXZ0.

On peut alors, suivant loc.cit., d´efinir le produit d’intersection suivant :

D´efinition 1.1.4 (Serre) Soit X un sch´ema, Z et Z0 deux sous-sch´emas ferm´es int`egres de X dont l’intersection est propre, on d´efinit le cycle intersection de Z et Z0 _{comme suit :}

Notons (W_i)_i=1,...,n les composantes irr´eductibles de Z ∩ Z0_{, vus comme des sous-}

sch´emas r´eduits, et wi le point g´en´erique de Wi.

Alors, le complexe

O_Z,wi ⊗L_O

X,wi OZ0,wi

est cohomologiquement born´e, et on d´efinit la multiplicit´e d’intersection de W_i dans Z ∩ Z0

comme l’entier relatif

m(Wi; Z, Z0) = X k (−1)k.lg_O X,wi ³ Tork_O X,wi ¡ OZ,wi, OZ0,wi ¢´ . Le cycle intersection de Z et Z0 _{est alors}

Z.Z0 =

n

X

i=1

m(W_i; Z, Z0)w_i

Plus g´en´eralement, si α et β sont des cycles de X qui s’intersectent proprement, on d´efinit :

α.β = X

(x,y)∈|X|2

α_xβ_yx.y .

Remarque 1.1.5.– On dit qu’on se trouve dans le cas d’´egale caract´eristique (ou en- core ´equicaract´eristique) lorsque tous les corps r´esiduels de X ont mˆeme caract´eristique. Autrement dit, il existe un corps k tel que le sch´ema X est un k-sch´ema.

Dans ce cas, on peut encore donner la d´efinition suivante de la multiplicit´e d’intersection. Pour Z et Z0 des sous-sch´emas ferm´es de X, on note C le cˆone normal de Z ∩ Z0 _{dans Z ×}

kZ0. Alors, pour tout point g´en´erique wi de Z ∩ Z0, wi est un point

g´en´erique de C, et W.Fulton donne la d´efinition suivante de la multiplicit´e d’intersection :

m(Wi; Z, Z0) = lg(OC,wi).

Lorsque X est lisse de type fini sur k, on trouvera une d´emonstration que ces deux d´efini- tions co¨ıncident dans [Ful98], §20.4. La mˆeme d´emonstration reste valide si X est obtenu par localisation d’un sch´ema de type fini (i.e. X est essentiellement lisse sur k, suivant la d´efinition A.2.1).

Th´eor`eme 1.1.6 (Serre) Soit X un sch´ema, et Z, Z’ des sous-sch´emas ferm´es. Si X

est r´egulier d’´egale caract´eristique, les multiplicit´es d’intersection de Z et Z0 sont positives.

Remarque 1.1.7.– Ce th´eor`eme a ´et´e g´en´eralis´e par O. Gabber dans le cas o`u X est r´egulier mais pas n´ecessairement d’´egale caract´eristique.

On utilisera par ailleurs les deux propri´et´es fondamentales suivantes de ce produit : Proposition 1.1.8 Soit X un sch´ema et α, β, γ des cycles sur X s’intersectant propre-

ment deux `a deux : 1. Commutativit´e :

α.β = β.α 2. Associativit´e :

(α.β).γ = α.(β.γ)

Remarque 1.1.9.– Ces deux propri´et´es r´esultent en fait des propri´et´es correspondantes du produit tensoriel d´eriv´e dans la cat´egorie d´eriv´ee des OX-modules.

Toujours dans [Ser58], on trouvera la proposition suivante :

Proposition 1.1.10 Soit X et Y des sch´emas et f : Y → X un morphisme :

1. Supposons f plat. Pour tous cycles α et β de X, on a f∗(α.β) = f∗(α).f∗(β)

d`es que les termes de l’´equation sont d´efinis.

2. Formule de projection : supposons f propre et plat. Pour tous cycles α de X et β de Y , on a

f∗(f∗(α).β) = α.f∗(β)

d`es que les termes de l’´equation sont d´efinis.

1.1.2 Cycles relatifs

1.1.2.1 D´efinition

Dans cette partie, on expose une partie du formalisme des cycles relatifs qui se trouve dans [SV00b]. Nous nous sommes limit´es au cas des cycles relatifs ´equidimensionnels de dimension 0, puisqu’ils suffisent `a d´efinir les correspondances finies et leur produit de composition.

On rappelle tout d’abord la d´efinition suivante :

D´efinition 1.1.11 Soit f : X → S un morphisme. On dit que f est ´equidimensionnel si

et seulement si

1. f est de type fini.

3. Toute composante irr´eductible de X domine une composante irr´eductible de S.

Si S est g´eom´etriquement unibranche, cette condition ´equivaut `a la condition d’ˆetre universellement ouvert et de dimension relative d’apr`es la proposition 2.1.7 de loc.cit.

Le lemme suivant permet de clarifier cette notion dans le cas particulier o`u on l’utilisera :

Lemme 1.1.12 Soit f : X → S un morphisme, avec X et S irr´eductibles noeth´eriens, et

S g´eom´etriquement unibranche. Les conditions suivantes sont ´equivalentes : 1. f est fini ´equidimensionnel.

2. f est fini surjectif.

3. f est propre et ´equidimensionnel de dimension 0.

Preuve : Les conditions 1 et 2 sont ´equivalentes puisque si f est fini, il est de dimension relative constante et universellement ferm´e. L’´equivalence entre 1 et 3 r´esulte de la

factorisation de Stein. ¤

Ainsi, dans le cas g´en´eral, un morphisme fini ´equidimensionnel sur un sch´ema g´eom´etriquement unibranche est obtenu comme somme de morphismes finis surjectifs entre sch´emas irr´eductibles.

D´efinition 1.1.13 Soit S un sch´ema r´egulier et X/S un S-sch´ema de type fini.

On d´efinit le groupe ab´elien cequi(X/S, 0) comme le sous-groupe de Z(X) engendr´e par

les points x de X tels que Z(x)/S est fini ´equidimensionnel, o`u Z(x) d´esigne le sous- sch´ema ferm´e r´eduit de X adh´erence de {x}.

On appelle les ´el´ements de ce groupe des cycles relatifs de X sur S.

Remarque 1.1.14.– On fera attention que A. Suslin et V. Voevodsky appellent les ´el´ements du groupe ci-dessus des cycles relatifs ´equidimensionnels de dimension 0. Nous ne consid`ererons jamais les cycles relatifs de dimension strictement positive, et un tel abus ne porte donc pas `a confusion dans cette th`ese.

Plus pr´ecis´ement, suivant loc.cit., le groupe que l’on vient de d´efinir est plutˆot not´e :

P ropCyclequi(X/S, 0),

groupe des cycles `a support propre ´equidimensionnel de dimension 0 sur S (voir loc.cit., d´efinition 3.1.3). Le groupe cequi(X/S, 0) est le sous-groupe du pr´ec´edent dont les

cycles ont un pullback bien d´efini sur n’importe quel S-sch´ema noeth´erien (voir loc.cit., d´efinition apr`es le lemme 3.3.9). Le fait que ces deux derniers groupes co¨ıncident lorsque

S est r´egulier est la proposition 3.3.15 de loc.cit..

Jusqu’`a la fin de cette sous-sous-section, on fixe un sch´ema r´egulier S.

Ainsi un cycle α de X est relatif sur S si et seulement si le support de α est fini ´equidimensionnel sur S, autrement dit chaque composante de α est un sch´ema fini et surjectif sur une composante irr´eductible de S d’apr`es le lemme 1.1.12 (puisque S est en

particulier g´eom´etriquement unibranche).

Remarque 1.1.15.– Puisque S est r´egulier, ses composantes irr´eductibles sont des com- posantes connexes. Ainsi, comme cequi(X/S1t S2, 0) = cequi(X/S1, 0) ⊕ cequi(X/S2, 0),

notre groupe de cycles relatif se d´ecompose toujours en somme de groupes de cycles relat- ifs `a une base connexe.

D´efinition 1.1.16 Soit Z un sous-sch´ema ferm´e de X, qui est fini ´equidimensionnel sur

S. On note (z_i)_{i=1,...,n} les points g´en´eriques de Z qui sont dominants sur S. On d´efinit le cycle relatif sur S associ´e `a Z comme le cycle

[Z]_X/S =X

i

lg(OZ,zi).zi.

En effet, zi est alors fini ´equidimensionnel sur S (d’apr`es le lemme 1.1.12).

D´efinition 1.1.17 Consid´erons un carr´e cart´esien :

X0 q //

²²

X

²²

S0 p //_S

tel que S et S0 _{sont r´eguliers, et p est plat.}

Si Z est un sous-sch´ema ferm´e int`egre de X, fini ´equidimensionnel sur S, Z ×SS0 est

un sous-sch´ema ferm´e de X0_{, fini et ´equidimensionnel sur S}0_.

On pose donc

q∗[Z] = [Z ×SS0]X0_/S0 ∈ c_equi

¡

X0/S0, 0¢.

On d´efinit ainsi par lin´earit´e un morphisme de changement de base : q∗ : c_equi(X/S, 0) → c_equi¡X0/S0, 0¢.

A priori, ce morphisme de changement de base est plutˆot fonction de p, et en toute rigueur, on aurait dˆu le noter (p, q)∗_{. Toutefois, comme il est ´egal `a la restriction du}

morphisme pullback q∗ _{sur les cycles de X d´efini dans le paragraphe pr´ec´edent, on}

conserve cette notation abusive. Par ailleurs, cette remarque montre que ce morphisme est naturel en (p, q).

1.1.2.2 Image directe

Le premier int´erˆet des cycles relatifs est de disposer d’un morphisme pushout par n’importe quel morphisme au-dessus de la base :

Lemme 1.1.18 Soient S un sch´ema connexe et f : X → Y un morphisme de S-sch´emas

de type fini. Si Z est un sous-sch´ema ferm´e int`egre de X fini et surjectif sur S, f (Z) muni de sa structure r´eduite est un sous-sch´ema ferm´e irr´eductible de Y , qui est fini et surjectif sur S.

Le morphisme Z → f (Z) est donc un morphisme fini dominant de sch´emas irr´e- ductibles. On pose donc

f∗(Z) = d.f (Z) ∈ cequi(X/S, 0)

o`u d est le degr´e de l’extension induite par f entre les corps de fonctions de Z et f (Z). On d´efinit ainsi par lin´earit´e un morphisme

f∗ : cequi(X/S, 0) → cequi(Y /S, 0) .

Preuve : En effet, puisque Z/S est propre f (Z) est ferm´e dans Y et f (Z) muni de sa structure r´eduite de sous-sch´ema de Y est propre sur S, comme on le v´erifie par exemple avec la caract´erisation de la propret´e par les traits. Comme de plus, les fibres de f (Z) au-dessus de S sont finies, d’apr`es [EGA3] 4.4.2, f (Z) fini sur S.

Il en r´esulte que le morphisme Z → f (Z) est fini, et par d´efinition dominant. ¤ Remarque 1.1.19.– Plus g´en´eralement, on aurait un lemme analogue si on avait consid´er´e les cycles de X `a support propre sur S (voir [SV00b], corollaire 3.6.2).

Enon¸cons bri`evement :

Lemme 1.1.20 Soit X−→ Yf −→ Z des S-morphismes. Alors, (g ◦ f )g ∗ = g∗◦ f∗.

Preuve : En effet, il s’agit juste de la multiplicativit´e des degr´es des extensions r´esiduelles. ¤

Proposition 1.1.21 Soit p : S0 → S un morphisme plat entre sch´emas r´eguliers. Con- sid´erons de plus les carr´es cart´esiens de sch´emas :

X0 t // g_²² X f ²² Y0 ²² q _// Y ²² S0 p //_S.

Alors, pour tout cycle relatif α ∈ cequi(X/S, 0), on a

g∗t∗(α) = q∗f∗(α).

Preuve : On se ram`ene par lin´earit´e au cas o`u α est la classe d’un sous-sch´ema ferm´e int`egre de X, fini et ´equidimensionnel sur S. Puisque f∗(Z) est `a support dans f (Z) par

d´efinition, on peut supposer Y = f (Z), auquel cas le morphisme f est propre. D`es lors, la formule est exactement la formule de projection classique (voir par exemple [Ful98],

proposition 1.7). ¤

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