Droite affine sur un corps

Toujours dans le mˆeme esprit, la proposition suivante s’inspire du lemme 4.6 de [FSV00c] :

Proposition 1.3.26 Soit C un ouvert de A1

k.

Alors, pour tout ouverts U , V de C tels que C = U ∪ V , le complexe

0 → U ∩ V j1−j2

−−−→ U ⊕ V −−−−→ C → 0(i1,i2)

est contractile dans la cat´egorie additive πL_cor,k, o`u i₁, i₂, j₁, j₂ d´esignent les immersions ouvertes canoniques.

Remarque 1.3.27.– On interpr`ete cette proposition par le fait que dans la cat´egorie

Kb_(πL

cor,k) form´ee des complexes `a ´equivalence d’homotopie pr`es, les ouverts de A1_k

satisfont la propri´et´e de Mayer-Vietoris. Cette remarque prendra tout son sens dans le chapitre sur la cat´egorie triangul´ee des motifs mixtes de V. Voevodsky.

Preuve : Fixons les notations suivantes : W = U ∩ V , T = C − (U ∪ V ), Z = C − U et

Z0 = C − V ; donc T = Z t Z0. Par hypoth`ese, Z et Z0 sont disjoints. On munit tous ses sous-espaces de la structure r´eduite de sous-sch´ema correspondante.

Puisque C/k est une courbe affine lisse, il existe d’apr`es la proposition 1.3.10 une courbe projective lisse ¯C/k qui est une bonne compactification de C/k, et en mˆeme temps

une bonne compactification de U ∩ V /k.

On consid`ere l’´el´ement 1C dans πk(C, C). D’apr`es le th´eor`eme 1.3.18, il lui correspond

un unique ´el´ement de Pic¡C ×kC, C ׯ kC∞

¢

. On peut donc consid´erer un couple (L, σ) qui le repr´esente. Ainsi, L repr´esente le diviseur correspondant `a la diagonale ∆C dans

C ×_kC, et la trivialisation σ provient en fait d’une trivialisation¯ s : OΩ−→ L|∼ Ω

o`u Ω = (C ×_kC) − ∆¯ C.

Mais par ailleurs le sch´ema C ×kT est un ouvert de A1T, donc Pic (C ×kT ) = 0. Il en

r´esulte que le faisceau L|C×kT est trivial. On choisit donc une trivialisation

t : O_{(C×kT )}−→ L|∼ _{(C×kT )}.

Fixons maintenant une notation commode : pour tout ouvert U de C, et tout ferm´e Y de C ditinct de C, on pose T (U, Y ) le groupe additif des isomorphismes de fibr´e de OU Y

dans L|_{U Y}. On a donc un morphisme canonique

T (U, Y ) → πk(U, C − Y ) , r 7→ α(r)

qui `a une trivialisation r associe le couple (L|_{U ¯C}, r ⊕ σ|_{U C∞}) (Notons que l’on peut faire la somme directe de deux trivialisations sur un ferm´e strict de ¯C, puisque celui-ci admet

un voisinage affine).

Par ailleurs, pour i : U0_{→ U et j : X − Y → X − Y}0 _{deux immersions ouvertes, pour}

r ∈ T (U, Y ), on a les relations suivantes :

qui r´esultent de la fonctorialit´e de l’isomorphisme de 1.3.18. Si Y est vide, T (U, Y ) est r´eduit `a un singleton, d’image l’immersion ouverte U → C par α (compte tenu du choix de (L, σ)).

Muni de ces notations, on peut maintenant construire une homotopie explicite 0 //U ∩ V j1−j2//U ⊕ V (i1,i2) // (f1,f2) ¢¢ C // g2 xx 0 0 //U ∩ V _j 1−j2 //_{U ⊕ V} (i1,i2) //_C //₀ en posant : 1. g₂ = α (t|_CZ0) : C → V 2. f1 = α (s|U Z ⊕ t|U Z0) : U → U ∩ V 3. f2 = α (t|V T) − α (s|V Z0 ⊕ t|_{V Z})

On peut alors v´erifier que c’est bien une homotopie : 1. On obtient tout d’abord : i2◦ g2 = α(t|∅) = 1C.

2. Par ailleurs,

f1j1− f2j2 = α (s|W Z⊕ t|W Z0) + α (s|_{W Z}0 ⊕ t|_{W Z}) − α (t|_{W T})

Cette correspondance finie correspond donc au fibr´e inversible L ⊗ L ⊗ ˇL, muni de

la trivialisation

(s|W Z ⊕ t|W Z0⊕ s|_{W C∞}) ⊗ (s|_{W Z}0⊕ t|_{W Z} ⊕ s|_{W C∞}) ⊗ (ˇt|_{W T} ⊕ ˇs|_{W C∞}).

Ce couple est isomorphe `a (L, s|W Z⊕ s|W Z0⊕ s|<sub>W C∞</sub>), soit `a la correspondance finie

1W.

Les quatre autres relations se v´erifient de la mˆeme fa¸con. ¤ Remarque 1.3.28.– On g´en´eralisera cette proposition lorsqu’on aura d´efini la topologie de Nisnevich.

Faisceaux avec transferts

Sauf mention explicite du contraire, tous les faisceaux que l’ont consid`ere sont des faisceaux en groupes ab´eliens.

2.1

Topologie de Nisnevich

On fixe dans cette partie un sch´ema noeth´erien de dimension de Krull finie S.

2.1.1 D´efinition

D´efinition 2.1.1 On d´efinit la topologie de Nisnevich sur LS, not´ee Nis comme la topolo-

gie engendr´ee par les familles couvrantes d’un sch´ema X dans L_S

(Vi → X)fi i∈I

telle que

(N1) fi est un S-morphisme ´etale

(N2) Pour tout point x de X, il existe i dans I, et y un point de Vi au-dessus de x tel que

le morphisme induit sur les corps r´esiduels κ(x) → κ(y) est un isomorphisme. De plus, on appelle voisinage de Nisnevich de X en x tout couple (V, y) o`u V est un sch´ema ´etale et de type fini sur X et y un point de Y au-dessus de x tel que le morphisme induit κ(x) → κ(x) est un isomorphisme.

La topologie Nis s’ins`ere dans la suite d´ecroissante de topologies sur L_S : Can ≥ Et ≥ Nis ≥ Zar

o`u Can, Et, Zar d´esignent respectivement les topologies canonique, ´etale et Zariski. En particulier, tout pr´efaisceau repr´esentable sur LS est un faisceau pour Nis.

2.1.2.– On note NS (resp. ZS) la cat´egorie des faisceaux de groupes ab´eliens sur LS

pour la topologie de Nisnevich (resp. Zariski).

Exemple 2.1.3.– Si X est un sch´ema dans L_S, le pr´efaisceau

LX → A b, Y 7→ Z.HomLS(Y, X)

est un faisceau pour la topologie de Nisnevich. On le note ZS(X), en tant qu’objet de NS.

On utilisera particuli`erement le lemme de «structure» suivant pour les voisinages de Nisnevich :

Lemme 2.1.4 Soit X un sch´ema irr´eductible dans LS, x le point g´en´erique de X. Soit

V un sch´ema dans LS, y un point de Y et f : V → X un S-morphisme tel que f (x) = y.

Alors les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes : 1. f induit un isomorphisme de κ(x) dans κ(y).

2. Il existe un ouvert U de X contenant x, et un morphisme s : (U, x) → (V, y) qui est une section de f |_f−1_{(U )}, ie f ◦ s = Id_U.

Preuve : Il suffit d’appliquer le lemme

Lemme 2.1.5 Soit s un point de S. Soient (X, x) et (Y, y) deux (S, s)-sch´emas, Y ´etant

localement de pr´esentation finie sur S.

Soit F ((X, x), (Y, y)) le germe des S-morphismes de X dans Y envoyant x sur y (ie les S-morphismes de sch´emas d´efinis sur un voisinage ouvert de x, envoyant x en y). Alors on a une bijection

F ((X, x), (Y, y)) → Homloc−OS,s(OY,y, OX,x)

f 7→ fx] .

Consid´erons l’application ϕ

OY,y −→ κ(y)

(fy])−1

−−−−→ κ(x) = OX,x .

D’apr`es le lemme, ce morphisme local correspond `a un S-morphisme s d´efini sur un voisinage ouvert de x. Par ailleurs, si l’on se restreint `a un ouvert U encore plus petit, compte tenu de ce que (f ◦ s)]<sub>x</sub>= Id, s d´efinit bien une section de f |<sub>U</sub>. ¤ ¤ Remarque 2.1.6.– Le cas des k-alg`ebres locales-´etales de corps r´esiduel k montre qu’on ne peut pas esp´erer obtenir une telle section sur un ouvert en g´en´eral (mais seulement un ouvert localement ferm´e).