Points pour la topologie de Nisnevich

On utilise dans cette sous-section la th´eorie g´en´erale des points d’un topos dans le cas du topos Nisnevich (et en mˆeme temps le cas classique du topos Zariski), pr´esent´ee dans l’appendice C.3.

2.1.3.1 Localis´e pour la topologie de Nisnevich

Pour d´efinir des points du topos Nisnevich (resp. Zariski), on commence en fait par d´efinir des cat´egories de voisinages (d’apr`es l’annexe C.3, c’est en fait ´equivalent)

D´efinition 2.1.13 Soit X un sch´ema dans LS, et x un point de X. On note Vx(X)

l’ensemble des ouverts de X contenant x ordonn´e par inclusion ( i.e. des voisinages de x dans X pour la topologie de Zariski).

Similairement, on note Vh

x(X) la cat´egorie des voisinages de Nisnevich de X en x (cf

d´efinition 2.1.1).

Remarque 2.1.14.– On reconnaˆıtra dans cette d´efinition la d´efinition g´en´erale C.3.6. Lemme 2.1.15 Les cat´egories V_x(X) et Vh

x (X) sont essentiellement petites et cofil-

trantes.

Preuve : Soit V et V0 _{deux voisinages Nisnevich (resp. Zariski) de x dans X. Alors,}

V ×X V0 est un voisinage Nisnevich (resp. Zariski) de x dans X0, plus fin que V et V0.

Dans le cas des voisinages Zariski, la cat´egorie est mˆeme petite. Dans le cas des voisinages Nisnevich, il suffit d’utiliser la forme ´el´ementaire d’une extension ´etale de sch´ema, et le fait que X est noeth´erien, pour trouver une (petite) famille essentielle. ¤

D´efinition 2.1.16 On d´efinit le localis´e de X en x pour la topologie Zariski, not´e Xx,

comme le pro-objet de LS

X_x = lim_←−˜

U ∈Vx(X)

U.

On d´efinit aussi le localis´e de X en x pour la topologie Nisnevich, not´e X_xh, comme le pro-objet de LS X_xh = lim_←−˜ V ∈Vh x(X) V. Proposition 2.1.17 1. Le pro-objet Xh

x (resp. Xx) pro-repr´esente un foncteur fibre

du topos Nisnevich (resp. Zariski) de LS.

2. La famille des points Xh

x (resp. Xx) pour X dans LS et x un point de X est

conservative sur le topos Nisnevich (resp. Zariski) de L_S.

Preuve : On ne donne la d´emonstration que dans le cas de la topologie de Nisnevich (l’autre cas ´etant `a la fois plus simple et similaire).

1) Il s’agit de v´erifier la condition (C) de la proposition C.3.10 pour le pro-objet Xh x.

Soient V un voisinage Nisnevich de x dans X, Y un sch´ema dans LS et (Yr)r∈Λ → Y

un recouvrement Nisnevich de Y , et f : V → Y un morphisme. Soit v le point de V tel que l’extension induite κ(v)/κ(x) soit triviale, et y = f (v). Puisque (Y_r)_r → Y est un

recouvrement, il existe un r dans Λ et un point z dans Yr au-dessus de y tel que l’extension

induite κ(z)/κ(y) soit triviale. D’apr`es le lemme 2.1.4, il existe donc un ouvert U de Y contenant y tel que le morphisme Yr×Y U → U admet une section, not´ee s. Or, V ×Y U

est un ouvert de U contenant v, c’est donc un voisinage Nisnevich de X. On en d´eduit donc le diagramme commutatif attendu :

V ×_Y U // fU Q ((Q Q Q Q Q V f ²² U s_²² Yr×Y U wwnnnnnn Yr //Y.

2) Soit u : F → G un morphisme de faisceau.

On montre d’abord que si pour tout point x de X, ux est injective alors u est un

monomorphisme. Tout d’abord, u_X : F (X) → G(X) est injective. Soit donc s, t deux

X-sections de F , telles que uX(s) = uX(t). Alors pour tout point x de X, consid´erant

le morphisme canonique F (X) → Fx, ux(sx) = ux(tx), donc sx = tx dans l’ensemble Fx.

Par d´efinition, cela implique qu’il existe (V, v) voisinage de Nisnevich de X en x tel que

s|V = t|V. Par ailleurs, appliquant ceci en tous points de X, on obtient un recouvrement

pour Nisnevich Vi → X tel que s|Vi = t|Vi, ce qui implique s = t (puisque F est un faisceau

pour Nisnevich).

Supposons maintenant que pour tout point x, ux est un isomorphisme, et montrons

que u est alors un isomorphisme. D’apr`es ce qui pr´ec`ede, il suffit de voir que uX est

surjective. Soit donc s0 _{une section dans G(X). Comme u}

x est surjective, il existe un

´el´ement α dans Fx d’image s0x. Encore une fois, le calcul de Fx montre que α se rel`eve

sur un voisinage Nisnevich de x, not´e Vx. On note encore sVx la V -section de F dont la

fibre est α. D`es lors, le syst`eme des sVx et sVy co¨ıncide sur Vx×X VY car elles ont mˆeme

image par u qui est d´ej`a un monomorphisme. Comme F est un faisceau pour Nisnevich, le syst`eme des (sVx)x∈X se rel`eve en une section s dans F (X), dont l’image par ux est

´egale `a s0_{. ¤}

On introduit la notation temporaire Pt (NS)ess (respectivement Pt (ZS)ess) pour la

cat´egorie form´ee des pro-objets de la forme Xh

x (respectivement Xx) pour X un sch´ema

dans L_S et x un point de X.

Cette cat´egorie est donc ´equivalente `a une cat´egorie «conservative» de foncteurs fibres (ou encore points) du topos NS (respectivement ZS).

Ainsi, si F est un faisceau Nisnevich sur L_S, X un sch´ema dans L_S et x un point de

X, la fibre de F au point pro-repr´esent´e par le pro-objet Xh

x sera donc

F (X_xh) = lim_−→

V ∈Vh x(X)

F (V ).

Remarque 2.1.18.– Notons par ailleurs que si f : (X, x) → (Y, y) est un morphisme de sch´emas point´es (ie y = f (x)), on d´efinit un morphisme ¯f canonique de pro-objets obtenu

par composition des morphismes suivants

Xx→ X ×Y Yy → Yy.

2.1.3.2 Limites de localis´es et anneaux hens´eliens

On va d´eterminer les limites des pro-objets pr´ec´edents dans la cat´egorie des sch´emas. Pour cela, on a besoin de conditions de finitude particuli`eres sur les sch´emas, pour lesquelles on se r´ef`ere `a l’annexe A.

2.1.19.– Si X est un S-sch´ema local d’anneau O. On appelle lieu de X le point de S image du point ferm´e de X, not´e s. La donn´ee du morphisme structural X → S est alors ´equivalente `a la donn´ee d’un morphisme local O_S,s→ O. On notera pour abr´eger O/S une

telle donn´ee, et on l’appellera simplement une S-alg`ebre locale. Cela correspond donc `a un point s de S, le lieu (ou localit´e) de O/S, et `a un morphisme local d’anneaux OS,s→ O.

On dit qu’une S-alg`ebre locale O est essentiellement de type fini (resp. essentiellement lisse) si et seulement si le morphisme correspondant Spec (O) → S est essentiellement de type fini (resp. essentiellement lisse). Si s est le lieu de O/S, cela ´equivaut donc, d’apr`es la proposition A.1.9, au fait que O est une OS,s-alg`ebre essentiellement de type fini (resp.

formellement lisse et essentiellement de type fini).

Un morphisme de S-alg`ebres est simplement un S-morphisme des sch´emas locaux sous-jacents. Donc, pour qu’il existe un S-morphisme entre deux S-alg`ebres locales O/S et O0_{/S, il faut qu’elles aient mˆeme lieu. Alors, si s est le lieu commun de ces deux}

alg`ebres, un S-morphisme O → O0 <sub>est donc ´equivalent `a un morphisme de O</sub>

S,s-alg`ebre.

Ayant fix´e ces d´efinitions, on introduit la cat´egorie suivante :

D´efinition 2.1.20 On note AS la cat´egorie des S-alg`ebres locales essentiellement lisses,

muni des morphismes de S-alg`ebres d´ecrits ci-dessus.

On dira encore qu’un objet O/S de AS est un point essentiellement lisse de S.

Remarque 2.1.21.– Par d´efinition, la cat´egorie A_Sop est ´equivalente `a la cat´egorie des

S-sch´emas locaux essentiellement lisse.

2.1.22.– Or, pour tout sch´ema X dans LS et tout point x de X, le pro-objet Xx admet

par d´efinition pour limite projective (dans la cat´egorie des sch´emas) le sch´ema local Spec (O_X,x). Alors, il r´esulte de A que O_X,x est une S-alg`ebre locale essentiellement lisse, donc un objet de AS. On verra plus loin que cette propri´et´e caract´erise la limite des

pro-objets de la forme Xx.

Avant cela, int´eressons nous au cas de la topologie de Nisnevich. On commence par quelques rappels d’alg`ebre, dont la r´ef´erence principale est [Ray70].

D´efinition 2.1.23 Un anneau local A est hens´elien si et seulement si toute A-alg`ebre

finie B est d´ecompos´ee, i.e. le morphisme canonique

B −→ Y

x∈Spem(B)

B_x

Remarque 2.1.24.– A ´etant local et B ´etant une A-alg`ebre finie, l’ensemble des id´eaux maximaux de B est toujours fini.

On utilisera particuli`erement la caract´erisation suivante des anneaux locaux hens´eliens (cf [Ray70]) :

Proposition 2.1.25 Soit A un anneau local, k son corps r´esiduel, X = Spec (A) et x0

son point ferm´e ; les conditions suivantes sont ´equivalentes : 1. A est hens´elien.

2. Pour tout morphisme ´etale Y → X, les conditions suivantes sont ´equivalentes :f (a) f admet une section.

(b) Y est un voisinage de Nisnevich de X en x0.

Ce que l’on peut encore exprimer en disant qu’une section en haut du diagramme suivant se descend sur X

Y ×X x0 // ²² x0 ²² ss Y f //X.

On rappelle enfin la construction suivante (cf [Ray70]) :

Proposition 2.1.26 Le foncteur d’oubli de la cat´egorie des anneaux locaux hens´eliens

(munis des morphismes locaux) dans la cat´egorie des anneaux locaux admet un adjoint `a droite.

Si A est un anneau local, on note Ah _{l’image de A par l’adjoint pr´ec´edent, appel´e}

hens´elis´e de A.

Remarque 2.1.27.– Plus g´en´eralement, si X est un anneau local, X = Spec (A), on note Xh _{= Spec}¡_Ah¢_{, appel´e hens´elis´e de X.}

A d´efaut d’une meilleure caract´erisation, on introduit la d´efinition suivante :

D´efinition 2.1.28 On note A_Sh la cat´egorie des S-alg`ebres locales qui sont obtenues par hens´elisation d’une S-alg`ebre dans AS.

Remarque 2.1.29.– Soit X/S un S-sch´ema local essentiellement lisse. Par d´efinition du foncteur hens´elisation de [Ray70], Xh est alors limite projective de X-sch´emas ´etales. Ainsi, Xh _{est formellement lisse. Mais le contre-exemple ci-dessous, que j’ai appris de}

Laurent Fargues, montre que Xh_{/S n’est plus n´ecessairement essentiellement de type fini,}

mˆeme si S est le spectre d’un corps.

On pose S = Spec (C), et on note Gm le groupe multiplicatif sur le corps des nombres

complexes. Soit O l’hens´elis´e de l’anneau local de G_m au point 1, K son corps des fractions. Alors, π1(Gm) = ˆZ, compl´et´e pro-fini de Z, d’apr`es le th´eor`eme de comparaison

du groupe fondamental (les points complexes de Gm = P1_C− {0, ∞} ´etant une sph`ere de

de C(t) ; par d´efinition, Gal(Knr/C(t)) ' π1(Gm), donc Knr/C(t) n’est pas de type fini.

Or, Knr ⊂ K, donc K/C n’est pas de type fini.

2.1.30.– Si X est un sch´ema de LS, et x un point de X, le pro-objet Xxhadmet pour limite

projective dans la cat´egorie des sch´emas le sch´ema local Spec ³ Oh X,x ´ , o`u Oh X,x d´esigne

l’hens´elis´e de l’anneau local O_X,x dans A_S.

De plus, le morphisme canonique de pro-objets Xh

x → Xx est induit par le morphisme

d’adjonction, O_X,x→ Oh

X,x (ce qui justifie nos notations).

Remarque 2.1.31.– On en d´eduit la reformulation suivante du lemme 2.1.4 :

Soit f : V → X un morphisme ´etale, x un point de X ; alors les conditions suivantes sont ´equivalentes :

1. f est un voisinage de Nisnevich de X en x.

2. Le morphisme V ×X Xxh → Xxh admet une section.

Pour r´esumer ce qu’on a obtenu dans ce paragraphe, on a donc des morphismes

Pt (Z_S)_ess → (A_S)op _{Pt (N} S)ess → (ASh)op X_x 7→ Spec (O_X,x) Xh x 7→ Spec ³ Oh X,x ´

qui consistent tout simplement `a prendre la limite projective du pro-objet consid´er´e dans la cat´egorie des S-sch´emas. Par ailleurs, ces deux morphismes sont pleinement fid`eles d’apr`es C.2.35.

Le but du paragraphe suivant est de voir que ce sont des ´equivalences de cat´egorie, et mˆeme de fournir un quasi-inverse.

2.1.3.3 Mod`eles

Commen¸cons par le lemme suivant, qui d´ecoule principalement de l’annexe A : Lemme 2.1.32 Soit O/S une S-alg`ebre locale, s l’image de son point ferm´e.

Les conditions suivantes sont ´equivalentes : 1. O est essentiellement lisse sur S.

2. Il existe une sous-S-alg`ebre B de O lisse et de type fini sur S et un id´eal premier x de B tel que Bx= O.

Remarque 2.1.33.– Par extension, on appelle S-alg`ebre tout anneau A muni d’un morphisme Spec (A) → S. Si (P ) est une propri´et´e du S-sch´ema Spec (A), on dit encore que A v´erifie la propri´et´e (P ). Si A/S et B/S sont deux S-alg`ebres, on dit que A est une sous-S-alg`ebre de B si et seulement si A ⊂ B est le morphisme induit par cette inclusion Spec (B) → Spec (A) est un S-morphisme.

R´eciproquement, par d´efinition, il existe un ouvert affine U de S contenant s, d’anneau

A, tel que O/A est essentiellement de type fini. D’apr`es la d´efinition A.1.1, il existe donc

une sous-A-alg`ebre B de O telle que B/A est de type fini et telle que S−1_{B → O est}

un isomorphisme, o`u S = B ∩ O×_{. Il est ´evident que S est le compl´ementaire de l’id´eal}

premier x de B image r´eciproque de l’id´eal maximal de O.

Comme S est noeth´erien, l’immersion ouverte Spec (A) → S est de type fini (cf [EGA1], 6.3.5). Donc, le morphisme Spec (B) → S est de type fini. Par ailleurs, Spec (B) est lisse sur S en x, puisque O/OS,s est formellement lisse. Comme cette condition est ouverte, il

existe un ouvert principal de Spec (B) contenant x et lisse sur S, c’est-`a-dire un ´el´ement

f de B tel que f /∈ x et Bf est une S-alg`ebre lisse de type fini. ¤

D´efinition 2.1.34 Soit O un anneau local dans AS. On note Mlis(O/S) l’ensemble,

ordonn´e pour l’inclusion, des sous-S-alg`ebres B de O telles que : 1. Spec (B) est lisse de type fini sur S.

2. Si l’on note x la trace de l’id´eal maximal de O dans B, B_x = O.

Lemme 2.1.35 Pour tout anneau O dans AS, Mlis(O/S) est un ensemble filtrant.

De plus, O =S_A∈Mlis_(O/S)A.

Preuve : O est d’abord non vide d’apr`es le lemme 2.1.32.

C’est de plus un ensemble ordonn´e filtrant : soit B et B0 deux ´el´ements de Mlis(O/S). Si l’on note s l’image dans S du point ferm´e de O, on peut consid´erer un voisinage ouvert affine de s dans S, d’anneau A. Consid´erons la sous-A-alg`ebre B00 _{= A[B ∪ B}0_{] de O.}

Alors, B00 est dominant sur O, et la trace de l’id´eal maximal de O dans B00, not´ee x, v´erifie : B00

x = O. Ainsi, B00/A est lisse en x, et comme cette propri´et´e est locale, on peut

`a nouveau trouver un f dans B00 _{x tel que B}00

f/A est lisse, et contient B, B0.

L’anneau O est enfin r´eunion filtrante des tels objets puisque pour tout ´el´ement f de O, on peut appliquer le raisonnement pr´ec´edent `a A[f ∪ B] o`u B est un ´el´ement de

Mlis_{(O/S). ¤}

2.1.36.– La correspondance qui `a une S-alg`ebre O associe le pro-objet (O) dans pro−LS

est fonctorielle. En effet, si ϕ : O₁ → O₂ est un morphisme de S-alg`ebre, on en d´eduit un morphisme (ϕ) : (O2) → (O1) en consid´erant la limite

˜ lim ←− A∈Mlis_(O 1/S)op ³

Spec (ϕ(A))_lis → Spec (A)

´

o`u Spec (ϕ(A))_lis d´esigne le lieu lisse du k-sch´ema de type fini Spec (ϕ(A)). Pr´ecisons en effet que le pro-objet

˜ lim

←−

A∈Mlis_(O1/S)op

Spec (ϕ(A))_lis

est canoniquement isomorphe au pro-objet (O2) (notamment parce que le morphisme ϕ

est local).

D´efinition 2.1.37 Soit O un anneau dans A_S. On d´efinit le pro-objet de L_S, not´e sim- plement (O), ´egal `a

˜ lim

←−

A∈Mlis_(O/S)op

Spec (A) .

On a ainsi d´efini un foncteur

A_Sop _{→ pro−L}

S

O 7→ (O).

Dans la suite du travail, nous utiliserons donc les pro-objets attach´es `a des anneaux locaux dans A_S. On adopte encore la d´efinition suivante :

D´efinition 2.1.38 Soit O un anneau dans AS.

On appelle mod`ele de O/S tout couple (X, x) o`u X est un sch´ema int`egre dans LS,

x : Spec (O) → X un point dominant de X tel que x induit un isomorphisme x]_{: O} X,x →

O.

On d´efinit aussi la cat´egorie des mod`eles de O/S form´ee des objets ci-dessus et dont les morphismes sont les diagrammes commutatifs

X f ²² Spec (O) x 55 y ((_Y.

On confondra souvent le morphisme x et l’unique point de X dans son image. Lemme 2.1.39 Soit O/S un anneau dans AS. Alors,

1. O/S admet un mod`ele.

2. Soit (X, x) un mod`ele de O/S. Il existe un isomorphisme canonique de pro-objets de LS, induit par x],

(O) −→ X_x.

3. Soit (X, x) → (Y, y) un morphisme de mod`eles de O/S ; on a alors un diagramme commutatif : Xx ¯ f ²² (O) 66m m m m ''P P P P Yy.

Preuve : Le 1. n’est qu’une reformulation de la proposition 2.1.32 puisque si O = Ax,

X = Spec (A) convient.

Pour 2. et 3., il suffit de remarquer que chaque objet de Ouv_x(X) v´erifie la condition

coPF dans LS, et d’appliquer le lemme C.2.33. ¤

En d’autres termes, un mod`ele de O/S est un pro-objet X<sub>x</sub> isomorphe `a (O), et obtenu par localisation d’un sch´ema X dans LS en un point. Les ´el´ements de Mlis(O/S)

se caract´erisent (`a isomorphisme pr`es) comme les mod`eles affines de O/S qui sont de plus domin´es par Spec (O).

On a donc deux fa¸cons ´equivalentes de d´ecrire un mˆeme pro-objet (l’une alg´ebrique `a partir d’un anneau local et l’autre g´eom´etrique `a partir d’un sch´ema de type fini) et on se servira des deux d´efinitions suivant ce que l’on veut dire de notre pro-objet.

Si l’on ajoute la condition que la cat´egorie AS est satur´ee par isomorphisme, on peut

r´esumer ce qu’on a obtenu dans la proposition qui suit :

Proposition 2.1.40 Le foncteur ASop→ pro−LS, O 7→ (O) induit un foncteur

ASop→ Pt (ZS)_ess

qui est un quasi-inverse du foncteur canonique (d´efini dans le paragraphe pr´ec´edent) Pt (Z_S)_ess→ A_Sop.

Preuve : Il s’agit d’abord de v´erifier que le pro-objet (O) est un foncteur fibre. Or, on l’obtient facilement, puisque O admet un mod`ele (X, x) d’apr`es le lemme 2.1.39, et que d`es lors, (O) ' Xx est un foncteur fibre.

Pour montrer que les deux foncteurs sont quasi-inverses l’un de l’autre, il suffit de constater que si X est un sch´ema dans L_S, x un point de X, (X, x) est tautologiquement un mod`ele de OX,x, et que donc le morphisme canonique Xx → (OX,x) est un isomor-

phisme de pro-objets (lemme 2.1.39). ¤

2.1.41.– On obtient de la mˆeme mani`ere un quasi-inverse du foncteur

Pt (NS)ess→ ASh op

en attachant `a toute S-alg`ebre locale O dans Ah

S le pro-objet (O)h ´egal `a

˜ lim

←−

A/S

Spec (A)

o`u la limite projective parcourt la cat´egorie essentiellement petite des S-alg`ebres A qui sont ´etales sur une sous-S-alg`ebre lisse de type fini de O. Puisque, par d´efinition, l’anneau

O est obtenu par hens´elisation d’une S-alg`ebre O0 _{dans A}

S, un mod`ele (X, x) de O0/S

d´efinit un isomorphisme canonique Xh

x → (O)h. L’´enonc´e et la preuve de l’analogue de la

proposition pr´ec´edente pour la topologie de Nisnevich se traduisent donc litt´eralement. 2.1.3.4 Points de basses dimensions

La cat´egorie A_S est filtr´ee par la dimension. On ´etudie particuli`erement les objets de dimension 0, et on note AS (0) la sous-cat´egorie de AS engendr´ee par ces objets.

Dans [EGA1], 3.4.5, les auteurs appellent points g´eom´etriques de S tout couple (E, η) o`u E est un corps, et η : Spec (E) → S un morphisme. Cette donn´ee est donc ´equivalente `a la donn´ee d’un ´el´ement s de l’ensemble sous-jacent `a S, lieu de E/S, et d’un morphisme

κ(s) → E.

Dans cette th`ese, on appelle simplement point de S tout couple (E, η) tel que E est un corps, η : Spec (E) → S un morphisme essentiellement de type fini.

Cela signifie encore, si s est le lieu du point E/S, que E/κ(s) est une extension de type fini (cf d´efinition A.1.1 et lemme A.1.5).

Par ailleurs, on introduit la d´efition suivante : D´efinition 2.1.42 On note Es

S la cat´egorie des points E/S de S tels que, si s est le lieu

de E/S, l’extension E/κ(s) est s´eparable de type fini. On dit encore que E/S est un point s´eparable.

Ainsi, lorsque S = Spec (k) est le spectre d’un corps, Es

S est la cat´egorie des extensions

s´eparables de type fini de k, not´ee simplement Es k.

Par ailleurs, on a le lemme suivant :

Lemme 2.1.43 Soit E/S un point de lieu s dans S. Alors, les conditions suivantes sont

deux `a deux ´equivalentes :

1. (a) E/S est essentiellement de type fini. (b) E/κ(s) est une extension de type fini. 2. (a) E/S est formellement lisse.

(b) E/κ(s) est s´eparable.

Preuve : La premi`ere ´equivalence est tautologique.

La deuxi`eme ´equivalence est classique, et l’on donne [Mat89], th. 26.9 comme

r´ef´erence. ¤

Autrement dit, on obtient dans tous les cas :

AS (0) = ESs.

On obtient par ailleurs les cas particuliers suivants :

Corollaire 2.1.44 Si S est le spectre d’un corps parfait, A_{S (0)} est la cat´egorie des exten- sions de type fini de k.

Si S est de caract´eristique 0, A_{S (0)} est la cat´egorie des points E/S de lieu s tels que E/κ(s) est de type fini.

Ce r´esultat peut encore ˆetre renforc´e, car on a la proposition suivante (voir par exemple [Ray70]) :

Proposition 2.1.45 Tout corps est un anneau hens´elien.

Ainsi,

A_{S (0)}h = AS (0) = ESs.

Remarque 2.1.46.– Un mot de terminologie : un mod`ele d’un point s´eparable E/S est donc un S-sch´ema lisse de type fini muni d’un point g´en´erique et d’un S-isomorphisme du corps r´esiduel de ce point dans E (par la suite, on consid´erera le plus souvent des mod`eles connexes). Pour cette raison, on dira que le pro-objet (E) est un point g´en´erique (sous-entendu du topos N_k), autrement dit de codimension nulle.

Par la suite, lorsqu’on regardera plus g´en´eralement des points d’un sch´ema dans L_S, on s’occupera de leur codimension dans X (plutˆot que de leur dimension en tant que partie de X), car celle-ci correspond `a la dimension du localis´e.

2.1.47.– On consid`ere maintenant les objets de dimension un dans AS. Soit O/S un

anneau local dans AS de dimension un. C’est alors un anneau de valuation discr`ete, car

il est r´egulier et de dimension un.

Autrement dit, O est un trait sur S suivant une terminologie courante.

Dans cette th`ese, on appelle simplement trait de S tout couple (O, η) tel que O est un anneau de valuation discr`ete et η : Spec (O) → S est un morphisme essentiellement de type fini.

On fera attention que par contre, toute S-alg`ebre qui est un anneau de valuation discr`ete n’est pas n´ecessairement formellement lisse sur S.

La plupart du temps, on consid´erera le cas o`u S est le spectre d’un corps, et mˆeme un

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