Produit d’intersection

Dans cette sous-section, on suppose que S est alg´ebrique lisse. Par ailleurs, tous les sch´emas sont suppos´es ˆetre alg´ebriques.

Autrement dit, le mot «sch´ema» d´esigne toujours un S-sch´ema, mais qui est suppos´e de plus ˆetre de type fini. Un tel sch´ema porte une unique structure de k-sch´ema, `a laquelle on se r´ef`erera sans plus de pr´ecisions.

4.2.3.1 D´efinition ; produit crois´e

On revient dans ce qui suit `a la m´ethode suivie par M. Rost pour d´efinir le produit d’intersection, et plus pr´ecis´ement au paragraphe 14 de [Ros96].

On introduit tout d’abord une terminologie qui nous est propre :

D´efinition 4.2.38 Soit N un module de cycles sur S. On dit que N est absolu si et

seulement si il existe un module de cycles ¯N sur k tel que N est la restriction de ¯N `a S.

Remarque 4.2.39.– Nous renvoyons `a 4.2.52 pour une explication de cette d´efinition, ainsi qu’une discussion critique. Pour l’instant, on se borne `a remarquer qu’il en existe, et qu’ils sont plus faciles `a manipuler.

Exemple 4.2.40.– La K-th´eorie de Milnor est l’exemple fondamental de module de cycles absolu.

On rappelle que M. Rost a introduit la notion de «pairing» dans [Ros96] : si M et N sont des modules de cycles sur k, un «pairing» µ : N × M → M est la donn´ee, pour toute extension de type fini E/k d’un morphisme

µE : N (E) × M (E) → M (E), (ρ, τ ) 7→ ρ.µτ

P1: Pour x ∈ KM

∗ (E), ρ ∈ N (E) et µ ∈ M (E), on a

P1a: (x.ρ).µ = x.(ρ.µ). P1b: (ρ.x).µ = ρ.(x.µ).

P2: Pour ϕ : E → K, η ∈ N (E), ν ∈ N (K), ρ ∈ M (E) et µ ∈ M (K), on a P2a: ϕ_∗(η.ρ) = ϕ_∗(η).ϕ_∗(ρ),

P2b: si ϕ est fini, ϕ∗_(ϕ

∗(η).µ) = η.ϕ∗(µ),

P2c: si ϕ est fini, ϕ∗_(ν.ϕ

∗(ρ)) = ϕ∗(ν).ρ.

P3: Pour une valuation g´eom´etrique v sur F , pour η ∈ N (F ) et ρ ∈ M (F ), pour une

uniformisante π de v, on a

∂v

¡

η.ρ¢= ∂v(η).sπv(ρ) + (−1)nsπv(η).∂v(ρ) + {−1}.∂v(η).∂v(ρ).

On introduit la d´efinition compl´ementaire suivante : D´efinition 4.2.41 Soit N et M des modules de cycles sur S.

On dit qu’on s’est donn´e un accouplement de modules de cycles sur S µ : N × M → M,

si µ est un «pairing» au sens de M. Rost et que, de plus, N est absolu. Lorsqu’on s’est donn´e un accouplement sur S

π : N × N → N,

on dira encore que N est muni d’une structure d’anneau sur S.

Remarque 4.2.42.– Ainsi, un modules de cycles muni d’une structure d’anneau est, d’apr`es notre d´efinition, toujours absolu. Par contre, on ne requiert pas que l’accouplement soit donn´e sur k.

Exemple 4.2.43.– Si M est un module de cycles quelconque sur k, il est par d´efinition (donn´ee D3) muni d’un accouplement canonique sur k

K_∗M × M → M.

Le cas o`u M est lui-mˆeme le module de cycles form´e par la K-th´eorie de Milnor sera ´etudi´e dans le prochain paragraphe.

4.2.44.– Soit µ : N × M → M un accouplement. M. Rost a d´efini un produit crois´e (cf [Ros96] 14.1), pour tous sch´emas Y et Z,

×µ: Cp(Y ; N, n) ⊗ZCq(Z; M, m) → Cp+q(Y ×kZ; M, n + m),

o`u Y ×<sub>k</sub> Z est vu comme un S-sch´ema `a travers la projection de Z sur S. D’apr`es loc.cit., 14.4, ce produit sur les complexes induit un produit sur les groupes de cohomologie.

D´efinition 4.2.45 Soit N × M −→ M un accouplement de modules de cycles sur S, et Xµ un sch´ema lisse sur S.

On d´efinit alors un produit

Ap_{(X; N, n) ⊗ A}q_{(X; M, m) → A}p+q_{(X; M, n + m)}

x ⊗ y 7→ (δX)∗(x ×µy) = x.µy.

On pr´ecise que δ_X : X → X ×_k X est l’immersion ferm´ee diagonale de X sur k, vu comme S-morphisme pour la structure de S-sch´ema sur X ×kX par la projection du

deuxi`eme facteur sur S. Comme X est lisse sur k, δX est donc une S-immersion ferm´ee

r´eguli`ere et δ∗

X d´esigne le morphisme de Gysin associ´e (cf 4.2.7).

Remarque 4.2.46.– Pour ne pas alourdir les notations, la r´ef´erence `a l’accouplement µ sera parfois omise suivant la notation de [Ros96].

Ce produit d’intersection dispose alors des formules classiques suivantes :

Proposition 4.2.47 Fixons µ : N × M → M un accouplement de modules de cycles sur

S.

Soient X et Y des sch´emas lisses sur S, et f : Y → X un S-morphisme. On note f∗

le morphisme de Gysin associ´e au morphisme localement d’intersection compl`ete f dans la d´efinition 4.2.23.

1. (Associativit´e) On suppose que S = Spec (k), et que N est de plus muni d’une structure d’anneau sur k. Alors pour tout triplet (x, y, z) ∈ A∗(X; N ) × A∗(X; N ) ×

A∗_{(X; M ), on a}

(x.y).µz = x.µ(y.µz).

2. (Fonctorialit´e) Pour tout couple (x, y) ∈ A∗_{(X; N ) × A}∗_{(X; M ), on a :}

(f∗x).µ(f∗y) = f∗(x.µy).

3. (Projection) Si f est propre, pour tout couple (x, y) ∈ A∗_{(X; N ) × A}∗_{(Y ; M ), on a :}

f∗(x.µf∗y) = (f∗x).µy.

Remarque 4.2.48.– Dans cette proposition, on d´emontre les affirmations de [Ros96], (14.6) avec les deux premi`eres ´egalit´es, en utilisant notamment les r´esultats de loc.cit. sur les produits crois´es. Par contre, nous avons trouv´e pratique d’utiliser la m´ethode de Fulton (i.e. l’introduction des morphismes de Gysin raffin´es) pour prouver la formule de projection dans le cas g´en´eral.

Preuve : 1. Commen¸cons par constater que le carr´e suivant de Lk

X δX // δX ²² X ×xX δX×k1X ²² X ×_kX1X×kδX_// X ×_kX ×_kX est cart´esien.

D`es lors, on peut faire le calcul suivant : (x.y).µz = δX∗ (δX∗(x × y) ×µz) = δX∗(δX ×k1X)∗((x × y) ×µz) (1) = δ_X∗(δX×k1X)∗(x ×µ(y ×µz)) (2) = δ_X∗(1_X×_kδ_X)∗(x ×µ(y ×µz)) = x.(y.z)

o`u (1) r´esulte de la formule d’associativit´e du produit crois´e (14.2 de [Ros96]), et (2) r´esulte du lemme 4.2.14.

Dans la suite de cette d´emonstration, d`es qu’on consid`ere un produit sur k de deux

S-sch´emas, on le munit de sa structure de S-sch´ema grˆace `a la projection du deuxi`eme

facteur sur S.

2. Pour cette affirmation, on consid`ere le carr´e cart´esien dans L_S

Y δY // f ²² Y ×_kY f ×kf ²² X δX //X ×kX. Alors, f∗(x.y) = f∗δ_X∗(x ×_µy)(1)= δ_Y∗(f ×_kf )∗(x ×_µy) (2) = δ_Y∗(f∗x ×µf∗y) = (f∗x).(f∗y)

o`u (1) r´esulte de 4.2.27 et (2) r´esulte de la propri´et´e 14.5 de loc.cit..

3. On a d´ej`a remarqu´e dans une situation semblable que le morphisme f est bien localement d’intersection compl`ete puisqu’il se factorise en X−→ X ×γf kY

pY X×kY

−−−−→ Y o`u γf

est le graphe de f , immersion ferm´ee r´eguli`ere puisque Y est lisse, et pY

X×kY la projection

canonique qui est lisse puisque X est lisse sur k. D`es lors, consid´erons le carr´e cart´esien de LS

X γf // f ²² ∆ X ×_kY f ×k1X ²² Y δY //Y ×_kY.

On peut alors faire le calcul

(f∗x).y = δX∗ (f ×k1Y)∗(x ×µy)(1)= f∗∆∗(x ×µy)(2)= f∗γf∗(x ×µy)

o`u l’´egalit´e (1) r´esulte de 4.2.36 appliqu´e au carr´e cart´esien pr´ec´edent, et l’´egalit´e (2) du lemme 4.2.31, car, puisque Y /k est lisse, NX(X ×kY ) ' f∗(T Y ), o`u T Y d´esigne le fibr´e

tangent de Y /k.

Mais par ailleurs, pour le deuxi`eme membre de l’´equation, on a

f∗(x.f∗y) = f∗δY∗(1Y ×kf )∗(x ×µy)(3)= f∗γf∗(x ×µy)

4.2.3.2 K-th´eorie de Milnor et groupe de Chow Dans ce paragraphe, on ´etudie le cas o`u M = KM

∗ est la K-th´eorie de Milnor, que l’on

consid`ere muni de sa structure d’anneau canonique. Par d´efinition, si X est un sch´ema,

An(X; K_∗M, n) = CHn(X)

(cf 4.1.9 pour la num´erotation du membre de gauche). Pour plus de claret´e, si x est la classe d’un cycle dans CHn_{(X), on note {x} son image dans A}n_{(X; K}M

∗ , n).

Pour clˆoturer ce paragraphe sur l’intersection, on va commencer par d´emontrer que le morphisme de sp´ecialisation construit par M. Rost co¨ıncide avec celui de W.Fulton, suivant une indication de M. Rost au d´ebut du paragraphe 11 de [Ros96] :

Lemme 4.2.49 Soit X un sch´ema, et Z un sous-sch´ema ferm´e de X. Alors, pour le

module de cycles KM

∗ , J(X, Z) = σZX, o`u J(X, Z) d´esigne la construction de M. Rost

(cf d´efinition 4.2.3), et σZX est le morphisme de sp´ecialisation de W.Fulton (cf [Ful98],

5.2).

Preuve : Commen¸cons par rappeler que le sous-sch´ema ferm´e CZX de DZX est un

diviseur de Cartier, param´etr´e par le param`etre t de la d´eformation, t : DZX → A1<sub>k</sub>. D`es

lors, d’apr`es [Ful98], chap. 2, def. 2.3, si l’on note i : CZX → DZX, on peut d´efinir de

mani`ere ´el´ementaire le morphisme de Gysin i∗ _{: CH}

∗(DZX) → CH∗(CZX).

Par ailleurs, si l’on regarde la fin de la suite exacte de localisation pour le groupe de Chow, on en d´eduit le diagramme commutatif suivant identique `a celui de la d´emonstration de loc.cit., prop. 5.2 o`u l’on a remplac´e l’espace d´eformation M◦

ZX (fibr´e sur P1k) par DZX

(qui en est un ouvert) :

CHn(X) π∗ ²² σZX tt CH_n+1(C_ZX) i∗_// CH_n+1(D_ZX) j∗// i∗TTTT **T T T T T CHn(Gm× X) // ι ²²Â  0 CHn(CZX)

o`u j : Gm× X → DZX d´esigne l’immersion ouverte canonique ; le morphisme ι existe

car i∗_i

∗ = 0 d’apr`es loc.cit. prop. 2.6(c). Le fait que σZX = ιπ∗ est le contenu de la

d´emonstration de la prop. 5.2.

Revenant `a la d´efinition 4.2.3, et puisque le pullback par un morphisme plat co¨ıncide sur les deux groupes de Chow, il s’agit donc de montrer que le diagramme suivant est commutatif : An(Gm× X; K∗M, n) {t}._²² VVVVVVιVVVA_Vn_**V(DZX; K∗M, n) i∗ ²² j∗ oo An(Gm× X; K∗M, n) _∂ //An(CZX; K∗M, n)

o`u ∂ est le morphisme bord pour la d´ecomposition DZX = Gm× X t CZX.

On consid`ere donc α un ´el´ement de An(DZX; K∗M, n). Par lin´earit´e, on peut se re-

Si x appartient `a C<sub>Z</sub>X, on a d´ej`a vu que i∗_{x = 0, et la commutativit´e en d´ecoule}

puisque j∗x = 0.

Sinon, par d´efinition

∂ ◦ {t}. ◦ j∗(x) = X

y∈(W ∩CZX)(1)

∂_yx¡t(x)¢.y

o`u W d´esigne l’adh´erence r´eduite de x dans DZX.

Or, par ailleurs, d’apr`es la d´efinition (cf loc. cit. def. 2.3), puisque t param`etre le diviseur de Cartier CZX, on a d’un autre cˆot´e

i∗(x) = X

y∈(W ∩CZX)(1)

ordy(t).y

o`u ordy d´esigne la fonction ordre d´efini en loc. cit., §1.2.

Il suffit donc de d´emontrer que pour tout point y, les entiers ∂x y

¡

t(x)¢et ord_y(t) sont ´egaux. Mais pour cel`a, il suffit de revenir `a la d´efinition de ∂_yx (cf 4.1.6) et d’appliquer l’exemple 1.2.3 de loc. cit., en remarquant que l’assertion est triviale si W ∩ CZX est

normal. ¤

D`es lors, la proposition suivante est presque imm´ediate :

Proposition 4.2.50 Soit X un sch´ema alg´ebrique lisse. Pour tout x (resp. y) dans

CHn_{(X) (resp. CH}m_{(X)), on a l’´egalit´e}

{x}.{y} = {x.y}

o`u les points d´esignent respectivement le produit dans A∗(X; K_∗M, ∗) d´efini en 4.2.45 et le produit dans CH∗_{(X) d´efini dans [Ful98], chap. 8.}

Preuve : On rappelle la d´efinition 8.1.1 de [Ful98] : si x et y sont des classes de cycles dans

CH∗_{(X), alors x.y = δ}!_{(x × y) (on consid`ere ici le cas o`u f = 1}

X), avec δ : X → XX le

morphisme diagonal de X, et δ!_{est le morphisme de Gysin associ´e `a l’immersion r´eguli`ere}

δ, et x × y est le produit ext´erieur de x et y d´efini en 10.1.

Or, par d´efinition, δ!_{= (p}∗₎−1_{◦ σ}

X(XX), o`u p : T X → X est la projection canonique

du fibr´e tangent, et σ_X(XX) est le morphisme de sp´ecialisation au cˆone normal associ´e `a l’immersion diagonale (d´efinition dans le §5.2).

D`es lors, compte tenu du lemme pr´ec´edent, il suffit de d´emontrer que le produit crois´e d´efini par M. Rost co¨ıncide avec le produit ext´erieur de cycles d´efini par W.Fulton (cf [Ful98], 1.10).

Consid´erons `a cet effet x ∈ CHn<sub>(X) et y ∈ CH</sub>m<sub>(Y ), o`u X et Y sont des k-sch´emas.</sub>

On peut se r´eduire par bilin´earit´e au cas o`u x (resp. y) est la classe de V (resp. W ), sous- sch´ema ferm´e de X (resp. Y ). D`es lors, par d´efinition, x×y = [V ×kW ] est le cycle associ´e

au sous-sch´ema ferm´e V ×kW de XY . Or, si l’on consid`ere la projection π : V X → X, on

a par d´efinition : x × y = i_∗π∗_{(y), o`u i : V X → XX est l’immersion ferm´ee canonique. Si}

x d´esigne encore le point g´en´erique de V , on peut tout aussi bien consid´erer la projection πx : Spec (κ(x)) X → X, et ix : Spec (κ(x)) X → XX, on a encore (puisque les cycles en

l`a la d´efinition 14.1 de [Ros96], et donc, comme le pullback par un morphisme plat (resp. le pushout par un morphisme propre) co¨ıncident sur le groupe de Chow `a coefficients et le groupe de Chow classique, par d´efinition :

{x × y} = {(ix)∗(πx)∗(y)} = (ix)∗(πx)∗{y} = {x} × {y}.

¤ Remarque 4.2.51.– On obtient une d´emonstration plus conceptuelle de cette proposi- tion en appliquant l’exemple 6.1.9 de [Ful98]. En effet, la premi`ere propri´et´es que doit v´erifier le produit d’intersection («normalisation») r´esulte de la proposition 4.2.10, et la deuxi`eme propri´et´e r´esulte de la compatibilit´e de la suite spectrale de M. Rost par rapport au produit de composition des modules de cycles.

4.2.52.– Modules de cycles absolus

La d´efinition 4.2.38 est inspir´ee du cadre topologique des syst`emes locaux.

Dans ce cadre, un syst`eme local sur X est un pr´efaisceau sur le groupo¨ıde fondamental de X (c’est-`a-dire la cat´egorie dont les objets sont les points de X et les morphismes sont les chemins de X `a homotopie pr`es). Alors, un syst`eme local sur X est simple si et seulement si il provient d’un syst`eme local sur l’espace topologique form´e d’un seul point. Cette situation est donc analogue `a la nˆotre, puisqu’un module de cycles sur S est en particulier un pr´efaisceau sur les points (au sens de la g´eom´etrie alg´ebrique) de S (i.e. la cat´egorie enrichie introduite dans 4.1.21). La grosse diff´erence tient au fait que les points de la g´eom´etrie alg´ebrique portent chacun leur propre structure alors que les points au sens de la topologie alg´ebrique sont tous ´equivalents. C’est pourquoi nous avons pr´ef´er´e la terminologie «absolu», qui signifie que le module de cycles provient d’un module de cycles sur le «plus petit point» possible k.

Plus pr´ecis´ement, les modules de cycles sont l’analogue des foncteurs de Mackey de la topologie alg´ebrique ´equivariante. Rappelons que ceux-ci sont d´efinis comme les pr´efaisceaux additifs sur la cat´egorie des orbites, vues commes des espaces topologiques ´equivariants discrets dans la cat´egorie homotopique stable ´equivariante. En anticipant sur la deuxi`eme partie, on note que la cat´egorie des motifs g´en´eriques joue le rˆole de la cat´egorie des orbites pour la topologie alg´ebrique ´equivariante, puisque les modules de cycles sont en particuliers des pr´efaisceaux sur la cat´egorie des motifs g´en´eriques. Autrement dit, les motifs g´en´eriques jouent le rˆole des points dans notre cadre, que l’on consid`ere comme des objets de la cat´egorie homotopique stable sous-jacente (ici, il s’agit de la cat´egorie d´eriv´ee des motifs mixtes).

Les modules de cycles et les foncteurs de Mackey correspondent donc en quelque sorte `a une version stable de syst`emes locaux. Pour les foncteurs de Mackey, la notion analogue de la notion de syst`eme local simple serait la propri´et´e d’ˆetre constant. En g´eom´etrie alg´ebrique toutefois, il y a une notion interm´edaire avant celle d’ˆetre constant, qui est la notion de module de cycle absolu que nous avons introduite, consid´erant que, dans la th´eorie des motifs, le plus petit point possible est le corps de base. Nous n’avons pas trouv´e de caract´erisation simple de ces objets pourtant, ni mˆeme de condition suffisante –

rappelons qu’en topologie alg´ebrique, si un espace topologique X est simplement connexe, tout syst`eme local sur X est simple.

Toutes ces consid´erations prendraient beaucoup plus de sens avec l’analogue de la suite spectral de Serre dont nous parlons conjecturalement dans l’introduction. En effet, `a une fibration (morphisme lisse dans notre cadre), on associe un module de cycle sur la base. Il se pose naturellement la question de d´eterminer ce module de cycles ; la premi`ere question que l’on peut se poser est donc de savoir s’il est absolu dans le sens qu’on a introduit – on souligne que cette simplification doit ˆetre rare, et demande donc `a ˆetre approfondie.

Dans le document modules homotopiques avec transferts et motifs génériques (Page 144-151)