Taille des grains de tavelures et fonction d’auto-corr´elation

Le paragraphe pr´ec´edent nous a permis de connaˆıtre la statistique d’un champ de tavelures en un point. Ces donn´ees nous renseignent sur les fluctuations d’intensit´e du champ mais il nous manque une information majeure dans nos exp´eriences, `a savoir la taille caract´eristique de sa structure spatiale. Pour caract´eriser le potentiel al´eatoire issu d’une r´ealisation de tavelures, il nous faut donc caract´eriser l’´echelle spatiale ∆z des variations de l’intensit´e du champ de

5_{Lorsque la distance l du diffuseur au plan d’observation est diminu´ee (voir 2.3), le faisceau incident diverge}

tavelures (voir figure 2.4). Cette longueur ∆z correspond `a la taille typique des grains de tavelures.

L’´echelle de variations spatiales ∆z est d´efinie comme la largeur de la fonction d’auto- corr´elation CI de la distribution d’intensit´e d´efinie par

CI(δr) = hI(r)I(r + δr)i (2.14)

o`u I(r) est l’intensit´e au point r et les crochets d´esigne la moyenne statistique.

La fonction d’auto-corr´elation de l’intensit´e est obtenue en appliquant la th´eorie de la dif- fraction de Fresnel/Kirchhoff au champ ´electrique diffus´e, prenant en compte ses propri´et´es statistiques [120, 122]. En se pla¸cant dans l’approximation paraxiale, l’amplitude du champ ´electrique dans le plan focal de la lentille (voir la figure 2.3) est la transform´ee de Fourier du champ ´electrique transmis par le diffuseur. Ainsi, la fonction d’auto-corr´elation dans le plan transverse de propagation ne d´epend que des termes de phase lin´eaire du champ ´electrique. Cependant, dans la direction de propagation, les termes quadratiques de la phase doivent ˆetre pris en compte, conduisant `a une expression diff´erente de la fonction d’auto-corr´elation [120].

Notre montage optique cr´eant les tavelures est tel que le faisceau laser incident illumine une surface rectangulaire du verre d´epoli. Dans toute la suite de notre discussion, nous nous placerons donc dans cette situation.

Lorsque le diffuseur est ´eclair´e uniform´ement par un faisceau rectangulaire de largeur DY et

de longueur DZ > DY (comme dans notre montage exp´erimental), les fonctions de corr´elation

en intensit´e dans le plan transverse et dans la direction de propagation s’´ecrivent respectivement [120,124] : C_I⊥(δy, δz) = hIi2  1 + f DY λl δy  f DZ λl δz  , (2.15) C_Ik(δx) = hIi2  1 + g D2Y λl2δx  g D 2 Z λl2δx  . (2.16)

Nous avons not´e f(u) = [sin(πu)/πu]2 la transform´ee de Fourier de l’ouverture rectangulaire et

la fonction g(u) est d´efinie par

g(u) = 2 u  C2r u 2  + S2r u 2  (2.17) o`u C(s) et S(s) sont respectivement les fonctions cosinus et sinus int´egrales. L’´equation 2.15 est valide dans le r´egime de Fraunhoffer, c’est `a dire pour (δx2 _{+ δy}2_)/l2 _{<< 1.}

Remarquons que pour une ouverture rectangulaire, la densit´e spectrale du champ de tave- lures h|V (k)|2_{i(li´ee `a la transform´ee de Fourier de la fonction d’auto-corr´elation par le th´eor`eme}

de Wiener-Kitchine) d´ecroˆıt lin´eairement avec la composante k [voir la figure 2.5b)] Notons que la fonction d’auto-corr´elation C⊥

A(δy, δz) de l’amplitude A du champ ´electrique

dans le plan transverse est directement li´ee `a celle du l’intensit´e du champ de tavelures, C_I⊥(δy, δz) = hIi2 " 1 +     C_A⊥(δy, δz) C_A⊥(0, 0)     2# . (2.18)

dz

C

(dz)/<I>

Dz

a)

b)

|V(k)|

k

2/σ

Fig. 2.5 – a) Fonction d’auto-corr´elation du champ de tavelures pour une ouverture rectangu- laire. b) Densit´e spectrale du champ de tavelures pour une ouverture rectangulaire.

Nous d´efinissons alors les ´echelles spatiales ∆x, ∆y et ∆z des modulations de l’intensit´e des tavelures selon les trois directions de l’espace, c’est `a dire la taille des grains dans ces trois directions, comme le premier z´ero de la fonction [voir la figure 2.5a]

CI(δr)

CI(0)

−1. (2.19)

Cas des grains isotropes dans le plan transverse

Dans le cas o`u les optiques du montage d´ecrit par la figure 2.3 sont circulaires et o`u l’ou- verture rectangulaire est isotrope ou proche de l’ˆetre, c’est `a dire DY ≈ DZ, nous obtenons les

tailles de grains suivantes : ∆y = λ l DY , ∆z = λ l DZ , ∆x ' 7.6λ l 2 DYDZ = 7.6∆y∆z λ . (2.20)

Les grains de tavelures ont dans cette configuration une taille comparable dans le plan trans- verse ∆y ≈ ∆z et la taille longitudinale ∆x est beaucoup plus grande que ces derni`eres (car ∆y, ∆z > λ).

Il est int´eressant de remarquer que les tailles transverses des grains de tavelures corres- pondent `a la limite de diffraction, c’est `a dire que les tailles transverses sont contrˆol´ees par le demi-angle α = D0_{/2f qui est celui de la r´egion ´eclair´ee du verre d´epoli vu depuis le point}

d’observation (voir la figure 2.3). La relation de transform´ee de Fourier entre la lentille et le plan d’observation implique cette relation entre ouverture angulaire et taille de grain. De mˆeme, la transform´ee de Fourier inverse entre le plan d’observation et la lentille implique que la tˆache d’´eclairement du champ de tavelure est d´efinie par la taille des grains sur le verre d´epoli (voir figure 2.6).

La relation entre la taille des grains de tavelure ∆z ou ∆y et l’ouverture angulaire α montre qu’une translation du verre d´epoli selon la direction Ox ne change pas la taille des grains de tavelures puisque l’angle α reste constant. De plus, les tailles de grains dans le plan focal de la lentille sont ind´ependantes de la taille des diffuseurs sur le verre d´epoli.

Transformée de Fourier Transformée de Fourier inverse Surface éclairée de tavelures Surface de corrélation des tavelures Surface éclairée du diffuseur Surface de corrélation du diffuseur

Fig. 2.6 – Relation de transform´ee de Fourier entre les surfaces ´eclair´ees et de corr´elation sur le diffuseur et dans le plan focal de la lentille.

Remarquons enfin que dans le cas des grains isotropes la taille longitudinale des grains de tavelures ∆x est reli´ee `a l’aire transverse ∆y∆z comme l’est la longueur de Rayleigh d’un fais- ceau gaussien `a la surface transverse au col du faisceau (`a un un facteur num´erique pr`es).

Cas des grains anisotropes dans le plan transverse

Dans le cas de grains tr`es anisotropes ∆y  ∆z, la taille dans la direction de propagation prend une autre forme. Des grains anisotropes sont obtenus si les ouvertures angulaires αY =

D0_Y/2l et αZ = DZ0 /2l dans les deux directions transverses `a la propagation sont diff´erentes.

Cela peut ˆetre r´ealis´e avec une ouverture du diaphragme rectangulaire anisotrope ou dans le cas d’un montage avec des optiques cylindriques qui permettent d’´eclairer le diffuseur avec un faisceau anisotrope.

Dans le cas des grains anisotropes, nous obtenons

∆y = λ/2αY , ∆z = λ/2αZ , ∆x ' 7.6∆z 2

λ . (2.21)

Comme nous l’avons d´ej`a ´evoqu´e pour le cas des grains isotropes, les tailles transverses d´e- terminent la taille longitudinale dans la mesure o`u il s’agit de propager un champ ´electrique ayant une surface transverse fix´ee ∆y∆z. Cela ´etant, dans le cas des grains anisotropes, il existe alors deux ´echelles de variations spatiales longitudinales de l’intensit´e, l’une ´etant proportion- nelle `a ∆y et l’autre `a ∆z. Ces deux ´echelles ´etant tr`es diff´erentes, la taille des grains dans la direction longitudinale va ˆetre d´efinie par le carr´e de la plus petite de ces deux ´echelles6_,

`a savoir (min(∆y, ∆z))2 _{= ∆z}2_{. L’´equation 2.20 donnant la taille des grains dans la direc-}

tion Ox de propagation du faisceau laser correspond donc au cas particulier o`u ∆y ' ∆z et (min(∆y, ∆z))2

'∆y∆z.

6_{Il est possible d’interpr´eter ces r´esultats sur la variation des tailles d’un grain de tavelure en terme de}

Dans un syst`eme anisotrope, la taille des grains de tavelures dans la direction de propaga- tion ∆x peut donc ˆetre inf´erieure `a la taille la plus longue des grains dans le plan transverse (∆y dans notre cas).

La possibilit´e exp´erimentale qui nous est offerte grˆace au contrˆole de la forme des grains de tavelures, i.e. des variations spatiales du potentiel vu par les atomes, nous permet d’envisager la r´ealisation de potentiels de dimension quelconque. En effet, nous pouvons imaginer choisir des tailles de grains telles que le potentiel optique sur la taille du nuage atomique soit uniforme selon une direction spatiale (ou deux directions spatiales). Dans ce cas, le potentiel optique vu par le nuage atomique est bidimensionnel (ou unidimensionnel). Dans notre r´ealisation exp´erimentale nous tirerons avantage de cette possibilit´e pour r´ealiser un potentiel al´eatoire unidimensionnel (paragraphe 2.4.1).