Modes dipolaire et quadrupolaire d’un condensat

5.1.1.1 Fr´equences propres en l’absence de potentiel al´eatoire

Comme nous l’avons introduit au chapitre 3 (paragraphe 3.2.2), l’´equation de Gross-Pitaevskii d´ependante du temps peut ˆetre d´ecrite, dans le r´egime de Thomas-Fermi, par deux ´equations hydrodynamiques coupl´ees sur la densit´e n et le champ de vitesse v du condensat de Bose- Einstein [133]. En l’absence de potentiel al´eatoire, il vient dans un pi`ege ext´erieur Vext :

∂tn + div(vn) = 0 (5.1)

m∂tv + ∇(

mv2

2 + Vext + gn) = 0. (5.2)

En cherchant une solution oscillante `a la pulsation ω du type n = n0+ δn eiωt, il vient dans le

cas d’un condensat allong´e selon la direction Oz : ω2δn= −1 2∇ω⊥2(R2TF− r 2_{) + ω}2 z(L 2 TF − z 2_{) ∇δn. (5.3)}

Les solutions des modes collectifs du condensat dans le r´egime hydrodynamique sont des combi- naisons lin´eaires de polynˆomes de degr´e 2n et des harmoniques sph´eriques Ym

l [134]. Le nombre

projection sur l’axe long Oz.

A partir de l’´equation (5.3), il n’est pas possible d’´ecrire une relation de dispersion g´en´erale dans le cas d’un condensat en forme de cigare allong´e. Cela ´etant il est possible d’´ecrire un certain nombre de relation dans des cas particuliers [134].

Le mode d’oscillation dipolaire correspond `a une oscillation du centre de masse du conden- sat : il s’agit d’un mouvement d’oscillation de l’ensemble du nuage sans d´eformation. Cette oscillation du centre de masse peut ˆetre d´ecompos´ee comme une oscillation dans une direction radiale (Ox ou Oy) et une oscillation dans la direction longitudinale du pi`ege magn´etique (Oz). Les modes dipolaires correspondent `a la premi`ere excitation dont le moment angulaire l est non nul, i.e. l = 1. S. Stringari a montr´e que dans le cas d’un pi`ege anisotrope, des solutions `a l’´equation (5.3) ont pour pulsation

ω2(m = ±l) = lω_⊥2 et ω2(m = ±(l − 1)) = (l − 1)ω_⊥2 + ω_z2. (5.4) Ces modes permettent de calculer les pulsations des modes dipolaires dans la direction radiale (m = ±l = ±1) et longitudinale (m = l − 1 = 0) qui valent respectivement

ωD,x = ω⊥ et ωD,z = ωz. (5.5)

Le mode quadrupole (m = 0) correspond `a une oscillation des tailles radiales et longitudi- nale en opposition de phase : cette fois il n’y a pas de mouvement d’ensemble du nuage mais seulement une d´eformation qui ´evolue dans le temps. Ce mode est ´egalement appel´e mode de respiration. Une relation de dispersion pour d’autres modes solutions de l’´equation (5.3) se met sous la forme [134] : ω2(m = 0) = ω<sub>⊥</sub>2  2 + 3<sub>2</sub>λ2∓ 1 2 √ 9λ4<sub>−</sub>16λ2+ 16  (5.6) o`u λ = ωz/ω⊥. Avec cette relation de dispersion nous pouvons calculer la fr´equence du mode

m= 0 dans un condensat allong´e (λ = ωz/ω⊥ 1). Il vient alors pour ce mode quadrupolaire

la pulsation propre

ωQ = p5/2 ωz. (5.7)

L’accord entre les mesures exp´erimentales des fr´equences de ces diff´erents modes d’oscillation en l’absence de potentiel al´eatoire avec les valeurs th´eoriques attendues que nous venons de rappeler est tr`es bon [169,170].

5.1.1.2 Cr´eation des modes collectifs sur notre exp´erience

Les excitations collectives que nous ´etudions exp´erimentalement (mouvement du centre de masse et mode de respiration) sont g´en´er´ees dans le condensat grˆace `a une modification du pi`ege magn´etique.

Pour engendrer un mouvement du centre de masse du nuage atomique (oscillations dipo- laires), il suffit de d´eplacer le minimum du pi`ege magn´etique. Apr`es une translation rapide du minimum du pi`ege, le condensat ne se trouve plus au minimum du champ magn´etique et il va se d´eplacer vers le nouveau centre du pi`ege afin de diminuer son ´energie potentielle de pi´e- geage [voir la figure 5.1a)]. Il va ensuite osciller dans le pi`ege d´eplac´e si l’amortissement de son

mouvement d’oscillation est faible2. Ce d´eplacement du minimum du pi`ege magn´etique dans

les directions longitudinale ou transverse peut ˆetre induit par l’ajout d’un gradient de champ magn´etique.

De mˆeme, engendrer des oscillations quadrupolaires (un mode de respiration) peut ˆetre r´ea- lis´e en modifiant le champ magn´etique, en changeant la fr´equence du pi`ege radial par exemple. En effet, si la fr´equence transverse est brutalement augment´ee, le nuage atomique va ˆetre com- prim´e dans la direction radiale et il va s’´etendre dans la direction longitudinale. La pr´esence de la courbure magn´etique du pi`ege longitudinale comprime ensuite le condensat dans la direction longue, le contraignant `a s’´etendre radialement : il connaˆıt ainsi des oscillations quadrupolaires. La fr´equence du pi`ege transverse ´etant donn´ee par le gradient transverse du champ magn´etique de l’´electro-aimant (voir paragraphe 3.3.2), une modification du gradient transverse entraˆıne un changement de la fr´equence radiale ω⊥ [voir la figure 5.1b)]. Ainsi, nous utilisons ´egale-

ment un gradient magn´etique pour cr´eer des oscillations quadrupolaires dans nos condensats de Bose-Einstein.

Il faut remarquer que, dans nos exp´eriences, nous ajustons la valeur du gradient magn´etique en fonction de l’oscillation que nous voulons g´en´erer dans le condensat. Ce choix se fait empi- riquement et nous ne sommes pas en mesure d’en donner une justification plus pr´ecise.

2.4 2.3 2.2 2.1 2.0 1.9 -4 -2 0 2 Distance z (mm) C ha m p m ag né tiq ue ( G ) a) b) 0.4 Distance r (mm) 2.6 2.5 2.4 2.3 2.2 2.1 2.0 1.9 0.2 0.0 -0.2 C ha m p m ag né tiq ue ( G )

Fig. 5.1 – a) Profils longitudinaux (Oz) du champ magn´etique initial (traits tiret´es) et d´eplac´e (trait plein) calcul´es pour nos param`etres exp´erimentaux : le d´eplacement du minimum du pi`ege induit des oscillations dipolaires du nuage d’atome. b) Profils radiaux (Ox) du champ magn´e- tique initial (traits tiret´es) et final (trait plein) calcul´es pour nos param`etres exp´erimentaux : le changement de fr´equence radiale induit des oscillations quadrupolaires du condensat.

Des excitations dipolaire et/ou quadrupolaire sont ainsi g´en´er´ees dans notre condensat de Bose-Einstein en ajoutant un gradient magn´etique `a la configuration issue de notre ´electro- aimant pendant un temps court (typiquement 3 ms). Ce gradient magn´etique additionnel est produit en utilisant les bobines qui cr´eent le champ magn´etique de la phase du Pi`ege Magn´eto- Optique (PMO). Elles cr´eent un gradient qui peut ˆetre vari´e de 0 `a 10.5 G.cm−1 _{avec le courant}

qui les parcourt. Nous pr´esentons maintenant plus en d´etail les modifications du champ ma- gn´etique apport´ees par la pr´esence de ce gradient magn´etique.

2_{Le th´eor`eme de Kohn appliqu´e `a un condensat de Bose dans un pi`ege harmonique stipule que les interactions}

Modifications du pi`ege magn´etique

Le gradient magn´etique cr´e´e par les bobines du PMO est proportionnel au courant qui les parcourt. Ce courant est contrˆol´e sur notre exp´erience par la tension de l’alimentation branch´ee sur les bobines. Ainsi, le contrˆole de la tension d’alimentation des bobines du PMO permet de faire varier lin´eairement le gradient de champ magn´etique de 0 `a 10.5 G.cm−1 _environ.

Plus pr´ecis´ement, le gradient cr´e´e par les deux bobines du PMO poss`ede pour axe de r´evo- lution l’axe radial orient´e selon la direction du champ de gravitation. Cet axe de r´evolution est selon une direction d´ecal´ee de π/4 par rapport `a l’orientation des champs dipolaire et quadru- polaire. Notons (O,X,Y,Z) le rep`ere li´e au champ du PMO, (O,x,y,z) ´etant toujours le rep`ere li´e aux champs dipolaire et quadrupolaire que nous avons utilis´e jusqu’ici. Nous avons pour le champ du PMO : ~ BPMO=   b0X b0/2Y b0/2Z  = b0 √ 2   −x+ y 1 2(x + y) 1 √ 2z  .

Un gradient est donc ajout´e selon les directions longitudinale et transverses du condensat. Cependant, le confinement magn´etique dans la direction radiale est r´ealis´e par un gradient dont la valeur (150 G.cm−1_{) est bien sup´erieure `a celle du gradient du PMO (au maximum}

10.5 G.cm−1_{). Ainsi, si le champ magn´etique du PMO est correctement align´e avec le champ}

magn´etique de pi´egeage, le d´eplacement dans la direction radiale est n´egligeable3 et seule la

fr´equence de pi´egeage radial varie l´eg`erement puisque le gradient transverse passe de 150 `a 160 G.cm−1 _{en pr´esence des bobines du PMO. Les champs dipolaire et quadrupolaire cr´e´es par}

l’´electro-aimant ont ´et´e pr´esent´es au paragraphe 3.3.2.

Le d´eplacement du centre du pi`ege selon Oz lors de l’application du champ du PMO par rapport `a sa position initiale peut ˆetre calcul´e en d´erivant la composante longitudinale du champ total par rapport `a z. Il vient alors

dBz dz = b0 2 + 2B 00 z = 0.

Il est int´eressant de remarquer que ce d´eplacement est proportionnel `a la valeur b0

du gradient appliqu´e. Cette derni`ere variant lin´eairement en fonction de la tension appliqu´ee (en fait du courant) sur les bobines du PMO, nous obtenons un contrˆole lin´eaire du d´eplacement en fonc- tion de la tension appliqu´ee sur les bobines. Pour une tension de 12 V le minimum du pi`ege magn´etique est d´eplac´e de 1.67 mm et il l’est de 280µm pour une tension de 2 V.

Contrˆole de l’amplitude des modes d’oscillation

Comme nous l’avons mentionn´e plus haut, nous appliquons le gradient magn´etique pendant un temps court (3 ms). Cela signifie que nous modifions deux fois le pi`ege magn´etique : une

3_{Notons que le d´eplacement relatif dans le sens radial des deux minima des champs magn´etiques du MOT}

et du pi`ege peut ˆetre ´evalu´e en observant justement les oscillations dans la direction radiale que connaˆıt le condensat.

premi`ere fois pour cr´eer un pi`ege dont le minimum est d´eplac´e et/ou un pi`ege comprim´e dans la direction transverse ; une seconde fois pour revenir `a la configuration initiale du pi`ege ma- gn´etique en l’absence du gradient cr´e´e par les bobines du PMO.

D`es lors, le d´eplacement du centre de masse du condensat selon la direction longitudinale n’est pas ´egal `a celui du d´eplacement du minimum de champ magn´etique lors de l’application du gradient. En effet, si le gradient ajout´e change (presque) imm´ediatement la position du minimum du pi`ege, il faut au contraire un certain temps au condensat pour se d´eplacer vers le nouveau minimum. En 3 ms, le nuage d’atome n’a pas le temps d’atteindre le nouveau minimum de champ magn´etique et son d´eplacement est inf´erieur `a celui du minimum du pi`ege. Le d´eplacement typique du condensat que nous avons utilis´e pour engendrer des oscillations dipolaires est de l’ordre de 15 `a 20 µm.

De mˆeme, il n’existe pas un parall`ele exact entre la modification de la fr´equence transverse du pi`ege que nous pouvons calculer `a partir de la connaissance du gradient magn´etique ajout´e et l’amplitude des oscillations dipolaires g´en´er´ees dans le condensat avec l’application durant 3 ms d’un gradient magn´etique. Typiquement nous engendrons des oscillations quadrupolaires dont l’amplitude correspond `a des anisotropies du nuage de 15 `a 30%.

Cependant, les amplitudes du d´eplacement du centre de masse du condensat et l’amplitude de la d´eformation du nuage varient avec la valeur du gradient magn´etique cr´e´e avec les bobines du PMO. Nous conservons donc bien ainsi un contrˆole sur ces amplitudes.