5.2 Vitesse du son dans un condensat d´esordonn´e
5.2.1 Superfluidit´e et vitesse du son dans un condensat de Bose-Einstein
Nous rappelons ici, d’une part, la valeur de la vitesse du son dans un condensat de Bose- Einstein gazeux `a partir de la description hydrodynamique de celui-ci, et, d’autre part, la vitesse critique, au sens de Landau, du condensat superfluide.
5.2.1.1 Equations hydrodynamiques et vitesse du son
Au chapitre 3 (paragraphe 3.2.2), nous avons d´eriv´e les ´equations hydrodynamiques pour un condensat dans le r´egime de Thomas-Fermi. Ces deux ´equations sont similaires `a celles qui d´ecrivent la dynamique d’un superfluide `a temp´erature nulle [59] et le condensat acquiert dans ce r´egime un caract`ere superfluide. La combinaison de ces deux ´equations permet d’´ecrire (en lin´earisant les ´equations) une ´equation du second ordre sur les modulations de densit´e δn= n − n0, n0 ´etant le profil de Thomas-Fermi dans le pi`ege magn´etique, [155] :
∂2δn
∂t2 = ∇ · [c
2(r)∇δn]. (5.15)
La quantit´e c(r), homog`ene `a une vitesse, est telle que mc2(r) = µ − V
ext(r). L’´equation pr´ec´e-
dente (5.15) est analogue `a l’´equation de propagation d’une onde sonore `a la vitesse c(r). Ainsi elle d´efinit une vitesse du son locale, c(r), dans le nuage atomique qui d´epend de la position r. Les solutions de l’´equation (5.15) dans le cas d’un syst`eme homog`ene (Vext = 0) sont des
ondes sonores se propageant `a la vitesse cson = pµ/m = pgn0/m [133]. Remarquons qu’il est
n´ecessaire que la longueur d’onde des solutions de l’´equation de propagation (5.15) soit grande devant la longueur de relaxation ξ du condensat (r´egime phonon du spectre de Bogoliubov). Dans le cas o`u cette condition n’est pas respect´ee l’´equation de propagation lin´earis´ee n’est pas valide. La pr´esence d’interactions est ainsi n´ecessaire dans la description hydrodynamique du
fluide qu’est le condensat de Bose-Einstein7.
Dans un pi`ege harmonique, des ondes sonores peuvent ´egalement se propager dans le cas o`u leur longueur d’onde est inf´erieure `a la taille du syst`eme. Elles sont alors solution de l’´equation (5.15) lorsque deux conditions de validit´e sur leur vecteur d’onde q sont remplies : qL 1 et qξ 1 [L ´etant la taille longitudinale du syst`eme]. Si le pi`ege a une forme de cigare anisotrope8,
ω⊥ ωz, des ondes sonores undimensionelles peuvent se propager avec un vecteur d’onde q tel
que qLTF 1 et qRTF 1. Dans une telle situation anisotrope, la vitesse du son d’une onde
longitudinale est modifi´ee par rapport `a celle du cas uniforme et il vient [184,185] : cson =
r gn0(0)
2m , (5.16)
Le facteur 2 suppl´ementaire de l’´equation (5.16) par rapport au cas homog`ene (cson = pµ/m =
pgn0/m) vient de la pr´esence du confinement harmonique radial. En effet, la vitesse du son
que nous avons d´efinie dans le cas homog`ene, c = pgn/m, fait en toute rigueur intervenir la densit´e n moyenn´ee dans la direction radiale. Avec le confinement harmonique, il vient alors n = n0(0)/2 o`u n0(0) est la valeur de la densit´e 3D du profil de Thomas-Fermi au centre du
nuage.
5.2.1.2 Vitesse critique d’un condensat superfluide
Le caract`ere superfluide d’un gaz ou d’un fluide se caract´erise par l’absence de dissipation lors de son ´ecoulement. Les travaux de Landau sur les superfluides ont d´emontr´e l’existence d’une vitesse critique en dessous de laquelle l’´ecoulement autour d’un obstacle se fait sans dissipation [25]. Cette vitesse critique propos´ee par Landau est li´ee au spectre d’excitations dans le superfluide. Notant E(q) l’´energie du mode d’impulsion q, la vitesse critique est d´efinie par c0 = minq[E(q)/q] : en dessous de cette vitesse c0, le fluide ne peut pas ´emettre d’excitations9
lors de son ´ecoulement autour d’un obstacle et il s’´ecoule alors sans dissipation.
Il faut noter que la d´efinition de la vitesse critique c0 est obtenue dans le cadre d’une th´eorie
perturbative. Dans le cas o`u des effets non-lin´eaires doivent ˆetre pris en compte dans le fluide, la vitesse critique peut ˆetre inf´erieure `a celle d´efinie par Landau. En effet, la formation de vortex (ou de solitons `a 1D) dans de tels fluides induit une dissipation `a une vitesse inf´erieure `a c0. Des exp´eriences men´ees dans l’H´elium II ont mis en ´evidence l’existence de cette vitesse
critique [186] et son lien avec la formation de vortex [187].
Les condensats de Bose-Einstein gazeux ont ´egalement ´et´e utilis´es pour tester la vitesse critique de Landau de la superfluidit´e. La d´emonstration de l’existence d’une vitesse critique [188, 189] ainsi que sa d´ependance avec la pr´esence de vortex [190] dans les gaz ultra-froids ont ´et´e v´erifi´es. Il faut noter que la vitesse critique au sens de Landau dans un condensat de
7Voir paragraphe 3.2.2
8Le calcul est effectu´e en consid´erant un cylindre, i.e. un confinement radial parabolique et un potentiel
longitudinal homog`ene.
Bose-Einstein d´epend du caract`ere attractif ou r´epulsif de l’obstacle autour duquel s’´ecoule le condensat [191].
Dans un condensat de Bose-Einstein, la vitesse critique de Landau s’identifie avec la vi- tesse du son. En effet, le spectre de Bogoliubov d’un condensat se met sous la forme E(q) = qpc2
son+ q2/4 o`u cson est la vitesse de propagation des ondes sonores dans le nuage atomique
condens´e [133] : nous obtenons alors c0 = cson. Remarquons une nouvelle fois que le caract`ere
superfluide d’un condensat vient de la pr´esence des interactions inter-atomique responsables de la forme du spectre `a basse ´energie (de type phonon). En l’absence d’interactions, le spectre de particules libres ´etant quadratique (∝ q2), la vitesse critique au sens de Landau est nulle
et un tel fluide n’est superfluide qu’`a l’´etat stationnaire lorsqu’un grand nombre de bosons en peuplent l’´etat fondamental. Au contraire, pour tout mouvement du fluide, aussi petite que soit sa vitesse, le comportement superfluide disparaˆıt avec l’apparition d’une viscosit´e non nulle.