3.4 D´eveloppement de fluctuations de densit´e en temps de vol induit par le d´esordre
3.4.1.2 Mesure des fluctuations de densit´e sans d´esordre
En l’absence de potentiel al´eatoire, les modulations de densit´e que nous mesurons sont celles d’un quasi-condensat non-d´esordonn´e apr`es un temps de vol. La d´eviation standard de ces fluctuations ∆η est faible (de l’ordre de 4%) et n’´evolue pratiquement pas au cours du temps de vol comme le pr´esente la figure 3.14.
Nous pouvons ´evaluer le bruit induit par notre syst`eme d’imagerie `a partir d’images sans atomes. La valeur du bruit mesur´e se traduit par des fluctuations de densit´e de l’ordre de 1.5%, soit ∆ηb ' 0.015. Cette valeur est donc la plus petite valeur que nous puissions mesurer avec
notre syst`eme exp´erimental. Les valeurs que nous mesurons (voir figure 3.14) sont sup´erieures `a cette valeur li´ee au bruit de l’imagerie par absorption.
Les fluctuations de densit´e qui apparaissent dans un condensat allong´e non-d´esordonn´e ont une origine thermique. Elles sont la cons´equence du peuplement d’excitations thermiques 1D de basses ´energies dans les condensats allong´es (voir 3.2.3). Il existe en effet dans les condensats allong´es pi´eg´es des fluctuations de phase qui se transforment en fluctuations de densit´e au cours d’une expansion libre [137,141]. Nous avons rappel´e l’origine thermique des modulations de phase initialement pr´esentes dans le condensat allong´e pi´eg´e au paragraphe 3.2.3.
0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0 80 70 60 50 40 30 20
ω t
T TOF∆η
Fig. 3.14 – Evolution des fluctuations de densit´e ∆η au cours du temps de vol dans un condensat allong´e non-d´esordonn´e. La zone gris´ee correspond aux valeurs calcul´ees `a partir de l’´equation (3.37) ne prenant pas en compte la diminution du contraste li´ee `a l’angle du faisceau sonde. L’extension de la zone gris´ee refl`ete l’incertitude de mesure sur la temp´erature du nuage ato- mique.
La contribution des modulations de phase initialement pr´esentes dans le condensat allong´e `a la d´eviation standard ∆η du profil de densit´e apr`es un temps de vol s’´ecrit [141]
(∆η)2 = T λTφ r ln(τ) π v u u t1 + s 1 + ~ω⊥τ µln(τ) 2 −√2 , (3.37)
o`u τ = ω⊥tvol, λ = ω⊥/ωz est le rapport d’aspect du pi`ege magn´etique et Tφ= 15(~ωz)2N0/32µ
est la temp´erature de phase (voir paragraphe 3.2.3). Cette ´equation est valide pour des temps de vol τ tels que µ/~ω⊥'7 τ µω⊥/~ωz2 '7 × 104 [141] et s’applique donc `a nos mesures.
Avec nos param`etres exp´erimentaux, nous obtenons Tφ ' 105(5) nK. La temp´erature T du
condensat peut ˆetre extrapol´ee des mesures de temp´erature des nuages mixtes pour lesquels la fraction condens´ee est inf´erieure `a 80% [153]. Nous obtenons alors une temp´erature ´egale `a T ' 80(15) nK. Nous pouvons alors ´evaluer ∆η `a partir de l’´equation 3.37. En particulier, l’´equation (3.37) montre que la d´eviation standard des fluctuations de densit´e induites par la pr´esence de modulations de phase initiales croit avec le temps de vol.
L’incertitude sur la mesure de la temp´erature T du condensat induit une incertitude sur l’amplitude des modulations de densit´e dans le nuage en expansion [voir ´equation (3.37)]. Nous calculons la zone correspondant aux valeurs de ∆η que nous nous attendons `a mesurer sur notre exp´erience `a un temps de vol donn´e pour cette gamme de temp´eratures. Cette zone apparaˆıt en gris´e sur la figure 3.14.
Afin de comparer les pr´edictions de l’´equation (3.37) avec nos mesures exp´erimentales, il est n´ecessaire de prendre en compte la r´eduction du contraste li´ee `a notre syst`eme d’imagerie comme nous le d´ecrivons dans les lignes qui suivent.
Le contraste des franges de densit´e observ´ees apr`es un temps d’expansion dans un conden- sat (d´esordonn´e ou non) est en pratique r´eduit par deux limitations du syst`eme d’imagerie. D’une part, la r´esolution spatiale finie du syst`eme d’imagerie r´eduit le contraste observ´e lorsque l’´echelle de variation spatiale des fluctuations de densit´e est inf´erieure ou du mˆeme ordre que la limite de r´esolution Lres. D’autre part, un alignement du faisceau sonde imparfait par rapport
`a l’axe des franges de densit´e induit une diminution du contraste observ´e.
Notre syst`eme d’imagerie a une limite de r´esolution spatiale finie qui correspond `a l’int´egra- tion effectu´ee des photons que re¸coit chaque pixel de la cam´era CCD. La fonction de r´eponse de notre syst`eme d’imagerie (Fonction de Transfert de Modulation, FTM) a ´et´e mesur´ee pr´eci- s´ement au cours de la th`ese de M. Hugbart-Fouch´e [153]. La FTM d´ecroit lin´eairement avec la fr´equence spatiale et la limite de r´esolution obtenue dans le plan du condensat (c’est-`a-dire en prenant en compte le grandissement du syst`eme d’imagerie, voir 3.3.3.2) vaut Lres = 8.5 µm.
Si les fluctuations de densit´e que nous observons varient sur une ´echelle inf´erieure `a Lres
alors le contraste observ´e des franges de densit´e sera inf´erieur au contraste r´eel. La connais- sance de la FTM de notre syst`eme d’imagerie nous permet ainsi d’´evaluer la perte du contraste induite par la r´esolution spatiale finie de ce dernier. Nous utiliserons ´egalement la FTM pour comparer les r´esultats de calculs num´eriques aux observations exp´erimentales (voir paragraphe 3.4.2). Dans le cas qui nous int´eresse ici, `a savoir les fluctuations de densit´e induites par la pr´e- sence de fluctuations de phase dans les condensats allong´es pi´eg´es, l’´echelle de variation spatiale des fluctuations de densit´e (de l’ordre de 20 µm) est sup´erieure `a Lres : la r´esolution de notre
syst`eme d’imagerie ne r´eduit donc pas le contraste mesur´e.
La seconde origine d’une r´eduction du contraste lors de notre mesure exp´erimentale vient de l’angle θ du faisceau sonde avec l’axe des franges de densit´e (l’axe long Oz du condensat dans le cas des fluctuations de densit´e induites par les fluctuations de phase initiales). Le contraste des fluctuations de densit´e va ˆetre diminu´e par le processus d’int´egration de la technique d’imagerie par absorption. Cet effet a ´et´e discut´e lors des premi`eres observations de fluctuations de densit´e en temps de vol induites par des modulations de phase initialement pr´esentes dans un condensat allong´e pi´eg´e [141,142].
Cette diminution du contraste d´epend ´evidemment de l’angle θ mais aussi du rapport entre la taille transverse du condensat RTF(tvol) apr`es temps de vol et l’´echelle spatiale de variation
des fluctuations de densit´e d. Plus exactement, il vient [153] Cmesure
Creel =
sin[πRTF(tvol) tan(θ)/d]
πRTF(tvol) tan(θ)/d
. (3.38)
D’apr`es (3.38), l’augmentation de la taille transverse RTF(tvol) au cours du temps de vol en-
gendre une diminution du contraste. Ainsi, l’´ecart croissant au cours de l’expansion de nos mesures avec la valeur attendue d’apr`es l’´equation (3.37) concorde avec cette diminution du contraste. Dans notre exp´erience, l’alignement du faisceau sonde avec l’axe vertical Oy fait un angle θ de quelques mrad (inf´erieur `a 15 mrad). Il est cependant d´elicat de mesurer pr´ecis´ement ce dernier.