13. A NÁLISIS DE LA IMPLEMENTACIÓN DE LAS PRIMERAS TAREAS
13.3 T AREA 3: ¡Q UEREMOS SABER MÁS DE LOS PRECIOS !
La tercera tarea partía de nuevo de unos datos que se daban de forma icónica (Figura 13.4).
Figura 13.4: Datos de la tarea 3, representadas icónicamente
Profesores y alumnos disponían de las siguientes preguntas para contestar sobre esta tarea:
1. Argumenta por qué puedo saber el precio del conjunto formado por una pizza y una bebida.
2. Explica por qué puedo saber el precio de cinco ensaladas y cinco pizzas.
3. Di seis cosas diferentes que podemos afirmar a partir de los datos que tenemos.
4. Argumenta por qué no puedo saber el precio de dos porciones de pizza y una bebida solo con esta información.
5. Si también disponemos de la información de la actividad anterior, el precio de cuatro porciones de pizza y seis bebidas, explica cómo lo harás para saber el precio de un conjunto formado por una porción de pizza y tres ensaladas.
6. ¿Y el precio de cinco bebidas y quince porciones de pizza?
7. Si también sabemos que una porción de pizza y dos bebidas cuestan 7€, ¿puedes saber ahora el precio de cada porción de pizza y de cada bebida?
13.3.1 Profesor 1: Ángel
Número de sesiones: 1 Fecha: 22/01/2015 INTRODUCCIÓN
El profesor dejó seis minutos a los alumnos para que pudiesen trabajar en la tarea número 3.
Mientras los alumnos trabajaban, el profesor paseaba por la clase, observando a los alumnos pero sin ayudarlos.
DESARROLLO
Cuando este tiempo había finalizado, pidió a los alumnos que compartiesen sus respuestas por parejas. No dijo nada sobre el tiempo que les dejaba para hacer esto. Otra vez, el profesor se paseaba por la clase escuchando las conversaciones de los alumnos pero sin ayudarlos.
A03-1413 El profesor dijo que tenían tiempo para trabajar otra vez individualmente pero que ahora tenían que ponerse a trabajar directamente en la última de las cuestiones de aquella tarea.
Antes de dejarlos solos, intentó asegurarse de que todo el grupo entendía la pregunta. Para
hacerlo pidió a algunos alumnos que le explicasen lo que pedía aquella pregunta. Cuando creyó que el enunciado estaba suficientemente claro, les dijo que tenían cinco minutos para trabajar solos. Después aún les dejó algo más de tiempo para compartir sus respuestas por parejas.
A03-2400 Pasado ese tiempo, quiso trabajar con toda la clase. Ángel escribió un problema diferente utilizando también la representación icónica, pero diferente al que los alumnos estaban resolviendo. En el dibujo se podía ver que tres manzanas y dos sandías cosataban 8.5€ y que dos manzanas y tres sandías costaban 9€. Antes de empezar con este nuevo problema preguntó cuántos alumnos habían conseguido resolver el último problema de su hoja. La mayoría de los alumnos levantaron la mano.
[3] - Adherencia a los libros de texto é Elección de ejemplos é Elección de representaciones é
El profesor decide plantear un problema diferente al de la hoja de trabajo. Consigue que todos los alumnos tengan que resolver un nuevo problema del mismo estilo al que estaban haciendo.
Elige expresar el ejemplo usando el lenguaje icónico.
Ángel hizo salir a una alumna a la pizarra. Mientras esta alumna salía y empezaba a pensar en cómo resolvería el problema, el profesor dejó 2 minutos a todos los alumnos para que intentasen resolver el problema individualmente. En la Figura 13.5 se puede ver lo que la alumna, Hanna, escribió en la pizarra.
Figura 13.5: Ecuaciones escritas por una alumna de 2º de ESO
A03-2939 Ángel preguntó a los alumnos por qué pensaban que Hanna estaba haciendo esto.
Jaro: Per després poder trobar un i un. Perquè després, si tens cinc i cinc podràs trobar, podràs trobar la proporció, o sigui fent, com està a proporció podràs trobar el preu de tres i tres i si tens tres i tres podràs fer el que hem fet nosaltres en l’últim problema.
[3] - Conexiones entre procedimientos é Con esta pregunta, el profesor consigue saber si los alumnos están conectando la forma en la que ellos estaban resolviendo el problema con la manera en la que Hanna lo estaba escribiendo en la pizarra.
A03-3212 El profesor decidió cambiar a la alumna que estaba en la pizarra. En ese momento pidió la atención de toda la clase y empezó a debatir con el grupo.
Clara: El primer que he fet és, o sigui, per averiguar, com que també vull averiguar com el d’abans… el que costava una parella d’una síndria i una poma. Així que he igualat la quantitat de pomes amb la quantitat de síndries [no se entiende lo que dice, pero va señalando en la pizarra y parece que esté sumando las cantidades de las dos ecuaciones]. Cinc pomes. I he sumat els dos preus.
Ángel: O sigui que, has fet fins a la Hanna, no?
[3] - Conexiones entre procedimientos é El profesor vuelve a hacer una conexión con aquello que Hanna ha escrito en la pizarra, mientras que Clara apunta en la pizarra los cálculos que iba haciendo y los resultados que iba obteniendo.
Clara: Sí. Vale, això és 17.50. Després, per saber quant costa una parella, aquí en tenim… espera…
tenim tres parelles d’una síndria i una poma. Sí?
Ángel: Ho enteneu?
[Los alumnos suspiran y asienten]
Clara: No, no, tenim cinc. Tenim, espera… tenim cinc parelles d’una síndria i una poma. Sí?
Algunos alumnos: Sí.
Clara: Per saber el preu d’una parella dividim 17.50 entre cinc…
Ángel: O sigui que fas 17.50 entre cinc i això serà…què serà?
Toda la clase: El preu d’una poma i una síndria.
Clara: Això donava 3.50. Vale. Ara sabem que una parella costa 3.50. Vale, sí. Sabem que una parella costa 3.50. Ara agafem un dels dos, per exemple aquest [señalando la primera condición del problema] i aquí hi ha dues parelles. O sigui aquest [señalando dos manzanas y dos sandías]. Una síndria i una poma, i una síndria i una poma. I doncs tenim 3.50 per 2.
Perquè tenim dos parelles. I això dóna 7. Ens sobra una poma i ens sobra 1.50. Així que sabem que la poma aquesta valdrà 1.50 i doncs, per saber el que val la síndria, fem el preu d’una parella, 3.50, menys el preu d’una poma que hem quedat que era 1.50, i et dóna 2, no?.
És el preu de la síndria.
A03-3443 Ahora el profesor se acercó a la pizarra.
Ángel: Una cosa que us pot servir per explicar això podria ser dir… cinc pomes més cinc síndries són 17.50. D’aquí heu deduït, què? [Ahora el profesor está haciendo un esquema con la representación icónica de todo lo que va diciendo]
Algunos alumnos: La parella.
Ángel: La parella, no? Venga. Què faig ara?
Algunos alumnos: 17.50 dividit entre 5.
Ángel: I què faig? Què he de posar ara jo aquí?
Algunos alumnos: 17.50 dividit entre 5.
Martina: No, una pera, ai! una poma.. no…
Ángel: Vale. Faig això 17.50 dividit entre 5, això dóna 3.50. Vale. I ara què faig? [muchos alumnos dicen en voz alta lo mismo que el profesor]. Una poma i una síndria és 3.50. Vale. I ara vull trobar una manera d’escriure això que està aquí per que s’entengui bé [marcando los cálculos que había escrito Clara]. Sí? Llavors, què faig aquí?
Ángel y Mónica: Si tinc tres pomes i dos síndries això val 8.50, no? I ara què faig?
Àlex: Aquí hi ha dos parelles.
Mónica: Les uneixes.
Ángel: [Ángel intenta encontrar otro rotulador de un color diferente para escribir en la pizarra, pero no tiene] Bueno, amb un altre color, podria fer, això… val 3.50 [redondeando una manzana y una sandía]. No? Això val 3.50 [marcando otra pareja]. Llavors si d’aquí trec 7, què he de fer aquí? [Marcando el otro lado de la ecuación]
Algunos alumnos: Restar.
Ángel: També restar 7. No? O sigui que tinc una poma igual a 8.5 menys 7 que és 1.5. Veieu?
D’aquesta manera queda tot argumentat, que és lo mateix que ha fet la Clara que ho ha fet molt bé, ho ha explicat. Però què ha fet la Clara, ho ha explicat en llenguatge, què?
[3] - Modelización del profesor é El profesor explica el procedimiento que ha hecho Clara en la pizarra. Pero esta vez lo
escribe de manera que los alumnos puedan escribirlo en sus apuntes.
Algunos alumnos: Oral
Ángel: Oral o verbal, sí? Jo què estic fent?
Algunos alumnos: Dibuixar [y más palabras ininteligibles].
Ángel: Sí. Un llenguatge… mixt, no? entre gràfic i… és àlgebra casi. Això és àlgebra. Aquest símbol [señalando el dibujo de una manzana] vol dir poma. Vol dir poma aquest símbol?
[3] - Conexiones entre representaciones é Modelización del profesor é Visión retrospectiva durante la enseñanza é El profesor intentó hacer evidente la conexión entre los cálculos aritméticos que había hecho Clara y el lenguaje con el que ellos estaban escribiendo en los razonamientos en la pizarra.
Durante la explicación, Ángel dice que el icono que tiene forma de manzana representa una manzana, cuando en realidad tendría que haber dicho que representa el precio de una manzana. Se da cuenta del error lanza una pregunta para hacer que sean los alumnos quien le rectifiquen.
Algunos alumnos: No...
Ángel: Vol dir… què vol dir?
Carol: Preu d’una poma.
Ángel: Preu d’una poma, eh? Això és el preu de la poma. O sigui, aquests símbols podrien ser… “x”,
“p”, “a”, “b”, és igual. “p” de poma, “s” de síndria. Sí? Llavors, el que volen dir és el preu… i estic fent un raonament que et serveix per fer-ho molt curtet. I que s’entén tot. Ho veieu?
Figura 13.6: Reproducción de la resolución de un sistema de ecuaciones escrita por el profesor en la
pizarra
CIERRE
El profesor acaba la clase diciendo que lo que habían hecho era trabajar una forma de escribir razonamientos muy cercana al lenguaje algebraico.
13.3.2 Profesor 2: Jorge
Número de sesiones: 1 Fecha: 21/01/2015
Otros factores de contexto: Neus vuelve hoy a las clases, después de estar la semana anterior ausente.
INTRODUCCIÓN
El profesor empezó comprobando si los alumnos habían hecho los deberes. Después de eso, Jorge empezó a trabajar utilizando la misma dinámica que en las sesiones anteriores, compartiendo en voz alta las respuestas de los alumnos.
DESARROLLO
J04-0244 Primero empezaron discutiendo el precio de una bebida y una pizza. Rápidamente los alumnos contestaron correctamente, utilizando la proporcionalidad. De la misma forma pudieron saber el precio de cinco pizzas y cinco bebidas.
[1] - Uso de terminología matemática ê En ningún momento ni el profesor ni los alumnos utilizan la palabra "proporcional" para
responder a estas preguntas.
También respondieron correctamente a la segunda pregunta. Esta vez no hubo discusión al respecto de las respuestas, a diferencia de las sesiones anteriores.
J04-1913 En este momento discutieron la quinta cuestión. Jorge escribió en la pizarra la siguiente representación icónica:
También dibujó en la pizarra una porción de pizza y tres bebidas, para intentar saber el precio de este conjunto.
Jorge: A veure si som capaços de sapiguer quin és el preu d'això. Eh? [en la pizarra señaló el dibujo de una porción de pizza y una bebida]. Alguna idea? [silenci dels alumnes] Alguna idea chicos?
[Algunos alumnos dicen que no entienden la pregunta]
Jorge: Bueno. Uih. Lo que nos dice el problema es: yo tengo esta información, por un lado. Y tengo esta. A ver si... siempre nos quejamos de que no tenemos información, ¿verdad? para saber lo que vale o una pizza o una bebida. La pregunta es a ver si con esta información adicional ¿eh?
Podemos ser capaces de calcular. Mirando a la pizarra ¿eh? la clave está en mirar, fijarse un poco lo que es cada cosa... [Pedro levanta la mano]
[los alumnos dicen que no saben el precio de los productos individualess]
Jorge: Ahí no te lo está pidiendo el precio de una bebida ni el precio de una pizza. Te está pidiendo, es saber, eso. Solo eso. Hay que centrarse en saber cuánto vale eso. [más alumnos levantan las manos y un alumno habla pero Jorge lo ignora]. Ya empiezan a haber manos levantadas,
¿eh? seguramente algo han visto.
[Silencio]
Jorge: ¿Mariano? ¿Nada? A ver, Pedro.
Pedro: Ehm, si le restamos al 17.60 el 12, nos da la respuesta de una pizza y tres bebidas.
Jorge: ¿Cómo? ¿cómo?
Pedro: Que si le restamos el 12 al...
Jorge: Sí...
Pedro: ... 17.60 entonces nos da la respuesta a eso, que como tres pizzas se van con tres pizzas y tres bebidas se van con tres bebidas, entonces nos queda una pizza y tres bebidas.
Jorge: Mariano, ¿lo has entendido?
[1] - Anticipación de la complejidad é Jorge prevé que algunos alumnos no están siguiendo el razonamiento, ası́ que decide
focalizar en un alumno para que Pedro tenga que repetir lo que ha dicho.
Mariano: No
Jorge: [A Pedro] Dilo bien fuerte. Es eso ¿eh? Dilo bien fuerte a ver si lo escucha... a ver si lo entiende.
Pedro: Que si ahí arriba tenemos tres pizzas y abajo tenemos cuatro pizzas restamos cuatro a tres, o sea, tres pizzas a cuatro, sería una pizza. Y si le restamos tres bebidas al seis bebidas, que son tres, sería una pizza y tres bebidas. Y ese es el precio.
Jorge: ¿Lo ves ahora?
Mariano: Sí.
Parecía que el grupo entero entendió la explicación de Pedro, ya que todos asintieron. Además el profesor volvió a repetir el argumento de Pedro, escribiéndolo en la pizarra. Dejó tiempo para que anotasen bien lo que acaban de hacer en clase.
[1] - Modelización del profesor é Aun repite una vez más el argumento de Pedro, combinando las dos condiciones
(restándolas en este caso) para conseguir una nueva condición.
J04-2613 Resolvieron la sexta cuestión utilizando la nueva información: sabiendo que el precio de una porción de pizza y tres bebidas para saber cuánto costaban cinco pizzas y quince bebidas, diciendo que se tenía que multiplicar por cinco.
[1] - Uso de terminología matemática êé Para justificar que se tenía que multiplicar por 5 tanto el precio como la condición, el alumno
que estaba participando utiliza la palabra "proporcional". El profesor felicita al alumno que estaba participando en ese justo momento. Podría haber aprovechado la ocasión para compartir el vocabulario con todo el grupo.
[1] - Elección de representaciones éê Escribe en la pizarra la representación icónica de 5 porciones de pizza y 15 bebidas tal y como se puede ver en la Figura 13.7. Por un lado, esta forma de escribir es más cercana al lenguaje algebraico que a una notación puramente icónica. Se tendría que tener en cuenta que
en este caso los iconos dejan de representar objetos y pasan a representar sus precios (igual que si usáramos letras). Así que los signos de suma y de igualdad pasan a tener sentido en este contexto. En diversas ocasiones el profesor demuestra que tiene control sobre el significado de estos símbolos y los usa correctamente, insistiendo en que están representando los precios.
Pero por otro lado, llama la atención el segundo sumando del término izquierdo de la igualdad.
Si esta representación tiene que ser más cercana a la escritura algebraica, en ella nunca utilizaríamos la concatenación de símbolos para indicar la suma.
Figura 13.7: Representación icónica-algebraica de una condición escrita por Jorge
J04-2914 Jorge escribió la información sobre la séptima cuestión en la pizarra. Dibujó la representación icónica del problema mientras leía el enunciado en voz alta. En esos momentos había algunos alumnos que ya tenían la mano levantada.
[3] - Elección de representaciones é En la Figura 13.8 se puede ver qué representación elige Jorge para transcribir el enunciado a la pizarra. Parece que piensa que la traducción del lenguaje verbal a la representación icónica es evidente, y lo hace él mismo sin ninguna mención especial a lo que está haciendo. Además, esta vez hace la traducción a un lenguaje puramente icónico.
Figura 13.8: Representación icónica de una condición (Jorge)
Jorge: Vinga, deixeu l'iPad, mireu a la pissarra, tranquilament, hem anat com, tenint pistes i... hem tret conclusions. Noves conclusions. I ara ens donen una altra pista, no? Som capaços de determinar quant costa una beguda i una pizza? Per separat? [algunos alumnos dicen que no]
Guillem, piensa, luego existe. [silencio]. Lo tenéis en la pizarra ¿eh? solo tenéis que mirar a la pizarra. Es un tema de agudeza visual. O de lógica también, ¿eh? Lo que estamos haciendo es... es... muy lógico ¿eh? Y podría ser una situación que os encontrarais cuando fuerais con un amigo a tomar algo... a ir a comer una hamburguesa... [diversos alumnos van levantando las manos]. A veces hay que repartir y hay que ver qué hay para cada uno, cuánto valen las cosas, ¿verdad? Es algo muy lógico ¿eh? [silencio]. Venga a ver, Isaías. Explícanos.
[3] - Anticipación de la complejidad ê Jorge está dejando pasar un poco de tiempo para dar a los alumnos la oportunidad de pensar por ellos mismos cómo resolver el problema. Parece que tiene claro que es un problema difícil para sus alumnos, pero no da ninguna pista para intentar ayudar a que lo resuelvan por ellos mismos, simplemente les da tiempo.
Les dice que la solución está en la pizarra y que solo tienen que mirar bien. Pero en la pizarra lo que tiene escrito es la representación icónica que acaba de hacer y la representación en lenguaje intermedio entre algebraico e icónico que había escrito antes.
Finalmente escoge a Isaías para hablar, un alumno que tiene la mano levantada antes incluso de que hubiese aclarado el enunciado.
Isaías: Bueno que, sabemos que una bebida y una porción son 4€, si ahora nos dice que dos bebidas y una porción son 7, entonces, ehm…
Jorge: Bueno, en algún momento hemos deducido que una porción más una bebida eran 4€. En algún momento, ¿verdad? ¿antes?
[3] - Identificación de errores ê Respondiendo a las ideas de los alumnos êé Isaías está usando una condición que habían obtenido en otro apartado de la tarea.
Concretamente la conclusión de la cuestión número 1 de la tarea 3. Esta condición no está en la pizarra, así que Jorge decide añadirla sin borrar ninguna de las que ya tenía escritas.
Hacía un momento había dicho que era cuestión de mirar bien la pizarra, pero ahora añade una nueva condición que antes no estaba escrita.
Figura 13.9: Jorge escribe un sistema de ecuaciones que resulta incompatible en la pizarra
Con esta nueva condición, el sistema que ha quedado implícito sobre la pizarra pasa a ser un incompatible. Pero ahora Jorge se centra en resolver el sistema formado por la ecuación que ha sugerido Isaías y la condición que nos daba el enunciado.
[3] - Elección de representaciones é Para escribir sobre la pizarra la condición que le ha dado Isaías, vuelve a escoger un lenguaje intermedio entre el icónico y el algebraico. Esta vez esta notación es coherente en cuanto a su significado.
Isaías: Como le hemos sumado una bebida, hemos llegado al 7, o sea, a este le hemos sumado una bebida, entonces hay una porción y dos bebidas y para llegar a 7 le hemos sumado 3€.
Entonces se puede saber que, ehm, una bebida vale 3€. Y entonces lo que queda si hay dos bebidas... entonces las bebidas valdrán 6€ de los 7 que hay y la pizza 1.
Jorge: ¿Estás de acuerdo Mariano?
[3] - Anticipación de la complejidad é Prevé que la explicación de Isaías no será lo bastante clara como para hacer que todo el mundo la entienda, así que le pregunta a un alumno que no lo estaba entendiendo. Así provoca la necesidad de volver a explicar los cálculos.
Mariano: No.
Jorge: No, no has entendido nada.
Mariano: Sí. Pero si antes hemos hecho packs de cuatro... es que no entiendo por qué se le suman tres.
Jorge: Mira. [Hay muchos alumnos hablando a la vez e intentando explicarle el problema a Mariano]. Mira, ¡Mariano! Él está hablando sobre estas dos cosas.
Mariano: Vale.
Jorge: Ahora te pregunto a ti, Mariano. Mirando esta información, ¿puedes sacar lo que vale una bebida?
Mariano: ¡Ah, sí! [el alumno que está al lado de Mariano, Pablo, le va ayudando a entender la solución
Mariano: ¡Ah, sí! [el alumno que está al lado de Mariano, Pablo, le va ayudando a entender la solución