13. A NÁLISIS DE LA IMPLEMENTACIÓN DE LAS PRIMERAS TAREAS
13.2.2 Professor 2: Jorge
Número de sesiones: 1 Fecha: 20/01/2015
Otras cuestiones de contexto: Este grupo de alumnos tiene dos profesores: Jorge y Neus. Neus no pudo asistir a clase durante estas dos primeras sesiones.
INTRODUCCIÓN
El profesor empezó la sesión comprobando si los alumnos habían hecho los deberes del día anterior, que era contestar a las preguntas de la Tarea 2 en casa.
Jorge dibujó la representación icónica de los datos del problema que se planteaba esta hoja de trabajo. Con esto empezaron a compartir las respuestas a las diferentes preguntas de esta actividad.
DESARROLLO
Utilizando la respuesta de un alumno, Jorge aprovechó para volver a aclarar de nuevo que las pizzas y las bebidas podían tener el mismo precio, pero no necesariamente, ya que los datos no daban esta información.
J03-1046 Sobre la tercera cuestión, en la que los alumnos tenían que enunciar diferentes afirmaciones que pudiesen asegurar a partir de la información que tenían, las respuestas de los alumnos fueron:
• Si tenemos la mitad de pizzas y la mitad de bebidas, esto tendría que costar la mitad del precio inicial. El profesor escribió en la pizarra:
2 WX\\Z[ + 3 /Z?]YZ[ =17.60
• Ninguno de los productos puede costar más de cinco euros. 2
• También dedujeron que una pizza no podía costar más de 17.60/4 y cada bebida podía costar como máximo 17.60/6.
El profesor decidió dejar todo el protagonismo a los alumnos y confirmar cuáles eran las repuestas correctas a las diferentes cuestiones que planteaba la tarea 2. No dedicó demasiado tiempo a la discusión, preferiendo dejar tiempo de la sesión para que los alumnos empezaran a trabajar individualmente en la tarea 3.
CIERRE
Cuando acabaron de compartir las respuestas, Jorge dejó a los alumnos trabajar en la siguiente tarea. Los alumnos trabajaron individualmente durante 20 minutos con el profesor dando vueltas por la clase y respondiendo a sus dudas.
13.2.3 Profesora 3: Mónica
Número de sesiones: 1 Fecha: 20/01/2015 INTRODUCCIÓN
La profesora recordó a los alumnos que tenían que haber pensado la tarea número 2 en casa y los alumnos comentaron que era muy similar a lo que habían hecho en clase en la sesión anterior. Entonces Mónica decidió hacer un repaso general de lo que habían trabajado en la
sesión anterior. Después de esto, dejó a los alumnos, distribuidos en pequeños grupos, un tiempo para discutir los problemas que habían hecho. Mientras los alumnos estaban trabajando, la profesora preparó el proyector. Una vez lo tenía preparado, Mónica caminaba por la clase preguntando a los alumnos si habían hecho los deberes y si tenían dudas sobre el trabajo que habían hecho.
DESARROLLO
M02-0633 La profesora empezó a compartir las respuestas de los alumnos a la primera pregunta. Algunos alumnos demostraron que habían entendido bien lo que habían hecho durante la sesión anterior y estaban utilizando las estrategias que habían aprendido para contestar a las nuevas preguntas.
M02-0735 Igual que durante la sesión anterior, empezaron a discutir qué datos más querrían conocer para poder calcular el precio de una pizza y una bebida. La profesora insistía en que con una información más ya podrían saber el precio de cada producto por separado. La mayoría de los alumnos estaban dando el mismo tipo de respuestas que en la sesión anterior (saber el precio de una bebida o de una pizza). Mientras, una alumna tenía la mano levantada todo el rato.
Antes de dar paso a esta alumna, Mónica dijo lo siguiente:
M02-0903
Mónica: Entonces, lo que tiene que quedar claro es que: o por lo que me habéis dicho, ¿eh? que yo no puedo saber así, a priori [señalando la representación icónica de la información que tenían en la pizarra] cuánto vale una pizza o... y una bebida, eh, y necesitaría más información. ¿Qué tipo de información? Pues cuánto vale una pizza o cuánto vale una bebida o que todas son iguales, ¿sí? Con una información más, con alguna información más, podría llegar a saberlo.
Esto es lo que me decís vosotros. ¿Estáis todos de acuerdo?
[3] - Desviación de la agenda é Decisiones sobre la secuenciación é La profesora insiste en el hecho de que se necesita más información de la que se da en el enunciado para saber el precio de uno de los productos. Durante la conversación ha estado provocando a los alumnos para que digan diferentes informaciones que se podrían dar para poder encontrar el precio de una bebida o una pizza y directamente reta a los alumnos a decir alguna cosa esencialmente diferente a lo que ya habían dicho durante la sesión anterior.
Dice que, según los alumnos (ella decidió no confirmalo ni dar una respuesta más completa), si tuviesen "una información más" se podría saber el precio individual de uno de los productos.
Está dirigiendo claramente la tarea hacia la resolución de sistemas de ecuaciones.
[3] - Consciencia del propósito é Al final de la intervención de la profesora, una alumna pregunta que por qué estaban haciendo aquellos problemas si no se podía saber ni el precio de una pizza ni el de una bebida con la información que se daba. La profesora había hecho tanto hincapié en el hecho de que con más información se podría saber el precio que de alguna manera provocó que los alumnos empezaran a pensar que aquél era el objetivo real de aquellas tareas.
M02-1000 Finalmente Mónica preguntó a la alumna que tenía la mano levantada desde hacía un rato qué era lo que pensaba:
Blanca: Creo que... bueno. ¿Si nos dijesen que la pizza vale el doble de la bebida? ¿Lo podríamos saber también?
Mónica: ¡Ah! Mirad qué pregunta me hace Blanca. Si me dijesen que... vuelve a repetir.
[3] - Desviación de la agenda é Respuestas a las ideas de los alumnos é La alumna acaba de dar una condición que permite calcular el precio de una pizza y una bebida. Es decir, que permitía enunciar un problema como el que Mónica estaba planteando en la anterior discusión. Mónica decide entonces dejar de discutir las preguntas de la hoja de trabajo para pasar a discutir con los alumnos este nuevo problema.
Blanca: Sí, que la pizza vale el doble que la bebida. Puede que no sabríamos, ¿que también lo podríamos saber?
Mónica: [dirigiéndose a toda la clase] ¿Estáis de acuerdo? ¿Podríamos saberlo? Bueno, ella lo pregunta.
[Muchos alumnos hablan a la misma vez]
Mónica: De uno en uno... Fran.
Francisco: Lo dividirías entre dos, y...
Mónica: Voy a apuntar lo que ha dicho Blanca para que no se nos... no se nos olvide. Blanca pregunta:
si además de esto que sé [señalando la condición expresada de forma icónica que está proyectando en la pizarra], si supiera, o si me dijeran, que una bebida, ¿cómo has dicho, Blanca?
Blanca: Que una bebida...
Mónica: Una bebida...
Blanca: ... vale la mitad que una porción de pizza.
Mónica: ... vale la mitad... ¿que una qué has dicho? [Mónica está escribiendo en la pizarra lo mismo que ha dicho Blanca, utilizando todas las palabras]
Blanca: Porción de pizza. [los alumnos se ríen]
Mónica: Que una porción de pizza. Si nos dijeran esto, que una bebida vale la mitad de que una porción de pizza, ¿podríamos saber cuánto vale una porción de pizza y una bebida? A ver, primero quiero escuchar a Francisco.
Francisco: Sí... por... eh... lo divides entre... o sea, 17.60 entre las cosas que hay allá... espera, espera, hay 10, sí, sí, hay 10. Y lo que te da, lo divides entre 2...
Mónica: Y lo que te da lo divides entre dos...
Francisco: Pones, y lo que te da eso, serà el precio de las bebidas y el original, lo que te ha dado, el resultado original será el precio de una porción.
Mónica: [dirigiéndose a toda la clase] ¿Estáis de acuerdo? ¿O no estáis de acuerdo? ¿No? Vamos a ir escuchando, vamos a ir escuchando diferentes opiniones y luego si queréis, intentamos resolver, a ver si podríamos o no podríamos. ¿Vale? De momento, escuchamos opiniones.
Carlota.
[3] - Identificación de errores é Parece que Mónica hace ver que Francisco se estaba equivocando en su razonamiento. Decide no afirmar que hay un error, pero cambia la atención hacia otra alumna.
Carlota: Yo creo que podríamos llegar a... tener más información que esta, o sea acercarnos más, pero por ejemplo se puede hacer de varias maneras que nos pueda dar. Para que la bebida valga el doble, pues hay muchas maneras. Por ejemplo, podemos pensar que la bebida vale, no sé 2€ y la pizza vale 4. O que la bebida vale 5 y que...
Mónica: Vale. Pero piensa que además de esta condición, tiene que cumplir esta [marcando las dos condiciones, la que había escrito con todas las palabras y la que tenía proyectada con la representación icónica].
[3] - Identificación de errores é Vuelve a ver que esta alumna se equivoca. Esta vez lo que hace es aclarar el enunciado del nuevo problema. Carlota no se estaba dando cuenta de que tenía que utilizar las dos condiciones.
Carlota: ¡Ah! vale, vale, con ese ejemplo. Entonces sí.
Mónica: O sea, Blanca nos plantea la siguiente duda: sabiendo esto. [señalando la representación icónica de la pizarra], y además, teniendo esta información [marcando la condición que había escrito en la pizarra con una frase], si supiera que una bebida vale la mitad que una porción de pizza, ¿podemos saberlo?
[3] - Elección de representaciones é Conexiones entre representaciones ê Mónica ha escrito en la pizarra literalmente la condición que Blanca le ha dictado. Es decir, usando lenguaje verbal. Si hubiese utilizado de nuevo el lenguaje icónico, es posible que el problema hubiera sido demasiado fácil y seguramente no habrı́an tardado tanto tiempo en resolverlo. Ası́ que Mónica ha escogido una buena representación de la condición para provocar que el problema sea realmente un reto para los alumnos.
Ahora bien, podrı́a haber aprovechado para ahora o más adelante hacer algún comentario para conectar los diferentes lenguajes que se estaban utilizando en ese momento: el lenguaje natural y el icónico.
Carlota: Sí.
Mónica: ¿Tú crees que sí?
Carlota: Sí.
Mónica: ¿Solo un valor para cada una cosa?
Carlota: Sí, sí, no, a ver...
Mónica: ¿No habría varias soluciones? Tu crees que sí. [Carlota estaba intentando hablar pero Mónica hizo todas las preguntas rápidamente, por encima de la voz de la alumna]
Carlota: Bueno, igual habría dos. Pero se acercarían mucho. Bueno, yo creo sí que daría.
Blanca: No, tendría que ser solo una, osea no podrías coger varias opciones. Solo puede ser una, y tendrías que ir probando y llegarías... bueno... llegarías....
Mónica: Bueno, tu dices que sí. Julia, qué dices.
Julia: [Dijo algunas palabras que no se entienden exactamente, pero parece que quiera decir que no puede ser que una bebida cueste el doble que una pizza. Parece que Mónica tampoco entendió lo que quería decir]
Raquel: No, pero, yo creo que sí que se podría...
Mónica: Vale, espera. Escucho a Ana, que ha levantado la mano, y luego Raquel creo que quiere hablar.
Ana: Yo pienso lo mismo que Julia, que necesitas almenos el precio de una porción.
Mónica: Vale. Ana y Julia, decís que necesitamos más información. [escribe esto en la pizarra]
Carlota: ¡Y Carlota!
Laura: ¡Y Laura!
Mónica: [escribiendo los nombres de estos alumnos en la pizarra] Necesitas, necesitamos saber el precio de una...
Raquel: Claro, si no tendrías que ir probando... hasta que encajara perfectamente con... [alguna cosa más que no se entiende]
Mónica: Necesitamos saber el precio de como mínimo uno [algunas alumnas dijeron que estaban de acuerdo con eso, otras dudaban]. Vale. Quiero escuchar a Raquel y luego vamos a hacer, vamos a probar. Raquel, que me decías algo. Tú crees que... ibas a decir algo.
Raquel: Yo creo que… sería difícil de encontrar pero se podría.
Mónica: Tú crees que se podría, ¿tú crees que estas dos condiciones serían suficientes? Para encontrar un precio final, un precio para la pizza y...
[Muchas alumnas empiezan a hablar a la vez. Mónica señala una de ellas: Blanca]
Blanca: Tendrías que ir probando número por número hasta que te encajara, pero lo podrías conseguir.
Mónica: Vale. Vale. Tú crees que sí. ¿Alguien más quiere decir su opinión, Nico? ¿Tú crees que con estas dos condiciones sería suficiente para encontrar los precios? ¿O necesitaríamos una más...?
Nico: Sí, con que sepas ya un precio, ya puedes calcularlo.
Mónica: Pero tú no sabes un precio, sabes que una bebida vale la mitad que una porción de pizza.
Nico: Ah, sí, tam... también.
Mónica: Nico, a ver, voy a apuntar los que decís que sí. Raquel ha dicho que sí también. [Mónica apunta unos cuantos nombres en la pizarra mientras algunos alumnos hablan en voz altra y entre sí]
Con toda esta conversación ha conseguido que la mayoría de los alumnos entiendan el nuevo problema que se ha planteado: la mayoría de los alumnos se han posicionado al respecto de si el nuevo problema se podrá o no se podrá resolver. Ahora, en el momento en que pidió a la clase que pensaran en el problema, los alumnos tenían claro qué era lo que tenían que conseguir.
M02-1608 En este momento la profesora animó a los alumnos a que calculasen el precio. Les pidió que si alguno pensaba que esto era imposible, que argumentasen la razón. Mónica les dijo que les daría 10 minutos para pensar en sus respuestas. Mientras empezaban, una alumna preguntó lo siguiente (no todos los alumnos estaban escuchando):
Raquel: ¿Esto es estadística?
Algunos alumnos: Es álgebra.
Mónica: Es álgebra. Todavía no hemos llegado, pero llegaremos.
Uso de terminología matemática éê Parece que la profesora no se siente cómoda utilizando lenguaje matemático específico en ese momento. En la anterior tarea ya se ha visto cómo evitaba utilizar la palabra
"proporcionalidad". Esta vez confirma que lo que están aprendiendo a utilizar es el "álgebra", pero no hace mucha incidencia en la palabra que utilizan los alumnos y se nota que intenta evitar la conversación.
Raquel: ¡Ah!, pero... ¿haremos ecuaciones y todo eso?
Mónica no contestó a estas preguntas y empezó a pasar por las mesas de los alumnos mirando cómo trabajaban y contestando a las preguntas que le iban haciendo.
M02-2443 Después de que pasase algún tiempo, Mónica quiso captar otra vez la atención de todos los alumnos. Preguntó si alguien había encontrado los precios. Algunos alumnos, durante el tiempo en que habían estado trabajando, habían cambiado su punto de vista.
M02-2619 Ahora la mayoría de los alumnos pensaban que se podían saber los precios. Una alumna proyectó su iPad en la pizarra para explicar a toda la clase lo que había hecho para resolver el problema.
Al principio la mayoría de los alumnos no estaba escuchando. Pero después de la primera explicación, Mónica quiso que todos oyeran a la alumna.
Lo que hacía la alumna para resolver el problema era decir que, en primer lugar, había contado las porciones de pizza, que eran 4. Ahora, como se sabía que cada porción de pizza tenía el mismo precio que dos bebidas, había hecho grupos de dos bebidas contando que eran como una porción de pizza. En total, dijo, era como si tuviera 7 porciones de pizza. Así que finalmente solo tenía que dividir 17.60 entre 7. Para saber el precio de una bebida solo tenía que dividir el resultado entre 2. En la pizarra quedó escrita la explicación de la solución que se puede ver en la Figura 13.3.
Figura 13.3: Resolución de un sistema de ecuaciones de una alumna de 2º de ESO durante una implementación de Mónica
[3] - Elección de ejemplos é Conexiones entre representaciones ê De las diversas resoluciones que se identifica entre las alumnas, quiso mostrar una en la que el lenguaje icónico facilitaba la solución del problema.
De nuevo, no aprovecha para conectar la representación en lenguaje verbal del enunciado propuesto por la alumna con el lenguaje icónico que había utilizado la otra alumna para resolverlo.
Además no pide a la alumna que reescriba el problema de forma que la resolución se pueda leer fácilmente en el futuro. De haberlo hecho, se estaría acercando más al objetivo:
desarrollar el lenguaje algebraico para resolver este tipo de problemas.
M02-3040 Mónica continuó compartiendo el resto de respuestas de la hoja de trabajo con los alumnos.
La mayoría de los alumnos muestran que son capaces de argumentar utilizando condiciones proporcionales a una dada.
CIERRE
Al final de la sesión, Mónica intentó empezar la siguiente tarea, pero el tiempo de la sesión se acaba. Así que les pidió a los alumnos que empezaran a trabajar en la Tarea 3 en casa.