Álgebra simbólica

Para poder ayudar a nuestras alumnas a construir el lenguaje algebraico simbólico es necesario que hayan tenido experiencias en Early Algebra que les hayan brindado la oportunidad de desarrollar el pensamiento relacional que acabamos de describir. En una primera aproximación hacia lo que nosotros llamaremos álgebra escolar podríamos decir que el álgebra está constituida por un conjunto de afirmaciones por las cuales es posible producir significado en términos de números y operaciones aritméticas, incluyendo igualdad y desigualdad (Lins y Giménez 1997, p. 107).

Muchos autores han dado diferentes versiones sobre lo que debería ser el ábegra escolar. A pesar de los diferentes enfoques y la diversidad de definiciones, lo que todas ellas tienen en común es que todas afirman que hay diversas formas de razonamiento algebraico y que todas se tienen que desarrollar si queremos que nuestros alumnos construyan el lenguaje algebraico en un sentido amplio.

Por ejemplo, Usiskin (1988) distingue las siguientes dimensiones: álgebra como generalización de la aritmética, álgebra como el estudio de los procedimientos para resolver algunos tipos de problemas (básicamente se trata de la resolución de ecuaciones), álgebra como el estudio de relaciones entre cantidades (se habla aquí tanto de las relaciones que proporcionan las fórmulas de la geometría como el estudio de funciones) y el álgebra como estudio de estructuras (sintaxis y manipulación de objetos algebraicos abstractos).

El modelo de Kieran (1992), en cambio, caracteriza el álgebra a partir de las actividades que ella considera que el alumnado desarrolla de forma habitual: expresión algebraica (incluyendo la formación de ecuaciones y de expresiones algebraicas), actividades de transformación basadas en reglas (es decir, la sintaxis del lenguaje algebraico) y por último el metanivel (actividades donde el álgebra se usa como herramienta para desarrollar el propio lenguaje algebraico), incluyendo aquí la resolución de problemas, el proceso de modelización, el estudio de estructuras matemáticas abstractas, etc.

También en los NCTM (2000) podemos encontrar una caracterización de lo que se considera álgebra escolar. Allí se describen cuatro temas que sirven para caracterizar el álgebra escolar:

funciones y relaciones, modelización, estructuración y lenguaje de representación.

Finalmente, explicaremos con detalle el modelo que mejor liga con el objetivo de esta investigación: construir el lenguaje algebraico en un ambiente de resolución de problemas. Nos referimos a la definición de álgebra escolar que propone Kaput (2000). El autor distingue cinco formas de razonamiento algebraico:

1. Generalización y formalización de patrones y restricciones 2. Manipulación de formalismos guiada sintácticamente 3. Estudio de estructuras abstractas, cálculo y relaciones 4. Estudio de funciones, relaciones y variaciones

5. Lenguaje de modelización

Además tiene en cuenta que estas cinco formas de razonamiento algebraico, tal y como es de esperar y desear, se interrelacionan y se superponen entre ellas hasta el punto en que en algunas actividades de aprendizaje es difícil su distinción (se ilustra esta idea en la Figura 6.2).

Como este será el modelo

Necesitamos generalizar, por ejemplo, para poder relacionar situaciones que no están ligadas por el mismo contexto. Identificar patrones, seguir procesos, analizar estructuras y encontrar las relaciones entre ellas son ejemplos de esta misma forma de razonamiento.

Figura 6.2: La superposición e interrelación de las cinco formas de pensamiento algebraico (Kaput 2000, p. 5)

Es importante tener en cuenta que las primeras generalizaciones que normalmente hará un alumno delante de una profesora se hará en un lenguaje que no es propio de ninguno de los dos: ni del que enseña ni del que aprende. Es decir, que el alumno todavía está construyendo su propia manera de comunicar y el profesor ya tiene adquirido como propio el lenguaje matemático (algebraico en este caso) necesario para comunicar, junto con todos los formalismos asociados. Por ejemplo, la primera vez que un alumno quiere expresar un número impar cualquiera, hasta que llegue a la conclusión de que puede escribir 2n+1, la comunicación tendrá lugar usando un lenguaje que no es propio del álgebra formal. En estos momentos la profesora tiene que ser capaz de escuchar con cuidado al alumno y ser capaz de generar una serie de diálogos que acerquen al alumno a la construcción del lenguaje algebraico.

Kaput (2000) distingue además dos fuentes de generalización: las que sirven para comunicar y razonar cuestiones propias de las matemáticas, que usualmente comienzan con la aritmética, y las que se basan en situaciones fuera de las matemáticas pero que son susceptibles de ser matematizadas. En consecuencia hay que tener en cuenta que en un aula donde se promueva la comprensión como vehículo de aprendizaje, los estudiantes se sentirán más atraídos por la generalización si esta se hace a través de experiencias con significado que puedan derivar en sus propias formalizaciones.

Cuando Kaput nos habla de la manipulación guiada sintácticamente se refiere al uso de formalismos sin hacer incidencia en su significado, coincidiendo con la idea del metanivel del aprendizaje de Kieran (1992). Como decía Bertrand Rusell, "(formal) algebra allows the user to think less and less about more and more" (Kaput (2000), p. 11). Desafortunadamente el problema es que la enseñanza tradicional del álgebra hace mucho más hincapié en este "less and less".

Aquellos alumnos que aprenden a usar el álgebra a través de su sintaxis creen que entender el álgebra quiere decir recordar qué reglas se tienen que aplicar a cada cadena de símbolos. Pero entender el álgebra está muy lejos de esto: el objetivo tiene que ser ser capaz de conectar el conocimiento de los procedimientos y técnicas (sintaxis) con el conocimiento de los conceptos (semántica). Kaput nos propone que trabajemos la sintaxis usando conceptos lejanos a la aritmética generalizada, que es la que nos encamina hacia la resolución de ecuaciones. Afirma que de esta manera no haremos que nuestros alumnos caigan en la trampa de cometer errores de los que luego será difícil desprenderse.

Nosotros creemos que este tipo de razonamiento algebraico que tiene que ver con la automatización y la mecanización de algunos procesos es necesario. Pero, en cambio, también creemos que no es un tipo de razonamiento que nos interese construir de forma separada al resto. Cualquier proceso que consideremos puramente mecánico creemos que no es necesario construirlo si no tenemos detrás algún contexto (y por contexto también entendemos los contextos puramente matemáticos) que haga necesario su uso. A partir de tener diversos contextos que necesiten de estas mecánicas, la automatización surgirá de forma natural, a diferentes velocidades y profundidades para diferentes alumnos.

De hecho, ligado a la manipulación guiada sintácticamente, y exponiendo lo que para Kaput es el estudio de estructuras abstractas y el cálculo con relaciones (la siguiente forma de razonamiento algebraico que presenta), Kaput (2000) nos propone un contexto de trabajo de lo que él llama sintaxis, donde el alumno tiene un contexto para construir una formalización: los grupos diédricos. El alumno en este caso tiene la geometría como base y por

lo tanto se puede llegar a construir un lenguaje estructurado sin necesidad de la aritmética.

Pero a su vez esto no implica que en este ejemplo nos hayamos desligado de la semántica para trabajar con formalismos algebraicos. Por lo tanto, a través de un contexto podemos dar un significado al lenguaje algebraico que nos permite una formalización con la que trabajar la sintaxis del lenguaje.

Para estudiar funciones y relaciones la notación tradicional usa el álgebra simbólica como herramienta habitual de comunicación. Sin embargo está claro que no solo el álgebra nos ha de servir para hacer razonamientos en este sentido. Gráficas y tablas de valores son recursos habituales para transmitir informaciones referentes a estos conceptos. Por eso este proceso también involucra la generalización: nos podemos preguntar qué es lo que tienen en común todas estas formas de expresar la misma información. Por otro lado, se considera que los gráficos de funciones son también un sistema de símbolos que hay que interpretar.

El último de los aspectos que trata Kaput (2000) sobre el razonamiento algebraico es el álgebra como lenguaje de modelización. De hecho insiste en que, en realidad, modelar situaciones es la primera de las razones por las cuales es necesario estudiar álgebra.

En la modelización nuestro objetivo es estudiar un fenómeno para conseguir matematizarlo. En este sentido, las nuevas tecnologías nos permiten hacer este proceso de manera ágil. Pero se ha de tener en cuenta que si bien los entornos virtuales son cuantitativamente muy ricos, son pobres en cuanto a su manipulación. En cambio, los modelos físicos en que los alumnos pueden experimentar con sus propias herramientas tendrán mucha riqueza manipulativa pero poca precisión numérica y siempre el número de experimentos será limitado. Es por eso que Kaput nos recomienda trabajar con los dos tipos de experimentos de forma muy ligada.