Después del recorrido que hemos hecho a través del iceberg del que ya hablábamos en el apartado 3. , y que sirvió como metáfora para ilustrar la dificultad de la problemática que estamos estudiando, queremos sintetizar en este apartado nuestra fundamentación teórica para acabar de asentar las bases de nuestra investigación y así relacionar los tres campos de estudio que nos ocupan en esta investigación.
Una de las confusiones más comunes en educación matemática es asumir que la mejor, y quizá la única manera, de poseer un conocimiento es conseguir soltura a través de la práctica hasta la perfección. Ciertamente ganar soltura reduce los esfuerzos y simplifica la atención requerida sobre las estructuras y efectivamente si se tiene que escoger una herramienta de trabajo los profesionales eligirán aquella que les resulte más familiar. Pero la experiencia nos dice que practicar hasta la maestría es insuficiente. Muchas técnicas que se aplican hasta la perfección fallan en el momento en que se tienen que aplicar para resolver problemas (ya hemos hablado de ello en el apartado 1. ), mientras que otras técnicas se aprenden sin realmente practicarlas tanto (Mason 1999, p. 156).
Es por esto que hemos elegido la resolución de problemas como enfoque para la enseñanza del álgebra, porque con este enfoque de la enseñanza creemos que se puede conseguir un ambiente de aula que propicie un aprendizaje pausado, flexible y transparente. En este sentido, el papel del profesor en el proceso de enseñanza-aprendizaje es crucial. Por ejemplo, debemos tener en cuenta, de acuerdo con Arcavi (2005, p. 14), que cuando se plantea un determinado hecho problemático en el aula, las profesoras sienten una "necesidad de cierre" íntimamente relacionada con la sensación de falta de eficacia que experimentan cuando en una o dos sesiones no consiguen que los alumnos encuentren la solución del problema. Debido a esta necesidad en ocasiones no se dejan momentos para la reflexión ni espacio de tiempo suficiente para que la necesidad de recurrir al álgebra para resolver un problema surja por sí sola. Por lo tanto nos tenemos que plantear si el profesorado tiene conocimiento sobre secuencias de problemas adecuados para hacer que el pensamiento y el lenguaje algebraico afloren.
La ausencia de este conocimiento por parte de las profesoras dificulta un trabajo centrado en el significado de los símbolos algebraicos y provoca casi inevitablemente una enseñanza centrada en la sintaxis de este lenguaje. Debemos recordar que nuestro objetivo es que los alumnos desarrollen un sentido sobre los símbolos que "va más allá de una cuestión puramente congnoscitiva. Está conectado con aquello que se espera que un alumno produzca, con aquello que se valora, con aquello que está aceptado con las reglas del juego, más allá de la manipulación simbólica" (Arcavi 2005, p.11). Esta visión del uso del álgebra nos recuerda el enfoque competencial que queremos que caracterice nuestro modelo de enseñanza.
Por eso, para iniciar la construcción del lenguaje algebraico, diseñaremos secuencias de problemas que cumplan las dos características sugeridas por Kieran (2004):
• Las tareas que demandan los problemas deben implicar los procesos que están
conectados con el pensamiento algebraico, es decir, generalización, argumentación y profesoras, es necesario que puedan acordar qué es el lenguaje algebraico y qué es lo que los alumnos deberían saber. La multiplicidad de las dimensiones del lenguaje algebraico que sugiere Kaput (2000) nos ofrece un marco adecuado para compartir con las profesoras la complejidad de este lenguaje. Por esta razón nos basaremos en esta definición para elaborar una propia en el apartado 9.
Nuestra visión constructivista del aprendizaje nos lleva a precisar el significado que para nosotros tendrá la palabra enseñar, que serán todas aquellas acciones que el profesor lleve a cabo con el objetivo de que los alumnos aprendan.
Por otro lado, dado que uno de nuestros objetivos es observar el proceso completo de diseño, discusión e implementación de secuencias didácticas en el aula por parte de los profesores y analizar cómo los profesores utilizan su conocimiento durante la implementación, hemos decidido utilizar el marco teórico del conocimiento que nos ofrece el Knowledge Quartet (KQ).
Recordemos que el KQ identifica cuatro categorías de situaciones que nos permiten analizar cómo los profesores utilizan su conocimiento matemático mientras implementan una tarea:
fundamentos, transformación, conexión y contingencia. La Tabla 7.1 resume estas categorías y sus los códigos que contribuyen a cada una de ellas.
Dimensión Código contributorio
Fundamentación (Foundation)
Conocimiento y comprensión sobre matemáticas y su didáctica.
Creencias sobre la naturaleza de las matemáticas y sobre las condiciones en que los alumnos las aprenden mejor.
Conciencia del propósito; Adherencia a los libros de texto;
Concentración en los procedimientos; Identificación de errores; Conocimiento explícito del tema; Base teórica de didáctica; Uso de terminología matemática.
Tranformación (Transformation)
Presentación de ideas a los alumnos en forma de analogías, ilustraciones, ejemplos, explicaciones y demostraciones.
Elección de ejemplos; Elección de representaciones; Uso de materiales para enseñar;
Modelación del profesor (para explicar un procedimento).
Conexión (Connection)
Secuenciación de los materiales de enseñanza y consciencia de las demandas cognitivas relativas a los diferentes temas y tareas.
Capacidad de dar respuestas convincentes, razonadas y bien informadas a acontecimientos imprevistos y no planificados.
Desviación de la agenda; Responder a las ideas de los alumnos (uso de las oportunidades); Visión retrospectiva del profesor durante la enseñanza; Repuestas a la
(in)disponibilidad de herramientas y recursos.
Tabla 7.1: The Knowledge Quartet - Dimensiones y códigos contribuyentes (Rowland y otros 2014, p. 25)
Hay que tener en cuenta que los códigos que contribuyen en el modelo de Rowland aparecen de manera simultánea. Es por eso que en nuestro análisis todas estas categorías jugarán un papel muy importante, ya que queremos ver cómo el conocimiento aflora mientras se implementan las tareas en clase. Aún así creemos que el rol de las conexiones que realiza el
profesor tendrá un papel crucial en el aprendizaje del lenguaje algebraico.
Diremos que se produce una conexión cuando se establece una relación entre dos elementos de forma que el enlace se base en un principio de lógica, coherencia y continuidad (Gamboa y Figueiras 2014, p. 2). Por ejemplo, respecto a las herramientas heurísticas, que son aquellas que tienen capacidad transformadora de los problemas, se abre la vía para analizar las distintas maneras que tienen de realizar tal transformación y cuáles pueden ser los efectos que pueden esperarse de su uso para la solución del problema originalmente planteado. Dicho análisis puede conducirse guiado por preguntas del estilo de las siguientes: ¿cuál es la intención de su uso?, ¿cómo está relacionado el problema original con el problema transformado? O, la solución del problema transformado, ¿qué implica para la solución del problema original?, ¿qué se puede traer de la solución del problema transformado al problema original?, ¿cómo queda transformado el problema original al incorporarle lo que se traiga de la solución del transformado? Las respuestas a todas estas preguntas tendrán sin duda un componente muy importante en cuanto a las conexiones que se realizan en el aula ya que "la construcción de cadenas de significado en matemáticas requiere del establecimiento de transformaciones entre representaciones" (Gamboa y Figueiras 2014, p. 3).
Durante el resto de la memoria veremos cómo hemos modificado algunos de los marcos teóricos que estamos utilizado para fundamentar nuestra investigación, de manera que se adapten completamente a nuestras necesidades. En concreto, como ya se ha anunciado, adaptaremos la definición de álgebra escolar de Kaput (2000) e incluiremos un nuevo código en la categoría de conexiones del KQ.
--- TERCERA PARTE ---
METODOLOGÍA
En este capítulo describimos el diseño metodológico de la investigación, la recogida de datos y la metodología de análisis. En general, hemos elegido un enfoque cualitativo e interpretativo.
En primer lugar, veremos cómo hemos caracterizado lo que entenderemos por álgebra escolar y cómo hemos utilizado esta caracterización para rediseñar las unidades didácticas de los dos primeros cursos de la ESO con el objetivo de asegurarnos que los alumnos tienen más oportunidades de aprender este lenguaje en clase de matemáticas.
A continuación explicaremos cuál ha sido el proceso de recogida de datos, cómo hemos seleccionado los datos que hemos analizado, incidiendo en la idea de que esta selección la hemos hecho con la intención de poder analizar el proceso completo de diseño e implementación de unidades.
Por último explicamos cómo hemos realizado el análisis usando el marco teórico proporcionado por el Knowledge Quartet y cómo hemos incorporado algunas herramientas de análisis inéditas a este marco.