El sentido de los símbolos

El último de los aspectos que trata Kaput (2000) sobre el razonamiento algebraico es el álgebra como lenguaje de modelización. De hecho insiste en que, en realidad, modelar situaciones es la primera de las razones por las cuales es necesario estudiar álgebra.

En la modelización nuestro objetivo es estudiar un fenómeno para conseguir matematizarlo. En este sentido, las nuevas tecnologías nos permiten hacer este proceso de manera ágil. Pero se ha de tener en cuenta que si bien los entornos virtuales son cuantitativamente muy ricos, son pobres en cuanto a su manipulación. En cambio, los modelos físicos en que los alumnos pueden experimentar con sus propias herramientas tendrán mucha riqueza manipulativa pero poca precisión numérica y siempre el número de experimentos será limitado. Es por eso que Kaput nos recomienda trabajar con los dos tipos de experimentos de forma muy ligada.

6.2.3 El sentido de los símbolos

Para completar la definición de álgebra escolar creemos que es importante hablar del sentido de los símbolos, aspecto que nos ayudará a encajar el uso del lenguaje algebraico con la resolución de problemas.

Está ampliamente aceptada la existencia de un sentido sobre los números y la aritmética (NCTM, 2000) que hace que la enseñanza sobre la aritmética no tenga únicamente como foco las cuatro operaciones. Es evidente que es importante saber cuándo se debe realizar una determinada operación, comprender las relaciones de desigualdad, tener un sentido sobre los órdenes de magnitud, ser diestro a la hora de cambiar de algoritmo para un determinado cálculo, ser capaz de descartar un resultado incoherente, etc.

La pregunta que pretendemos responder en este apartado es si hay un sentido paralelo sobre los símbolos algebraicos. Para contestar a esta pregunta nos basaremos en los estudios de Arcavi (1994 y 2005) al respecto. En estos artículos no encontramos una definición de lo que es el sentido de los símbolos, sino una serie de reflexiones sobre capacidades que tendría que desarrollar una persona que posea este sentido. Planteado de esta manera resulta ser un documento muy práctico que nos puede servir como marco de trabajo para enfocar las implementaciones que llevaremos a cabo en nuestra investigación. Además hay que tener en cuenta que dadas las características y los objetivos de nuestra investigación, no solo nos interesa cómo desarrollar este sentido en nuestros alumnos sino también ser capaces de analizar si los profesores poseen estas habilidades y son capaces de transmitirlas a los alumnos.

Este sentido representa, por tanto, una de las relaciones entre la construcción del lenguaje algebraico y el conocimiento del profesor.

Como ya hemos dicho antes, aunque el hecho de poseer un sentido sobre los símbolos es una cuestión de la que en la literatura no hay una definición completa, lo que sí podemos encontrar es una serie de comportamientos delante de los símbolos que hay que tener en cuenta para poder decir que una persona posee este sentido (Arcavi 2005):

1. Amigabilidad con los símbolos: Este comportamiento implica una comprensión de los símbolos que nos permita decidir cuándo y cómo los símbolos pueden y deben ser usados con el objetivo de ejemplificar relaciones, generalizaciones y demostraciones que de otra forma quedarían ocultas.

Pero no solo eso, también nos ha de permitir reconocer en qué momento los símbolos dejan de ser útiles y por lo tanto es mejor recurrir a otra representación de un concepto matemático para resolver un determinado problema.

2. Capacidad para "manipular" y también "leer a través" de expresiones simbólicas, como aspectos complementarios en la resolución de problemas algebraicos: Este comportamiento implica ser capaz de pararse a reflexionar delante de una manipulación ya automatizada de los símbolos para dotarlos de un significado que ayude en la resolución de un determinado problema.

Por ejemplo, delante de la resolución de la ecuación:

2$ + 3 4$ + 6= 2

un alumno que tenga desarrollado este comportamiento se dará cuenta de que el denominador es el doble del numerador y de que, por lo tanto, no puede haber solución. Incluso si la resuelve y a través de manipulaciones algebraicas obtiene el resultado $ = −^,

-, sabrá que este resultado es falso y sabrá argumentar por qué.

3. Consciencia de que uno puede diseñar exitosamente relaciones simbólicas que expresen cierta información (verbal o gráfica) dada o deseada: El ejemplo que se propone de este tipo de comportamiento es la construcción de una expresión algebraica de una función que cumpla unas ciertas características (en este caso que pase por una serie de puntos dados).

4. La capacidad de seleccionar una posible representación simbólica (es decir, escoger la variable a la cual se le debe asignar un determinado símbolo) y, en ciertos casos, reconocer nuestra propia insatisfacción con esta elección, prestarle atención e ingeniárselas para encontrar una mejor: Por ejemplo, en el proceso de resolución de un cierto problema, hacer una pausa para considerar si seria más conveniente representar tres números consecutivos como n, n+1, n+2 o bien como n-1, n, n+1 o cualquier otra posibilidad.

5. Consciencia de la necesidad de revisar los significados de los símbolos durante la aplicación de un procedimiento, durante la resolución de un problema o durante la comprobación de un resultado y comparar estos significados con las intuiciones alrededor de los resultados esperados y con la situación misma del problema: Por ejemplo, en un problema en el que queramos tratar la generalización algebraica o en concreto la búsqueda de un patrón, podríamos proponer la actividad inversa: dar un patrón algebraico y hacer que los alumnos tengan que buscar su significado relacionándolo con el problema.

6. Consciencia de que los símbolos pueden tener diferentes roles en diferentes contextos y desarrollar un sentido intuitivo de estas diferencias: Un ejemplo claro de este comportamiento es la distinción entre variables y parámetros en la ecuación de la recta ! = .$ + /.

Según el mismo Arcavi (2005, p. 7) la caracterización de la idea del sentido de los símbolos no está completamente desarrollada. Él propone como posibilidad aumentar la colección de ejemplos para las diferentes categorías, proponer una lista más extensa de categorías y convertirla en un marco de trabajo para la investigación y para el diseño de unidades didácticas.