Profesor 2: Jorge

Número de sesiones: 2

Fechas: 14/01/2015 & 16/01/2015

Otras cuestiones de contexto: Este grupo de alumnos tiene dos profesores: Jorge y Neus. Neus no pudo asistir a clase durante estas dos primeras sesiones.

INTRODUCCIÓN - Sesión 1

El profesor deja a los alumnos sentarse en pequeños grupos, les hace llegar el documento con los datos y las preguntas y pide que trabajen en ellas indivualmente durante 15 minutos.

DESARROLLO - Sesión 1

En realidad, los alumnos trabajaron solos durante 30 minutos mientras el profesor daba vueltas alrededor de la clase contestando dudas de los alumnos.

J01-2835 Finalmente, el profesor pidió la atención de toda la clase para intentar clarificar la última de las preguntas de esta tarea. El profesor dibujó una tabla en la pizarra para ayudar a los alumnos a organizar la información. Después dejó a los alumnos trabajando solos de nuevo.

J01- 3632 En este momento decidió empezar a hablar con toda la clase:

Jorge: Sabemos que todo eso vale 19.90, ¿sí? Pero eh… dijéramos que los precios de las cosas pueden variar o no… pueden ser iguales, ¿no? Yo lo que estoy pidiendo es, si por ejemplo vosotros suponéis que una amanida vale 3€, vamos a suponer, ¿cuánto valdría la pizza en ese tiquet que hemos cogido que pone 19.90?

Carol: 4.90€ [el profesor ignora este comentario]

Jorge: ¿Qué operación tenéis que hacer para saber cuánto vale el otro producto? ¿No? Si uno vale uno, una cosa, es una suposición, estamos haciendo una hipótesis, ¿eh? Pues quiero que me

hagáis cinco hipótesis de precios posibles. De esos productos. Con lo cual entiendo que esto que está pasando en la pregunta final está respondiendo a la primera pregunta, ¿no?

Carol: Pero si en la amanida pones 5€, ¿vale? y entonces para saber lo que vale la pizza, 19.90

Jorge: A ver, vamos a empezar a corregir.

Carol: 19.90.

Jorge: ¿Sí?

Carol: Sí.

Jorge: ¿Has comprobado los precios? Vale. Pues invéntate otro.

[2] - Identificación de errores é Parece que Jorge ve que estos cálculos que estaba haciendo la alumna no tienen sentido y por eso le pregunta si lo ha comprobado. Como la alumna le dice que sí, le da la oportunidad de que se lo repiense pidiendo que busque algún otro ejemplo para la tabla de valores. Le da un tiempo y vuelve con ella a para ver si ha rectificado.

J01-3808 Los alumnos volvieron a trabajar cada uno en sus cálculos, intentando completar una tabla con cinco posibles valores. Jorge dejó que trabajasen hablando entre ellos.

J01-4023 Mientras tanto, volvió a hablar con la alumna que estaba intentando intervenir antes para completar valores en la tabla:

Carol: En la tabla, el precio total es 19.90€, bueno el precio total. Entonces nos hemos inventado el precio de la amanida, 5€, para saber el precio de la pizza, he dividido 19.90 entre 5€, el precio de la pizza, que me da 3.98€, que si lo multiplico por 5, que es las pizzas, me da 19.90.

Bea: Es lo que he hecho yo.

Jorge: ¿Te ha quedado claro Paloma?

Paloma: Sí.

Jorge: O sea, dividir 19.90 entre 5€, que es lo que vale cada amanida, ¿qué te va a dar?

Carol: 3.98. Entonces si lo multiplicas…

Jorge: ¿Y qué es eso?

[2] - Reconocimiento de la pertinencia conceptual é Insiste en que le digan qué es lo que quiere decir ese número que están calculando. La

alumna presenta dificultades a la hora de separar el proceso del concepto.

Bea: Lo que cuesta la pizza. Ah, no, es la diferencia entre los dos. No. ¿Qué es?

Carol: Es, si lo multiplicas por 5 te da…

Jorge: Eso como mucho te va a dar el número de amanidas que puedes comprar. ¿No? Si yo tengo 19.90€ y yo lo divido entre 5, que es el precio de una, ese resultado será el número de amanidas que yo pueda comprar.

[2] - Identificación de errores é No solo se da cuenta de que el procedimiento que están utilizando las alumnas es incorrecto, sin que además hace una posible interpretación sobre qué quiere decir ese número que están calculando.

Bea: ¿No hay que multiplicarlo por…?

Jorge: No son euros eso.

Bea: No hay que dividirlo, hay que restarlo.

Jorge: Hay que restar, en todo caso… pero restar 10,

Carol: Restar…

Jorge: Restar ¿el qué?

Carol: Menos 5.

Jorge: ¿Menos 5? ¿Cuántas amanidas tienes? ¿Una?

Bea: , sí.

Jorge: Tienes dos, hay dos amanidas ahí. En el dibujo, ¿en el dibujo no hay dos amanidas?

Bea: Hay tres.

Jorge: Amanidas…

Bea: Ah, amanidas hay dos.

Jorge: Entonces, si cada una vale 5€…

Bea: Multiplica por dos.

Bea: El precio de las amenidas… de la pizza.

Jorge: ¿De la pizza? Las pizzas. De todas, ¿no? Bea, de las tres. ¿Y ahora qué tendría que hacer para encontrar el precio de una?

Carol: lo restamos 19.90 rest… menos 10…

Jorge: ¿Por qué?

[2] - Concentración en los procedimientos é El professor quiere dejar claro cuál es el procedimiento para hacer el cálculo del precio de

uno de los productos, suponiendo que el precio del otro es conocido. Pero cuando una alumna le intenta decir el procedimiento para hacer este cálculo, no se lo deja explicar sin que haga el razonamiento de cada una de las operaciones que está haciendo.

Carol: Porque tenemos dos amanidas que valen cinco euros.

Jorge: Muy bien.

Carol: Y entonces lo dividimos entre tres que es lo de las pizzas.

Jorge: Y eso me da lo que valdrá cada pizza, ¿no? ¿Veis que ahora sí tiene lógica?

CIERRE - Sesión 1

J01-4657 La sesión acaba abruptamente con el sonido del timbre y el profesor pide que acaben la tabla de valores en casa.

[2] - Consciencia del propósito ê Jorge no insiste con los alumnos en intentar saber si tenían la capacidad de aplicar ese mismo procedimiento con cualquier otro precio. La clase acaba sin saber si todos los alumnos son capaces de calcular el precio de uno de los productos en función del otro. Así que Jorge acabó la clase sin saber si todos los alumnos serían capaces de hacer la tarea que les estaba pidiendo.

INTRODUCCIÓN - Sesión 2

La sesión empezó con el profesor recogiendo unos trabajos que no tienen relación con esta investigación (Fem Matemàtiques).

Después de algun tiempo, el profesor empezó a poner en común con los alumnos las respuestas de la Tarea 1.

DESARROLLO - Sesión 2

Empezaron discutiendo entre todos las dos primeras cuestiones. En esta discusión aclaran que la pizza y la ensalada no tienen por qué costar lo mismo.

Adherencia a los libros de texto ê En lugar de continuar desde el punto donde habı́an acabado la sesión anterior, Jorge decidió comenzar a comentar los problemas desde el principio. Parece que quiere ser exhaustivo dando las respuestas correctas a todas las preguntas. Podrı́a haber aprovechado para aclarar la cuestión que quedó abierta en la anterior sesión y profundizar en su resolución con el grupo-clase.

J02-0720 Un alumno hizo la siguiente intervención cuando estaban respondiendo a la primera cuestión:

Pedro: Bueno, jo el que vaig fer era fer-ho amb "x" perquè com no sabem quant costen tres pizzes, llavors ho tenim que fer amb "x".

Jorge: "x" [corrigiendo el català]

Pedro: Bueno, amb "x". I els dos amanides ho vaig fer amb la "y".

Jorge: Amb la "y".

Pedro: I vaig fer el mateix procés però amb "x".

Jorge: Vale. Ell està veient que, que com diu que no sap el que val això, li diu "x" i "y", no?

[señalando los dibujos de las pizzas y las ensaladas]

Pedro: Sí.

Jorge: Però bueno, això ja anirem veient quina, quina aplicació pot tindre, sí? Vale? Però ara responent a aquesta pregunta... està bé el que dius, eh? El que diu aquí, en principi sembla ser que no tenim informació a no ser que ens diguin que tot val el mateix, no?

[4] - Respuestas a las ideas de los alumnos El alumno le ha dado la oportunidad de hablar sobre el uso de las letras en la resolución de estos problemas, pero el profesor decide descartar este comentario, dándole valor y diciéndole que más adelante lo trabajarán. De hecho, efectivamente, más adelante Jorge recupera el comentario del alumno.

J02-1140 La discussión de la tercera cuestión llevó a la siguiente conversación:

Artur: També es podria calcular el triple de lo que has fet.

Jorge: Molt bé, o sigui, tu podries dir que el triple d'això, podries saber el preu, no? Val.

Isaías: Podria ser totes les vegades que vulguis. El doble, el triple...

Jorge: Molt bé. A veure, Nico, tú què has posat?

Nico: Sí, lo mateix, que, ehm, ho pots saber amb aquestes dades si et diuen, eh, si et demanen el doble d'aquests productes.

Jorge: Vale. Álvaro. Tu què has posat? Què podries dir més a partir d'aquí.

Alvaro: Doncs, a part, que... o sigui, això, que eh, cost de totes les pizzes i totes les amanides que vulguis amb això, amb aquestes dades podries saber el que costa... i...

Jorge: Si fossin múltiples, no? Vols dir?

Alvaro: Sí.

Jorge: Vale. Però això ja ho han dit, eh? Paloma, tu has posat alguna cosa diferent?

Paloma: No.

Jorge: Pablo.

Pablo: Que amb el primer exemple que hi ha dos amanides i tres pizzes...

Jorge: Sí?

Pablo: Puc fer la meitat, una amanida i una pizza i mitja i així tindriem una mica més exacte lo que valdria el preu. També seria, com... no sé, si val 10€, 5 de l'amanida, pot ser, no?

Jorge: Podries fer una deducció, no? Una amanida i una pizza i mitja valdria la meitat, no? Valdria la meitat de tota la quantitat.

[1] - Uso de terminología matemática ê Durante la discusión no aparece la palabra proporcionalidad en ningún momento.

Además, se utiliza la palabra "múltiples" que en este contexto no tiene sentido.

La sesión continuó con la misma dinámica, contestando a las diferentes preguntas entre todos los alumnos.

[1] - Uso de terminología matemática ê Mientras daban las respuestas, los alumnos y el profesor utilizan diversas veces el hecho de que se puede calcular el precio de una cantidad proporcional de productos, pero en ningún momento se utiliza la palabra "proporcional".

J02-2041 En el momento en que llegaron a la cuestión número 7 el profesor decide que un alumno salga a la pizarra. Este alumno dijo que si una ensalada cuesta 3.5€, se puede multiplicar este precio por 2, que es la cantidad de ensaladas que hay en la representación icónica y así se obtendrían

los 7€ que son el precio total de las ensaladas. Así pues, restando esta cantidad de 19.90€, que da 12.9€, y dividiendo entre tres, se tiene el precio de una pizza: 4.3€. En la pizarra, el alumno escribió lo siguiente:

3.5x2=7, 19.9-7=12.9, 12.9/3=4.3

El alumno hizo lo mismo otra vez con otro precio diferente de la ensalada. Lo escribió en la pizarra y organizó los datos en una especie de tabla de valores:

Pizzas Ensaladas Operaciones

3.5 4.3 3.5x2=7, 19.9-7=12.9, 12.9/3=4.3

5.30 2 2x2=4, 19.90-4=15.90, 15.90/3=5.30

El profesor pidió a los alumnos que tuviesen en sus apuntes una estructura como la que había en la pizarra, incluyendo las operaciones. También puntualizó que había muchas opciones diferentes, infinitas, para poner en la tabla.

[2] - Elección de representaciones ê Este formato no es el más habitual para representar una tabla de valores de una función:

normalmente hay solamente dos columnas, una para cada valor. Es decir, que la columna con las operaciones no harı́a falta y puede hacer que los alunmnos tengan dificultades para relacionar esta representación de la información con la tabla de valores de una función.

Por otro lado, las etiquetas de los tı́tulos no son las más adecuadas: se tendrı́a que especificar que los valores de la tabla no son "pizzas" y "ensaladas" sinó que representan los posibles precios de estos productos. Por ejemplo, se podrı́a haber solucionado utilizando letras para etiquetar las columnas de las tablas, diciendo que las letras representan el precio de los productos.

J02-2513 Una vez el alumno había escrito la tabla, el profesor quiso focalizar sobre la última de las preguntas de esta tarea: "¿Podrías generalizar?"

Jorge: I ara, mireu què posa. Podries generalitzar? Podríem treure una regla general que es complís sempre que relacioni el preu total amb les amanides i les pizzes?

[Se hace el silencio, parece que no entendían la pregunta. Se escucha algún "sí" aislado]

Jorge: És a dir, ehm, com podries expressar en la primera línia que has fet, no? 19.90 què és? A què és igual?

Isaías: El total, o sigui les tres pizzes i les dos amanides juntes.

Jorge: Podries escriure això en una operació combinada? Allà a la dreta.

Algun alumne: Com operació combinada?

Jorge: Una operació combinada, és a dir, 19.90 què val, què és, igual,

Isaías: 19.90...

Jorge: A què és igual?

Isaías: 19.90 igual a 3... [el alumno va escribiendo cosas en la pizarra mientras habla]

Jorge: No. Tu tens que una amanida val 3.5, no?

Isaías: Sí.

Jorge: I una pizza 4.30.

Isaías: Sí. A vale.

J02-2610 Finalmente el profesor consiguió que el alumno escribiese en la pizarra lo que él quería:

19.90 = 3.5x2 + 4.3x3,

J02-2627 Una vez escribió esta operación en la pizarra, el profesor intentó explicar por qué ha hecho a Isaías escribir las operaciones de esta manera:

Jorge: Muy bien. Això és una operació combinada, mirad, veieu? que expressa el preu de cada amanida i cada pizza i dóna el total de tot, veritat?

y pidió lo mismo para el otro cálculo que había escrito Isaías en la tabla. Esta vez el alumno lo hace sin dificultades y sin ninguna intervención del profesor:

19.9 = 2x2 + 5.3x3.

J02-2706 En ese momento, el profesor volvió a llamar la atención de toda la clase, diciendo que estuviesen atentos porque lo que diría ahora era muy importante.

Jorge: Val. I si jo ara et pregunto, Isaías, estem atents tots? Com podries posar-me una formula

Isaías: Vale, pues seria, el número de... seria el número de l'amanida, com ho ficaries a la pissarra?

Jorge: Eh...

Isaías: Però el preu de l'amanida...

Jorge: Com li dius al preu de l'amanida?

Jorge: Venga, estamos todos ahí. Vamos a mirar aquellas dos fórmulas y vamos a decir, vamos a ver qué cosas se parecen y que cosas iguales, entre la de arriba y la de abajo. Y qué cosas diferentes.

Isaías: No no. Pero es, lo que vale una amanida y lo multiplicamos por cuantas amanidas hay...

Jorge: Vale. Pues...

Isaías: Y luego lo dividimos por...

Jorge: Vale. Pues si no sabes lo que vale la amanida, com li podriem dir a l'amanida?

Isaías: Um...

Jorge: Perquè fos una incògnita, una cosa que no sabem... Pedro ho ha dit abans...

Alumne 1: "x".

Jorge: Una "x" por ejemplo.

Alumne 2: O una "n".

Jorge: Una "n", sí. El que vulguem.

Isaías: "n"... "n" per...

Jorge: A veure Alejandra, li pots donar un cop de mà?

Alejandra: Sí. 19.9 és igual a "n" per 2, bueno, pel número d'amanides que hi hagi... eh... més "n".

Jorge: "n"?

Alejandra: Per número que hi hagi... no però és que, totes tenen...

[Aquí pararon a discutir y no se entiende quién dice cada cosa. Estaban discutiendo sobre si lo tenían que hacer suponiendo que saben el número de pizzas y ensaladas que tienen, o si eso también tendrían que ser variables]

Jorge: No. "n" per 3.

Alumne: És a dir, "n" vol dir 7. I si fas 6, l'operació és menys 1... "n-1", saps?

Jorge: Val, un moment. A les pizzes quina lletra li posem? Li posem la mateixa?

Alejandra: "x". No.

Jorge: Posem una altra, no? Val. Posem una altra lletra, no sé.

Alejandra: Una "x".

Jorge: Una "m"... què has posat, una "j"?

Isaías: "j" de Isaías.

Jorge: Val. Per...

Isaías: Per 3.

Jorge: Per 3.

J02-2924 Así fue como Jorge consiguió que Isaías escribiese en la pizarra la siguiente expresión:

19.9 = nx2 + jx3 donde "n" indicaba el precio de la ensalada i "j" el precio.

Jorge: Veieu que això és una regla general que en funció de qualsevol lletra "n" que jo posi allí, allà, que serà "n" del nombre d'amanides...

Isaías: "n" és com a "x".

Alumne: No, el preu.

Jorge: Perdò, el preu, el preu de les amanides...

[2] - Consciencia del propósito ê El alumno habı́a escrito en la pizarra esta cadena de operaciones para hacer los cálculos:

3.5x2 = 7, 19.9-7 = 12.9, 12.9/3 = 4.3

En el momento en que Jorge pidió a los alumnos que escribiesen esos cálculos en forma de operación combinada, los alumnos no entendieron qué era lo que les estaba pidiendo.

Ası́ que él es quien da la siguiente pista para cumplir sus instrucciones, y pregunta que qué es igual 19.90. De esta manera, provoca que el alumno acabe escribiendo la siguiente expresión:

19.90 = nx2+jx3

Diciendo que esto es una generalización. Aquı́ ha perdido la oportunidad de hacer que los alumnos escriban la fórmula que les permite calcular uno de los precios en función del otro, además de ligarla con la tabla de valores que estaban construyendo.

CIERRE - Sesión 2

El profesor acabó la sesión volviendo a recordar lo que un alumno había dicho al inicio, que él había utilizado las letras "x" e "y", y que él prefería trabajar con la expresión:

19.90=2x+2y

Entonces el profesor remarcó que cuando dos cantidades son desconocidas, es usual utilizar las letras "x" e "y" para hacer referencia a estas cantidades, aunque la letra daba igual y que podían usar la que mejor les fuese a ellos.

Finalmente pidió que escribiesen en sus apuntes todo lo que había en la pizarra y que cuando acabasen, empezasen a trabajar en la siguiente tarea, que la comentarían en la siguiente sesión.

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