R EPRESENTAR ESTRUCTURAS ABSTRACTAS Y HACER CÁLCULOS CON ELLAS

"El significado que tienen los objetos matemáticos se encuentra determinado más por los contextos en los que se usan que no por las reglas formales con los que se usan" (Schoenfeld y Arcavi, 1988, p. 420). Si lo que queremos es conseguir que el álgebra tenga un significado subyacente para nuestros alumnos, tenemos que conseguir que tengan muchas experiencias usándola como un lenguaje que sirva para representar objetos matemáticos. Es difícil que los alumnos se apropien de estos objetos abstractos sin haber experimentado con una diversidad de representaciones de los mismos. En términos de la teoría piagetiana, solo en la etapa de las operaciones formales se puede esperar que para el alumno desaparezca la dependencia de los referentes concretos (Socas y Palarea 1997, p.11).

9.3.1 Cambios de representación

Nuestro primer ejemplo de cambio de representación ya lo hemos visto en la tarea sugerida por la Figura 9.1, es decir, el álgebra constituye un lenguaje que, además de servir para formalizar generalizaciones, tiene que ayudar a nuestros alumnos a comprender cómo relacionar patrones geométricos con expresiones simbólicas. Otro ejemplo de tarea podría ser

proponer a nuestras alumnas que utilicen la Figura 9.4 para argumentar la siguiente igualdad algebraica:

1 + 3 + ⋯ + (23 − 1) = 3^-.

Por lo tanto necesitamos que nuestros alumnos aprendan a cambiar la representación de objetos matemáticos (en este caso una figura) y los símbolos con cierta fluidez.

Figura 9.4: Demostración visual de que 1 + 3 + 5 + 7 = 4²

Pero está claro que necesitamos también que los alumnos aprendan a hacer cálculos con estos símbolos, por ejemplo, para comprobar la equivalencia entre diferentes expresiones. El siguiente problema (Sessa, 2005 p.75-86) es un buen ejemplo de cómo a través de la resolución de un problema se puede conseguir crear la necesidad de construir esta dimensión del lenguaje algebraico.

¿Cuántos cuadraditos tiene la Figura 9.5 en su zona perimetral?

¿Cuántos cuadraditos tendría en su zona perimetral la figura análoga que tiene 37 cuadraditos de lado? Escribe en forma de operación combinada los cálculos que has necesitado y argumenta la respuesta.

¿Podrías proponer una fórmula que sirva para calcular el número de cuadraditos de la zona perimetral de cualquier figura como esta?

Figura 9.5: Contar cuadraditos

Este problema se podría desarrollar en el aula en diferentes etapas. La primera y la segunda etapa, que corresponden con las primeras preguntas del problema, son dos casos particulares que sirven para asegurar que los alumnos entienden el problema y que son capaces de realizar un cálculo concreto y de particularizar el problema en un caso mayor. Es muy importante pedir la estrategia que han usado para hacer el cálculo. Así es como fácilmente podremos pedir que generalicen y que nos digan cómo harían el cálculo para un cuadrado de cualquier tamaño. Es muy probable que al respecto del lenguaje algebraico, las argumentaciones las hagan usando el álgebra retórica como medio. Es en estos momentos cuando tenemos que compartir los diferentes métodos de cálculo y así podremos escribir las diferentes expresiones algebraicas

que hemos ido obteniendo. En la Figura 9.6 tenemos un ejemplo con todas las generalizaciones diferentes que se obtuvieron durante la resolución de este problema con una clase de 1º de ESO.

Figura 9.6: Diferentes generalizaciones del problema obtenidas por una clase de 1º de ESO

Una vez hemos recogido todas las generalizaciones, será el momento en que saldremos de la dimensión de generalización y podremos entrar en el cálculo usando estructuras abstractas. Podemos mantener vivo el significado de las letras durante mucho rato y además podremos ir introduciendo a los alumnos en la manipulación de las letras y las operaciones con ellas. Por ejemplo, este es un problema para empezar a poner en común diferentes formas de expresar un producto en álgebra: 2· n, 2xn o 2n.

Este problema tiene todavía una contribución más al desarrollo del lenguaje algebraico: la respuesta al problema es una fórmula, una expresión algebraica no cerrada, y no una cantidad concreta. También podremos aprovechar este problema para trabajar el concepto de variable y evitar así acabar trabajando las letras sin tener en cuenta los múltiples significados que estas tienen (Schoenfeld y Arcavi, 1988). Esto nos permitirá conectar el problema fácilmente con la siguiente categoría del lenguaje algebraico: el estudio de

relaciones y funciones. Figura 9.7: Resolución de una ecuación de primer grado usando la técnica del Cover -up.

9.3.2 Resolución de ecuaciones

Resolver problemas mediante ecuaciones no es solo la forma histórica en la que se desarrolló el lenguaje algebraico, sino también una actividad fundamental en todos los currículums de matemáticas del mundo. Por ejemplo, traducir enunciados verbales en ecuaciones consiste en la transición de la aritmética hacia el álgebra en términos de simbolismos bien razonados.

Hemos de tener en cuenta que en la resolución de ecuaciones los símbolos toman unos significados muy concretos. Si no tenemos esto en consideración podemos inducir a nuestros alumnos a obstáculos de aprendizaje (Socas, 1997). Para no caer en estas trampas, creemos que es mejor presentar la resolución de ecuaciones a través de un abanico de modelos que a la vez nos sirvan para mantener esta visión de las múltiples representaciones de los objetos matemáticos que queremos resaltar en este capítulo.

Creemos que un buen modelo para empezar a construir técnicas de resolución de ecuaciones con nuestros alumnos es la conocida como Cover-up. En la Figura 9.7 tenemos un ejemplo resuelto usando esta técnica de resolución de ecuaciones. Observemos que para poder usar esta técnica de resolución, el alumno tiene que tener un buen control sobre la prioridad de las operaciones y sobre el uso de operaciones inversas (Early Algebra). Además, tiene que haber asumido el significado de los símbolos que aparecen en una ecuación y cuál es el papel que están jugando en cada caso. Es decir, el alumno tendrá que haber asumido las habilidades propias del Early Algebra a partir, por ejemplo, de sus experiencias aritméticas previas.

Se tiene que tener en cuenta que esta estrategia de resolución de ecuaciones solo funcionará cuando la incógnita aparezca una vez en la ecuación. En cambio, nos servirá para introducir no solo la resolución de ecuaciones de primer grado, sino también para otros tipos de ecuaciones más complejas, como por ejemplo ($ + 3)^-= 27 o bien $ + 25 = 12 sin tener que hablar de métodos específicos para resolver ecuaciones de segundo grado, por ejemplo.

Por otro lado, y creemos que aquí es donde reside la máxima potencia del método, esta estrategia no es solo un camino para resolver ecuaciones, sino que también sugiere una forma de registrar el proceso, de argumentar la solución. Como ya hemos dicho diversas veces en este trabajo, focalizar sobre las argumentaciones durante el proceso de aprendizaje tiene que servir para crear la necesidad del uso del lenguaje algebraico, para formalizarlas y también para conseguir hacer que estas sean más cortas y rápidas de escribir.

El conocido modelo de la balanza también es muy útil para dar herramientas de resolución de ecuaciones sin perder de vista el significado de los símbolos. Además, de nuevo nos proporciona una idea sobre cómo argumentar los sucesivos pasos que se siguen para resolver

Figura 9.8: Applet de la balanza para resolver ecuciones desarrollado por la Universidad de Utah

una ecuación, esencialmente diferente a la anterior. De nuevo, usando este método de resolución estaremos focalizando la atención sobre las operaciones inversas. Mostramos una imagen del applet desarrollado por la Universidad de Utah (Figura 9.8) que tiene también una solución muy original para coeficientes negativos de las ecuaciones, usando globos para representar los números negativos. relación entre dos o más variables. En particular, el estudio de funciones tendría a su vez que ayudar a los alumnos a desarrollar este lenguaje.

La geometría puede proporcionarnos contextos ricos para que nuestros alumnos construyan el lenguaje simbólico necesario para entender relaciones entre dos o más variables, por ejemplo, mientras estudiamos las fórmulas de las áreas de las figuras planas. El siguiente problema es un ejemplo de ello:

Seguramente ya sabes que el área del trapecio es: A = (B + b) . h / 2. Deduce esta fórmula suponiendo que solo sabes las fórmulas del área del rectángulo, el triángulo y el paralelogramo. Hazlo almenos de tres maneras diferentes.

La Figura 9.9: Área del trapecio es un ejemplo de resolución de una alumna de 1º de ESO del problema que hemos planteado. Podemos observar cómo esta alumna es capaz de manipular los símbolos para obtener diferentes fórmulas equivalentes del área del trapecio para luego comprobar que efectivamente todas llevan a la misma expresión si se manipula adecuadamente.

El estudio de fenómenos que implican cambios son los que generan el estudio de las funciones. Este estudio se puede expresar usando diferentes representaciones. Una función se puede representar mediante una descripción verbal, una gráfica, una tabla de valores o una expresión algebraica. Por lo tanto, ya queda claro que la expresión algebraica de una función no es la única forma en la que nos podemos referir a ella. Esta variedad de representaciones forma parte de la

Figura 9.9: Área del trapecio