Syst` emes multi-objectifs

Syst`eme TRANSYT

Un syst`eme tr`es connu et poss´edant une vision globale, est le syst`eme TRANSYT (Robertson, 1969). La m´ethode utilise des biblioth`eques de plans de feux disponibles pour chaque carrefour du r´eseau. De plus, plusieurs crit`eres sont implicitement consi- d´er´es, agr´eg´es par somme pond´er´ee. Le but est de trouver une solution optimale selon ce type d’agr´egation, ´etablie a priori (c’est-`a-dire qu’on ne revient jamais sur la valeur des coefficients de la somme pond´er´ee), qu’on appellera super-crit`ere.

Pour construire ces plans de feux le syst`eme consid`ere l’heuristique it´erative sui- vante : `a la premi`ere ´etape, toutes les caract´eristiques des plans de feux de tous les carrefours sont fix´ees (phasage, cycle, dur´ees des phases) sauf pour un carrefour, dont il modifie ´eventuellement le d´ecalage, qui consiste `a d´ecaler toutes les dates de com- mutations futures de la mˆeme dur´ee. Le d´ecalage s’effectue selon les valeurs que peut prendre le super-crit`ere en fonction des arriv´ees correspondantes sur ses tron¸cons. Puis il passe `a un autre carrefour, et ainsi de suite jusqu’`a la visite de tous les carrefours du r´eseau. Ensuite, la mˆeme proc´edure est appliqu´ee, mais en modifiant cette fois, la

“dur´ee des verts”, autrement dit la dur´ee de chaque phase du plan de feux, pour chaque carrefour successivement. Ces deux visites du r´eseau correspondent `a une it´eration. A chaque it´eration, les plans de feux calcul´es sont m´emoris´es pour les it´erations suivantes. Le crit`ere `a optimiser est une combinaison lin´eaire d’un ensemble de caract´eristiques du r´eseau, `a savoir les retards “totaux” (sur l’ensemble des tron¸cons du r´eseau) et le nombre “total” d’arrˆets.

Il est int´eressant de constater qu’un poids est attribu´e `a chaque retard sur chaque tron¸con ainsi qu’`a chaque nombre d’arrˆets sur chaque tron¸con. Il est indiqu´e que chaque poids repr´esente l’influence du tron¸con correspondant sur le retard ou sur le nombre d’arrˆet. Leur valeur ne d´epend pas d’une politique de r´egulation mais de l”’importance intrins`eque” du tron¸con, par rapport soit au retard, soit au nombre d’arrˆets. On peut donc consid´erer que ces poids font partie int´egrante de la m´ethode heuristique utilis´ee dans ce syst`eme pour r´esoudre le probl`eme de r´egulation et ne correspondent pas `a une politique de r´egulation. Ainsi, il n’existe que deux crit`eres dont l’importance peut r´eellement refl´eter une politique de r´egulation : le retard total et le nombre d’arrˆets, ce qui permet tout de mˆeme au syst`eme d’appartenir, selon nous, aux syst`emes multi- objectifs.

Am´elioration du syst`eme TRANSYT utilisant une m´ethode d’optimisation

heuristique

Wong (1996) propose d’am´eliorer un peu le syst`eme TRANSYT en optimisant simul- tan´ement toutes les variables utilis´ees dans TRANSYT (cycle, dur´ee des verts, d´eca- lages) via une formulation par programmation math´ematique. Les phasages d’un petit nombre de carrefours peuvent ˆetre modifi´es pour comparer les r´esultats obtenus, mais le changement de phasage n’est pas inclus dans la m´ethode d’optimisation. Ces carrefours sont les carrefours consid´er´es comme “critiques” pour le r´eseau.

Les crit`eres sont les mˆemes que pour le syst`eme TRANSYT. La fonction objectif est une combinaison lin´eaire des crit`eres.

La m´ethode utilis´ee pour r´esoudre ce programme non-lin´eaire et non-convexe, est une heuristique mˆelant programme lin´eaire mixte et m´ethode de descente.

R´esumons la m´ethode d’optimisation : dans la formulation du probl`eme, les variables sont `a la fois des variables enti`eres et des variables continues, la fonction objectif n’est pas lin´eaire, et les contraintes sont toutes lin´eaires. La fonction objectif est remplac´ee

par le produit scalaire de son gradient au point courant et de la direction de descente cherch´ee, et les contraintes sont modifi´ees en cons´equence. Il reste `a r´esoudre le pro- bl`eme lin´eaire correspondant, qui constitue tout de mˆeme un probl`eme difficile car les variables restent enti`eres. Le pas de la descente est ensuite optimis´e ´egalement via un programme lin´eaire mixte. La m´ethode est r´eit´er´ee jusqu’`a atteindre un optimum local. Ce genre d’approche it´erative, qui consiste en l’approximation d’une fonction objectif non-lin´eaire par l’hyperplan tangent en un point courant, est bien connue dans le do- maine de l’optimisation non-linaire (m´ethode du gradient). On pourra consulter `a ce sujet (Culioli, 1994), page 50.

Malgr´e la flexibilit´e significativement plus ´elev´ee que celle du syst`eme TRANSYT, le syst`eme est un syst`eme non-adaptatif, pour plusieurs raisons :

– La mod´elisation ne prend en compte aucune donn´ee provenant de capteur. Le

syst`eme n’a donc aucune perception de l’environnement en temps r´eel.

– Les temps de calcul sont assez ´elev´es, et comparables aux temps de calcul de TRANSYT (plusieurs minutes pour l’exemple donn´e dans l’article correspondant). Des travaux post´erieurs (Wong, 1997) ont d’ailleurs port´e sur l’am´elioration du temps de calcul en parall´elisant certaines tˆaches.

Syst`eme utilisant la programmation dynamique multi-objectif

Reljic (1996) mod´elise un r´eseau de transport par un graphe orient´e, o`u chaque som- met repr´esente une intersection et chaque arc (i, j) repr´esente une voie orient´ee de l’intersection i `a l’intersection j. Partant du principe que chaque intersection utilisera un plan de feux fixe dont tous les param`etres sont d´ej`a d´etermin´es sauf le d´ecalage, Reljic propose d’optimiser le choix de ces d´ecalages (qui sont donc les seules variables) en fonction de plusieurs crit`eres `a minimiser :

– Le temps d’attente total – Le nombre total d’arrˆets – La consommation totale – Le “coˆut total”

Les deux derniers crit`eres sont des combinaisons lin´eaires des deux premiers. La m´ethode choisie est la programmation dynamique, qui portera, en r´ealit´e, non pas sur le r´eseau entier, mais sur les circuits simples du graphe (circuits dont un mˆeme arc ne figure pas deux fois), consid´er´es s´epar´ement. Le nombre d’´etapes de la m´ethode est la longueur du

circuit consid´er´e. La motivation principale pour utiliser la programmation dynamique est que les crit`eres sont des fonctions non-lin´eaires des variables de d´ecision.

Pour r´esoudre ce probl`eme multi-objectif, l’auteur n’utilise pas d’agr´egation a priori. Il proc`ede en deux phases.

Dans un premier temps, il obtient les solutions efficaces en utilisant la programma- tion dynamique g´en´eralis´ee `a la programmation dynamique multi-objectif (Daellenbach et Kluyver, 1980; Karwan et Villarreal, 1982). Dans un second temps, il va s´electionner la “meilleure” solution, d’un certain point de vue, parmi toutes les solutions efficaces calcul´ees explicitement. Trois m´ethodes sont ´evoqu´ees :

– Une agr´egation de type P

j=1,...,pλj zj−zj∗

z∗ j

– Une agr´egation de type maxj=1,..,pλj zj−z∗j

z∗ j

– La m´ethode de surclassement ELECTRE (Roy, 1968) - il s’agit de la m´ethode

ELECTRE I.

Pour les deux premi`eres m´ethodes, les notations sont celles introduites dans la section 1.2. On choisit la solution qui obtient la valeur la plus petite pour la fonction d’agr´ega- tion consid´er´ee.