Syst` emes mono-objectifs

Plans de feux fixes d´etermin´es analytiquement suivant une m´ethode empi-

rique

Webster (1958) a montr´e qu’on pouvait calculer, sous certaines hypoth`eses, `a partir d’une simple formule, la “formule de Webster”, le cycle “optimal” d’un plan de feux fixe, ainsi que la r´epartition des temps de verts ad´equat. Ce cycle est “optimal” selon le crit`ere du temps d’attente subi par les v´ehicules, tous v´ehicules confondus (`a minimi- ser). Autrement dit, il calcule le plan de feux dans son int´egralit´e de mani`ere purement analytique. Ajoutons que la formule contient ´egalement des coefficients empiriques.

L’avantage qui apparaˆıt imm´ediatement est sa simplicit´e. On peut rajouter aussi le fait que le temps de calcul demand´e on-line est nul, puisque tout est calcul´e par avance. Cependant, plusieurs objections simples peuvent ˆetre faites, portant sur les hypo- th`eses pos´ees, qui sont, de toute ´evidence, tr`es fortes :

1. On n’envisage qu’un seul type de phasages.

2. On ne tient pas compte des variations du trafic autour de la valeur nominale ni d’une d´erive au cours du temps de cette valeur (sur de grandes p´eriodes de temps). En particulier, les “charges” calcul´ees sont fix´ees et immuables. La charge d’un tron¸con, `a un instant t0, est le d´ebit d’arriv´ee divis´e par le d´ebit de saturation

`

a t = t0.

4. Il n’y a, en fait, pas de garantie sur l’optimalit´e de la solution trouv´ee. En effet, les param`etres n´ecessaires dans la formule sont obtenus empiriquement pour “sa- tisfaire” le plus “grand nombre” de cas possibles. Comme on ne peut pas ˆetre `a l’optimum simultan´ement pour toutes les situations de trafic, il y a peu de chance que l’on soit `a l’optimum pour l’une d’entre elles choisie au hasard.

Comme dans la pratique on utilise une biblioth`eque de plans de feux adapt´es `a la charge moyenne sur une p´eriode donn´ee de la journ´ee, de la saison ou de l’ann´ee, ou `a un ´ev´enement particulier (sortie d’un stade par exemple), on peut dire que la deuxi`eme objection n’est que partiellement justifi´ee. Cependant, on ne peut pas encore parler de syst`eme semi-adaptatif, c’est-`a-dire de syst`eme capable de s’adapter partiellement `a la situation. Pour cela, il faudrait que la situation du trafic soit prise en compte en temps r´eel dans la modification du plan de feux.

D´etermination de plans de feux fixes par programmation lin´eaire et par la

th´eorie des graphes

Cantarella et Improta (1984) adoptent une approche bas´ee sur la programmation

lin´eaire mixte (utilisant des variables binaires et enti`eres) permettant de s’affranchir partiellement du point 1 du paragraphe pr´ec´edent. Les feux sont regroup´es en “groupes de feux”, dont les membres sont mutuellement non antagonistes. Ce ne sont pas des phases, dans le sens o`u ces groupes ne correspondent pas forc´ement `a des stables maxi- maux du graphe des antagonismes (mais correspondent `a des stables tout de mˆeme, dans le graphe des antagonismes). Il peut alors exister des groupes compatibles et d’autres incompatibles, tout comme pour les feux consid´er´es individuellement. Chaque groupe de feu re¸coit le mˆeme signal en mˆeme temps. Les variables principales sont des variables binaires wij, chacune associ´ee `a une paire (i, j) de groupes antagonistes, c’est-`a-dire tels

que leurs feux respectifs ne peuvent ˆetre mis au vert en mˆeme temps, qui prennent la valeur 1 si et seulement si le vert associ´e au groupe j succ`ede au vert associ´e au groupe i.

L’int´erˆet de consid´erer de tels groupes de feux r´eside principalement dans l’utilisation d’un plus petit nombre de variables que dans les deux cas extrˆemes suivants :

– Chaque groupe de feux correspond `a un seul feu. Le nombre de variables utilis´ees est alors n´ecessairement plus ´elev´e, avec une matrice des antagonismes cons´e- quente.

– Chaque groupe de feux correspond `a un stable maximal du graphe. Le nombre de variables utilis´ees peut alors ˆetre exponentiellement ´elev´e par rapport au nombre de feux.

La notion de phasage, dans la m´ethode, diff`ere l´eg`erement de la notion introduite en sous-section 1.1.2, puisqu’il s’agit, pour les auteurs, de solliciter exactement une fois chaque feu durant un cycle (et non pas au moins une fois). Le calcul de sa dur´ee, qui se trouve alors ˆetre une variable, ainsi que le calcul des temps de vert, reposent enti`erement sur les calculs de Webster.

L’optimisation se fait off-line. Le plan de feu ainsi calcul´e, optimis´e pour une cer- taine fonction objectif, et un certain ´etat du trafic, sera r´ep´et´e ind´efiniment lors de l’application r´eelle au carrefour.

Enfin, plusieurs types d’objectifs ont ´et´e test´es (en mono-objectif), comme le temps d’attente total (`a minimiser), la capacit´e (`a maximiser) ou encore la dur´ee du cycle (`a minimiser).

Peu de temps apr`es, les mˆemes auteurs ont propos´e, cette fois, une approche utilisant la th´eorie des graphes, dans le but de maximiser la capacit´e du carrefour ou de minimiser

le cycle du plan de feux (Cantarella et Improta, 1988). La m´ethode d’optimisation

consiste `a obtenir une orientation ad´equate d’un graphe initialement non-orient´e, dont chaque sommet correspond `a un groupe, et dont une arˆete relie deux sommets si et seulement si les groupes associ´es sont incompatibles, c’est-`a-dire que les flux de v´ehicules correspondants ne peuvent circuler en mˆeme temps pour des raisons de s´ecurit´e. En reprenant les mˆemes notations que dans l’article pr´ec´edent, une orientation de i vers j dans ce graphe correspond `a l’attribution de la valeur 1 `a la variable wi,j. La r´esolution se

fait par un Branch & Bound. Des consid´erations de th´eorie des graphes leur permettent cependant d’´eliminer certaines solutions a priori.

L’approche par regroupement de feux est fr´equente pour les syst`emes non-adaptatifs. Pour plus de d´etails sur la notion de groupes, voir (Gallivan et Heydecker, 1988; Dud- geon et Heydecker, 1993; Silcock, 1997), o`u il est fait ´etat, en particulier, du gain de flexibilit´e procur´e par l’approche par groupes plutˆot que par phases.

Conception g´eom´etrique et d´etermination de plans de feux fixes par pro-

Wong et Wong (2003) proposent une approche par programmation lin´eaire mixte pour r´esoudre simultan´ement les probl`emes de la r´egulation de trafic et de la “concep- tion g´eom´etrique” de carrefour (isol´e), ce qui le d´emarque de la grande majorit´e des syst`emes trait´es dans ce chapitre. En effet, la conception g´eom´etrique de carrefour et l’optimisation des plans de feux sont, en g´en´eral, trait´es ind´ependamment l’un de l’autre. Dans la conception g´eom´etrique d’un carrefour on s’autorise `a modifier physique- ment le carrefour pour satisfaire certaines contraintes. Les variables de d´ecision cor- respondantes peuvent ˆetre nombreuses et vari´ees, mais dans le contexte de l’article, il s’agit des marquages au sol sur les voies (fl`eches directionnelles), qui donneront lieu `a l’implantation des feux correspondants.

Les crit`eres consid´er´es (tous deux en mono-objectif) sont : – la capacit´e (`a maximiser).

– le cycle (`a minimiser).

Le temps d’attente total n’est pas trait´e car non-lin´eaire. Cependant les auteurs ´evoquent l’id´ee d’une lin´earisation par morceaux.