Fr´ equence des optimisations

Des r´esultats obtenus en section 4.1, on retient, en outre, qu’une it´eration peut lar- gement d´epasser la seconde en temps d’ex´ecution. Ce qui signifie qu’un fonctionnement du syst`eme `a la fr´equence d’une optimisation par seconde, soit la fr´equence `a laquelle sont r´evis´ees les informations provenant des capteurs, est a priori exclu. Cependant, on peut demander `a CPLEX de trouver une solution r´ealisable en un temps fix´e. De plus, on peut ´eventuellement passer au solveur la derni`ere solution obtenue, afin qu’il parte de cette solution (qui demeure partielle) pour trouver rapidement une solution r´ealisable. Il s’agit de l’option Set Vector, qui a ´et´e utilis´ee lors de ces exp´erimentations sur plusieurs it´erations.

Cependant, limiter la dur´ee des optimisations `a un temps tr`es court pr´esente plu- sieurs inconv´enients majeurs :

– On prend le risque que le solveur ne trouve pas de solution r´ealisable en moins d’une seconde. De plus, en pratique, ce dernier dispose de moins d’une seconde

pour effectuer l’optimisation, car il faut prendre en compte toutes les autres op´e- rations effectu´ees dans le pas de temps (modification de l’instance, ´ecriture sur disque, etc.)

– Mˆeme si le solveur trouve une solution r´ealisable, `a partir de la derni`ere solution fournie, il y a de fortes chances qu’en moins d’une seconde il ne modifie pas la “structure” de la solution courante, ce qui limite fortement les possibilit´es. – Plus g´en´eralement, on ne profite pas suffisamment selon nous, en moins d’une

seconde, des capacit´es du solveur `a r´esoudre des probl`emes de programmation lin´eaire mixte complexes.

Ceci nous conduit `a consid´erer que l’optimisation pourrait se faire toutes les dit ≥ 2

secondes plutˆot que toutes les secondes, en faisant l’hypoth`ese que la situation n’aura pas beaucoup ´evolu´e en dit secondes. On peut par exemple anticiper l’optimisation en

lan¸cant le solveur pour un plan de feux commen¸cant `a t = dit secondes plutˆot que t = 0,

ce qui laisse effectivement dit secondes au solveur pour conclure.

La figure 4.2 montre, avec une repr´esentation par dates de commutation (du type utilis´e par mod`ele hybride), les diff´erentes parties du plan de feux courant consid´er´ees comme fix´ees (parties gris´ees) selon que l’on optimise toutes les secondes (en haut de la figure), ou toutes les dit secondes (en bas de la figure).

Si on optimise toutes les secondes, on fixe uniquement la premi`ere seconde, c’est-`a- dire qu’on ne pourra modifier ult´erieurement cette r´egion. C’est la partie qui est d´ej`a transmise au contrˆoleur pour application sur le carrefour.

En revanche, si on optimise toutes les dit secondes, cette partie fixe (gris´ee) aug-

Figure 4.2 – Repr´esentation d’une solution pour une optimisation `a une seconde et pour une optimisation `a dit secondes

Ceci laisse au solveur le temps n´ecessaire pour au moins trouver une solution r´eali- sable. L’inconv´enient est que l’instance `a consid´erer (longueur des files, d´ebits d’arriv´ees) doit ˆetre calcul´ee `a la date t = dit et non pas t = 1, ce qui suppose que le trafic se

comporte conform´ement au mod`ele pendant dit unit´es de temps.

Le solveur, lui, consid`ere l’intervalle de temps [dit, H] pour ´etablir le plan de feux,

en se servant des d´ecisions prises sur la partie fix´ee courante pour calculer la nouvelle instance `a cet instant. L’hypoth`ese fondamentale consiste `a supposer que la situation du trafic ne change pas, en g´en´eral, brutalement en dit secondes, pour dit repr´esentant

Enfin, une cons´equence b´en´efique sur les performances est la r´eduction de l’horizon de temps vue par le solveur, qui passe de H `a H − dit. Optimiser sur un horizon de

temps plus faible, du point de vue du solveur peut avoir un effet b´en´efique sur la qualit´e des solutions obtenues.

4.2.2

M´ethodologie

Les exp´erimentations ont consist´e en l’utilisation du syst`eme d´evelopp´e en section 3.2, avec comme mod`ele d’optimisation le mod`ele hybride, et comme m´ethode inter- active la m´ethode pr´esent´ee en sous-section 3.7.1, sur le carrefour C, pour contrˆoler le trafic sur une p´eriode d’une heure. On parlera, pour simplifier du “mod`ele hybride” pour d´esigner le syst`eme. Les it´erations sont effectu´ees toutes les dit= 10 secondes (voir

4.2.1 pour une description d´etaill´ee de ce que repr´esente dit). De plus, un autre syst`eme

a ´et´e mis en œuvre afin de pouvoir effectuer des comparaisons. Il s’agit d’un syst`eme semi-adaptatif.

Plusieurs simulations de trafic ont ´et´e envisag´ees, appel´ees “sc´enarios”, ces derniers ´etant d´efinis par les d´ebits d’arriv´ees v´ehicules, les longueurs de files d’attentes `a t = 0, et enfin des arriv´ees de bus, programm´ees dans l’heure.

Pr´ecisons que les capteurs sont suppos´es “parfaits”, c’est-`a-dire qu’ils sont capables de d´etecter les files sans limitation de longueur.

4.2.2.1 Politique g´en´erale de r´egulation

La politique de r´egulation se fait conform´ement aux r`egles ´enonc´ees en 3.7.1 (le d´ecideur ne poss`ede pas d’expertise particuli`ere), avec prise en compte des remont´ees de files ou non suivant le sc´enario. Le point de r´ef´erence est recalcul´e `a chaque it´eration, en fonction de la valeur du taux des arriv´ees et de la prise en compte ´eventuelle des remont´ees de file, selon le sc´enario.

Figure 4.3 – Plan d’arriv´ees des bus utilis´e dans les diff´erents sc´enarios

4.2.2.2 Simulation du trafic g´en´eral

Pour pouvoir tester le mod`ele hybride en temps r´eel il est n´ecessaire d’ˆetre en mesure de simuler un trafic, de fa¸con la plus r´ealiste possible.

La perception qu’a le syst`eme du trafic reposant uniquement sur la connaissance des d´ebits et des files d’attente de chaque tron¸con la simulation va consister `a fournir ces donn´ees en temps r´eel.

Plusieurs sc´enarios d’´evolution des d´ebits d’arriv´ee ont ´et´e envisag´es (voir sous- section 4.2.2.4 pour la description de chaque sc´enario), correspondant, dans la mesure du possible, `a des cas que l’on peut rencontrer dans la r´ealit´e. En ce qui concerne la file d’attente l<sub>f</sub>0(t) sur le tron¸con f `a l’instant t de la simulation, elle est fonction du d´ebit QAf et de la couleur du feu f de leur tron¸con. En th´eorie, sur un horizon discret,

la loi d’´evolution de l0

f est donn´ee, conform´ement `a la mod´elisation de trafic consid´er´ee

(section 3.1), par :

l_f0(t + ∆t) = l0_f(t) + QAf(t) × ∆t

l0_f(t + ∆t) = maxl_f0(t) + (QAf(t) − QS) × ∆t, 0

si le feu f est au vert de t `a t + ∆t.

Cependant, il s’agit d’une ´evolution th´eorique. Pour prendre en compte le fait que lors d’une application r´eelle l’´evolution des files d’attente pourrait ˆetre perturb´ee par des al´eas, nous transformons la loi d’´evolution en :

l_f0(t + ∆t) = ξ (t) × l0_f(t) + QAf(t) × ∆t

si le feu f est au rouge de t `a t + ∆t, et

l0_f(t + ∆t) = ξ (t) × maxl0_f(t) + (QAf(t) − QS) × ∆t, 0

si le feu f est au vert de t `a t+∆t, o`_{u pour chaque t ∈ Z, ξ (t) est la r´ealisation d’une} variable al´eatoire suivant une loi normale d’esp´erance 1 et d’´ecart type 0.1. Toutes les variables ξ (t) sont ind´ependantes deux `a deux.

Enfin, dans notre contexte on choisit ∆t = u = 1s. A un instant t donn´e de la simulation, les l0

f(t) , f ∈ F peuvent ˆetre pass´ees au

syst`eme comme longueurs de files initiales (`a l’instant 0 de son horizon de temps). C’est-`a-dire que l’on effectue, pour f ∈ F :

le0,f ← l0f(t)

ld0,f ← l0f(t)

o`u le0,f et ld0,f sont respectivement les longueurs initiales des files d’attentes relati-

vement aux variables par ´etats et aux variables par dates.

Le mod`ele hybride n’effectue qu’une optimisation toutes les dit secondes et n’inter-

roge donc les capteurs que toutes les ditsecondes. Il ne peut donc pas prendre en compte

les al´eas sur les arriv´ees fr´equemment, ce qui engendrera une erreur sur l’optimisation, d’autant plus grande que dit le sera. Un syst`eme qui interrogerait les capteurs toutes les

secondes ou moins serait beaucoup plus prot´eg´e de ces ph´enom`enes. C’est pour prendre en compte cet inconv´enient (pour le mod`ele hybride) qu’il nous a sembl´e n´ecessaire de mod´eliser ces perturbations.

4.2.2.3 Simulation des bus

Les bus arrivent suivant le plan donn´e sur la figure 4.3. Le choix des arriv´ees a ´et´e fait de telle sorte qu’elles mettent en sc`ene des bus, en conflit, arrivant `a des moments o`u la situation de trafic est diff´erente. Les dates d’arriv´ees ne sont pas perturb´ees directement. N´eanmoins, `a partir du moment o`u un bus p´en`etre sur un tron¸con, l’interaction qu’il subit avec les v´ehicules joue un rˆole perturbateur. Pr´ecisons que, dans notre contexte, une perturbation portant sur la date d’arriv´ee d’un v´ehicule en g´en´eral n’a de sens que si celle-ci est inf´erieure `a l’horizon (l’instant pr´esent ´etant l’instant 0).

4.2.2.4 Sc´enarios

Sc´enario 1

Dans le sc´enario 1, les d´ebits augmentent r´eguli`erement et de la mˆeme mani`ere sur chaque tron¸con, pendant la p´eriode impartie. Une repr´esentation continue est fournie figure 4.4.

Figure 4.4 – ´Evolution des d´ebits sc´enario 1 ´

Etant donn´e la nature discr`ete des d´ebits (voir l’introduction du chapitre 4), la courbe r´eelle de leur ´evolution a un aspect discret, comme le montre la figure 4.5.

Figure 4.5 – ´Evolution des d´ebits en tenant compte de la nature discr`ete de ces derniers - sc´enario 1

Cette forme en escaliers se retrouvera ´egalement sur la courbes du taux d’arriv´ees. Pour les autres sc´enarios, nous ne pr´esenterons que des courbes d’´evolution de d´ebits continues, afin de mieux appr´ehender l’´evolution de l’ensemble des d´ebits plutˆot que leur nature, laquelle ayant moins d’int´erˆet.

Sc´enario 2

Le but du sc´enario 2 est multiple. On essaie, par ce sc´enario, de repr´esenter une si- tuation “r´eelle” o`u l’aspect adaptatif est sollicit´e, pour chaque syst`eme. Pour cela on fait varier significativement les d´ebits d’arriv´ees sur chaque tron¸con, et ce de mani`ere asym´etrique. De plus, les d´ebits d’arriv´ees sont en moyenne relativement ´elev´es `a plu- sieurs moments du sc´enario, ce qui permet d’inclure, dans le sc´enario, des p´eriodes o`u le carrefour est satur´e.

Le sc´enario 2 repr´esente un moment de la journ´ee o`u :

– Pour une raison quelconque, un ´ev´enement fait qu’un groupe important d’usagers souhaite se rendre du sud-est du carrefour C `a l’ouest, puis effectuer le trajet

inverse. Dans un premier temps, ils empruntent, pour ce faire, les tron¸cons 1 et 3 (trajet aller). Puis, dans un second temps, les tron¸cons 4 et 5 pour le retour. – Les arriv´ees v´ehicules sur les tron¸cons 1 et 2 sont plus importants `a la fin de

l’heure qu’en d´ebut d’heure, pour des raisons li´ees, par exemple, `a un d´eplacement domicile-travail des usagers. La somme des d´ebits de ces deux tron¸cons est en effet croissante durant le premier quart d’heure, puis se stabilise (autour de la valeur 0.3 v´eh./seconde). La direction emprunt´ee, qui se traduit par le choix du tron¸con 1 ou du tron¸con 2, varie au cours du temps : les usagers pr´ef`erent progressivement le tron¸con 2 au tron¸con 1, ceci leur permettant par exemple de contourner l’endroit o`u a lieu l’´ev´enement ´evoqu´e au premier point.

L’´evolution des d´ebits propos´es pour ce sc´enario est repr´esent´ee sur la figure 4.6

Figure 4.6 – ´Evolution des d´ebits sc´enario 2

On pr´esentera deux types de r´esultats li´es `a ce sc´enario. L’un sans prise en compte des remont´ees de files, l’autre avec prise en compte des remont´ees de files. Les seuils de remont´ee sont les mˆemes pour chaque tron¸con. Si la longueur d’une file atteint un seuil, une remont´ee est d´eclar´ee, et la politique de r´egulation prend en compte celle-ci. La remont´ee est annul´ee seulement si la longueur de la file passe en-dessous de 90% du seuil, pour ´eviter d’´eventuelles oscillations brutales de la politique de r´egulation.

Pour savoir exactement comment sont prises en compte les remont´ees, le lecteur peut se reporter `a la section 3.7.1.

Sc´enario 3

Le sc´enario 3 est une variante du sc´enario 2 dans lequel les “retours”, par les tron¸cons 4 et 5, se font plus tˆot (figure 4.7).

Figure 4.7 – ´Evolution des d´ebits sc´enario 3

Le but premier est d’observer l’adaptation des deux syst`emes `a ce sc´enario diff´erent, par rapport au sc´enario 2, toujours en comparant leurs performances.

De plus, on pr´esentera deux types de r´esultats pour ce sc´enario : l’un o`u le phasage choisi pour le syst`eme S est le meilleur phasage possible pour l’ensemble des instances du sc´enario (on parlera de phasage optimal ), et l’autre o`u le phasage choisi est diff´erent du phasage optimal, afin d’observer l’impact de la rigidit´e du syst`eme S sur un sc´enario comme le sc´enario 3.

4.2.2.5 Param`etres

Les param`etres “statiques” sont les suivants : – Dur´ee minimale de vert : 10 secondes

– Dur´ee maximale de vert : 30 secondes – Dur´ee minimale rouge : 20 secondes – Dur´ee maximale de rouge : 50 secondes – Dur´ee de rouge de d´egagement : 5 secondes

Ces param`etres correspondent aux param`etres usuellement impos´es par l’exploitant.

4.2.2.6 Comparaison avec un autre syst`eme

Pour chaque sc´enario, on souhaite comparer les r´esultats obtenus avec le mod`ele hybride `a des r´esultats qui seraient obtenus avec un syst`eme semi-adaptatif. Pour cela nous utilisons un appel´e syst`eme S, dont le but est de faire de la r´egulation de trafic en s’inspirant de la m´ethode employ´ee dans le syst`eme SCOOT au niveau local.

Les caract´eristiques et la fonctionnement du syst`eme S sont les suivants :

– Le syst`eme S poss`ede un phasage fixe, qu’il convient de d´eterminer `a l’avance. On doit aussi lui fournir des temps initiaux de dur´ee de phase.

– A partir d’un plan de feu initial, on peut agir en temps r´eel sur la dur´ee, en secondes, de la phase en cours, avec une limite maximum de +4 secondes et minimum de -4 secondes, tout en respectant les dur´ees minimales et maximales de rouge et de vert, pour chaque feu, impos´ees par l’exploitant.

– La nouvelle dur´ee de phase est m´emoris´ee pour les prochaines it´erations. Ceci permet de pouvoir modifier progressivement sa dur´ee dans toute la plage autoris´ee par l’exploitant, dans les limites du phasage impos´e.

Les paragraphes suivant soulignent les aspects o`u il existe une diff´erence notable entre le syst`eme S et le mod`ele hybride. Tous les autres aspects importants (mod´elisa- tion du trafic `a la base du mod`ele, politique de r´egulation, etc.) sont similaires.

Aspect adaptatif

Les deux syst`emes ont pour instance, `a chaque it´eration, les d´ebits courants ainsi que les longueurs de files d’attente. Le syst`eme S poss`ede un phasage fixe, il appartient donc `a la classe des syst`emes semi-adaptatifs. Le mod`ele hybride, lui, est un syst`eme adaptatif.

Cependant, une diff´erence majeure entre les deux syst`emes, en faveur du syst`eme S, est la fr´equence d’optimisation. En effet, le syst`eme S optimise chaque seconde,

tandis que le mod`ele hybride effectue ces op´erations une fois toutes les dit secondes. Le

syst`eme S poss`ede donc, en g´en´eral, de l’information plus r´ecente pour effectuer son optimisation.

Exactitude de la m´ethode d’optimisation

Le mod`ele hybride est une m´ethode exacte. Le syst`eme S, quant `a lui, peut ˆetre consid´er´e comme une heuristique, car il n’envisage pas toutes les possibilit´es `a chaque it´eration. En effet, outre le fait qu’il poss`ede un phasage fixe, il ne peut agir que sur la dur´ee d’une seule phase `a la fois (la phase courante). De plus, son action sur cette dur´ee, `

a une it´eration donn´ee, est limit´ee. Il ne peut, en effet, la modifier que d’une amplitude de 2 × 4 = 8 secondes. Cependant, comme il effectue une it´eration par seconde, il peut modifier la dur´ee de la phase courante jusqu’`a un extremum seulement en quelques secondes.

Choix du phasage pour le syst`eme S

Un plan de feu de type cyclique appliqu´e sur carrefour poss´edant au moins trois feux mutuellement antagonistes, comme c’est le cas pour le carrefour C, poss`ede un phasage comprenant au moins trois phases. Lors de la construction de tels phasages, il est naturel (et usuel) de privil´egier les phasages comportant le plus petit nombre de phases possibles. Dans notre cas, on a le choix entre plusieurs phasages comportant uniquement trois phases.

Une fois ´etabli l’ordre de passage au vert des trois feux mutuellement antagonistes (les feux 1, 3 et 4), et ´etant donn´e le graphe des antagonismes, on a le choix entre mettre le feu 2 ou le feu 5 au vert pendant deux verts successifs parmi les verts des feux {1, 3, 4} (figure 4.8).

Figure 4.8 – Deux types de phasages pour le syst`eme S

Pour faire un choix de phasage, on peut r´ealiser une optimisation off-line en s’ap- puyant sur les d´ebits moyens estim´es sur l’heure pendant laquelle on effectue les optimi- sations. Dans notre cas, on a retenu le phasage correspondant `a la solution (optimale) fournie par le mod`ele hybride en consid´erant les d´ebits moyens sur chaque tron¸con.

4.2.2.7 Mesures

Mod`ele hybride

En ce qui concerne le mod`ele hybride, pour chaque sc´enario et pour chaque it´eration on mesure :

– la valeur de chaque crit`ere recalcul´e sur dit = 10 secondes.

– le temps d”’optimisation”. La limite de temps pour toutes les op´erations qu’effec- tue le programme relatif au mod`ele hybride est de 10 secondes.

Syst`eme S

En ce qui concerne le syst`eme S, pour chaque sc´enario et pour chaque it´eration (de dur´ee 1 seconde pour le syst`eme S), on mesure la valeur de chaque crit`ere recalcul´e sur 1 secondes, que l’on cumule sur 10 secondes afin de pourvoir comparer les r´esultats `a ceux du mod`ele hybride.

Mesures et consid´erations communes

Mesure commune :

On rel`eve le taux des arriv´ees, ainsi que les remont´ees de files lorsqu’elles ont lieu, toutes les 10 secondes. On mesure ainsi la politique de r´egulation courante, chaque 10 secondes.

Consid´erations communes :

Les remarques suivantes s’appliquent aux deux syst`emes :

– Les valeurs recalcul´ees le sont `a partir des valeurs perturb´ees des files d’attente (voir sous-section 4.2.2.2).

– Pour le crit`ere N A, dont la variation locale est tr`es grande, les courbes pr´esent´ees, pour une meilleure lisibilit´e des r´esultats, sont des courbes liss´ees par moyenne mobile (voir la figure 4.32 pour un exemple sans lissage).

– Le nombre de mesure par “type” de mesure (crit`ere, temps d’optimisation, poli- tique) est toujours de 360. En effet, lors de chaque exp´erimentation, le trafic est contrˆol´e sur une p´eriode d’une heure.

4.2.3

R´esultats

4.2.3.1 Sc´enario 1

On compare ici les r´esultats obtenus par le mod`ele hybride et ceux obtenus avec le syst`eme S, tous deux confront´es au sc´enario 1.

Temps d’attente

On constate, sur la figure 4.9 que le temps d’attente total croˆıt durant la p´eriode

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