Param` etres pr´ ef´ erentiels, fonction d’agr´ egation

Un probl`eme d’optimisation multi-objectif s’accompagne, dans une grande partie des cas, d’un “d´ecideur”, qui peut ˆetre le commanditaire de l’optimisation, et qui doit prendre un ensemble de d´ecisions au regard du r´esultat obtenu.

1.2.4.1 Param`etres pr´ef´erentiels

Pour prendre en compte les pr´ef´erences du d´ecideur, on introduit des param`etres pr´ef´erentiels dont les trois principales formes sont :

– des param`etres intercrit`eres : sous forme de “poids” accord´es aux crit`eres

– un point de r´ef´erence : chacune de ses composantes repr´esente une valeur souhait´ee sur un crit`ere (voir (Wierzbicki, 1999, 1980)).

– des valeurs maximales `a ne pas d´epasser pour chacun des crit`eres (“reservation levels”)

1.2.4.2 Fonctions d’agr´egation

Une fonction d’agr´<sub>egation est une fonction s : Z → R, qui `a un point de l’espace</sub> des crit`eres donn´e associe une unique valeur r´eelle.

s peut ´eventuellement d´ependre d’un param`etre pr´ef´erentiel ω. On notera alors la fonction sω.

Une fonction d’agr´egation s est dite :

– monotone croissante si : ∀z, z0 ∈ Y ⊆ Z, z > z0 _{⇒ s (z) ≥ s (z}0₎

– strictement croissante si : ∀z, z0 ∈ Y ⊆ Z, z  z0 _{⇒ s (z) > s (z}0₎

Les fonctions d’agr´egation les plus classiques permettant de prendre en compte les param`etres pr´ef´erentiels sont :

– La somme pond´er´ee (figure 1.6) :

p

X

j=1

λjzj

Figure 1.6 – Optimisation avec la somme pond´er´ee, avec p = 2

L’avantage de la somme pond´er´ee est qu’elle ne g´en`ere que des points non domin´es d`es lors que l’on a λj > 0 pour j ∈ {1, ...p} car cette fonction est fortement monotone.

Cependant, les points non support´es ne pourront jamais ˆetre trouv´es par cette m´ethode. – Les fonctions `a base de point de r´ef´erence, dont le repr´esentant le plus simple et

le plus connu est :

gz,λ(z) = max

j=1..p{λj(zj − zj)}

o`u les poids (λ1, .., λp) = λ et le point de r´ef´erence z = (z1, ..., zp) sont les param`etres

pr´ef´erentiels.

Contrairement `a la somme pond´er´ee, cette fonction d’agr´egation, qu’il convient de minimiser, permet d’atteindre tout point non domin´e, en particulier les points non

support´es. En revanche, cette fonction n’est que strictement monotone, ce qui entraˆıne que les points qu’elle g´en`ere peuvent ˆetre faiblement non domin´es.

– Pour rem´edier aux inconv´enients de gz,λ, on peut rajouter un terme suppl´emen-

taire `a la fonction gz,λ afin d’obtenir la fonction suivante :

fz,λ(z) = max j=1..p{λj(zj − zj)} + ρ p X j=1 λj(zj − zj)

Cette fonction est appel´ee la forme augment´ee de la pr´ec´edente. ρ > 0 est une valeur tr`es petite qui rend f fortement monotone, garantissant ainsi que tout point g´en´er´e est non domin´e. En revanche, si ρ n’est pas suffisamment petit, certains points non domin´es peuvent ne pas ˆetre engendr´es. N´eanmoins, dans certains cas, ρ peut ˆetre fix´e de mani`ere `

a ce que chaque point non domin´e reste atteignable. De plus, pour ρ > 0, chaque point g´en´er´e par l’optimisation de la forme augment´ee ne peut ˆetre faiblement domin´e. Une illustration est donn´ee au niveau de la figure 1.7.

Figure 1.7 – Optimisation avec la forme augment´ee de la m´ethode du point de r´ef´e- rence. Dans le cas repr´esent´e en rouge, le point non domin´e (rouge) n’est pas atteignable car ρ est trop ´elev´e. Dans le cas repr´esent´e en vert, le point non domin´e (vert), qui se trouve dans une situation similaire est atteignable en utilisant une valeur de ρ plus faible

Le calcul de ρ procurant les propri´et´es voulues pour les fonctions de type fz,λ peut

ˆetre plus ou moins complexe selon le contexte. Le lecteur pourra consulter (Steuer et Choo, 1983), (Steuer, 1986) ou encore (D¨achter et al., 2012).

Dans notre contexte, o`u ZX est discret, on obtient une valeur convenable de ρ assez

facilement (voir Proposition 1).

Lemme 1. Soit P un probl`eme multi-objectif `a p ≥ 2 crit`eres tel que d´efini en section 1.2.1 dont les crit`eres prennent des valeurs enti`eres non n´egatives. Soit mj un minorant

de la valeur prise sur chaque crit`ere j ∈ {1, ..., p}.

Tout point non domin´e z0 ∈ N D (ZX) peut ˆetre g´en´er´e comme solution unique de la

fonction fz,λ, en choisissant :

ρ < _P minj∈{1,...p}λj

j∈{1,...,p}/{k}λj zj0 − mj
− λk

o`u k ∈ arg minj∈{1,...p}λj zj0 − mj
.

D´emonstration. Soit z0 ∈ N D (ZX) un point non domin´e quelconque. Posons z = z0, on

a alors fz,λ(z0) = 0. Pour que z0 soit solution optimale unique, on doit avoir fz,λ(z00) > 0

pour tout autre point z00 ∈ ZX. Observons que compte tenu de l’int´egrit´e de l’espace

des crit`eres il existe n´ecessairement un indice j ∈ {1, ...p} tel que z_j00 ≥ z0

j + 1, si-

non z00 dominerait z0. On a donc maxj∈{1,...p}λj zj00− z 0 j

≥ minj∈{1,...p}λj. Pour

assurer que fz,λ(z00) > 0, on doit donc choisir ρ de fa¸con `a ce que minj∈{1,...p}λj +

ρP

j∈{1,...,p} z 00 j − zj

> 0, quel que soit le point z00 ∈ ZX. Le pire cas intervient

pour un ´eventuel point z00 = (m1, ..., zk0 + 1, ..., mp) o`u k est tel que λk(zk0 − mk) =

minj∈{1,...p}λj zj0 − mj
.

Proposition 1. Soit P un probl`eme multi-objectif `a p ≥ 2 crit`eres tel que d´efini en section 1.2.1 dont les crit`eres prennent des valeurs enti`eres non n´egatives. Soit respec- tivement mj et Mj un minorant (resp. majorant) de la valeur prise sur chaque crit`ere

j ∈ {1, ..., p}.

Tout point non domin´e peut ˆetre g´en´er´e comme solution unique de la fonction fz,λ,

en choisissant ρ = minj∈{1,...p}λj

P

D´emonstration. Pour tout z0 ∈ N D (ZX) on note ρ (z0) =

minj∈{1,...p}λj

P

j∈{1,...,p}/{k}λj(z0_j−mj)−λk

, o`u k ∈ arg minj∈{1,...p}λj zj0 − mj
. On a alors, pour chaque point non domin´e z0 ∈

N D (ZX), ρ ≤ ρ (z0). Alors, nous avons grˆace au Lemme 1 que chaque point non domin´e

z0 ∈ N D (ZX) est atteignable.

En pratique, il est plus simple d’utiliser ρ = minj∈{1,...p}λj

P

j=1,...,p(Mj−mj), de la Proposition 1, qui

ne fait pas r´ef´erence aux points que l’on g´en`ere, que ρ du Lemme 1, qui lui est fonction de ces points. Si un “bon choix” de M est facile `a d´eterminer (dans le sens o`u chaque Mj n’est pas trop grand), nous pr´ef´ererons ainsi fixer la valeur de ρ `a celle fournie par

la Proposition 1.

1.2.4.3 Utilisations usuelles des fonctions de type fz,λ

Plutˆot que de faire varier l’ensemble des param`etres pr´ef´erentiels, on peut choisir de faire varier uniquement une partie de ceux-ci.

Par exemple, dans la m´ethode de Tchebychev, on fixe z, et on fait ´evoluer λ. En g´en´eral, z correspond `a z∗ ou `a un point qui domine l´eg`erement z∗. Dans un contexte o`u l’instance du probl`eme peut ´evoluer dans le temps, z∗ ´evolue ´egalement. z doit alors ˆetre r´evis´e r´eguli`erement pour garantir que z  z∗.

Dans la m´ethode du point de r´ef´erence, en revanche, on fixe λ et on fait ´evoluer z.