dates”
Dans cette section, on compare, de fa¸con qualitative les deux mod`eles, en consid´erant plusieurs caract´eristiques.
3.5.1
Hypoth`eses de travail, repr´esentation de l’environnement
Comme nous l’avons vu dans les premi`eres sections de ce chapitre, les deux mod`eles sont pr´evus pour s’ins´erer dans un mˆeme syst`eme, qui fonctionne `a partir d’une mod´e- lisation de l’environnement bien d´efini et commun aux deux mod`eles. Les hypoth`eses
faites au niveau de la mod´elisation du trafic, du fonctionnement du carrefour et des donn´ees disponibles en temps r´eel sont les mˆemes, mis `a part les d´ebits d’arriv´ees, qui potentiellement peuvent ˆetre plus finement pris en compte dans le mod`ele par ´etat. Si l’on fixe les d´ebits d’arriv´ees sur H pour le mod`ele par ´etat, on peut dire que les deux mod`eles ont exactement la mˆeme repr´esentation de l’environnement, et les mˆemes instances `a traiter. Seuls les objets et la mani`ere de proc´eder pour y parvenir diff`erent.
3.5.2
Estimation du nombre de variables et de contraintes
pour le carrefour C
La nature des variables principales est la diff´erence fondamentale entre les deux mod`eles. Leurs noms parlent d’eux-mˆemes : dans un cas il s’agit de d´eterminer des dates de commutation, dans l’autre de d´eterminer les diff´erents ´etats des feux, seconde par seconde. Il semble que le mod`ele par dates soit plus “´econome” en variables et en contraintes.
Pour le mod`ele par ´etats, le nombre de variables principales est de l’ordre de H × NF
variables 0-1 (les variables es,f).
En ce qui concerne le carrefour C, le nombre total de variables est de l’ordre de 1200 dont environ 900 sont binaires, et le nombre de contraintes est de l’ordre de 7000.
Pour le mod`ele par dates, le nombre de variables principales est de l’ordre de : – Nc× NF variables 0-1 (les variables xc,f)
– Nc variables enti`eres non 0-1 (les variables tc)
Pour le cas particulier du carrefour C, le nombre total de variables est de l’ordre de 800, dont environ 600 sont binaires, et le nombre de contraintes est de l’ordre de 2500. Le grand nombre de variables par rapport au nombre de variables principales est en particulier dˆu `a la lin´earisation du crit`ere T A.
3.5.3
Formulation des crit`eres
Les crit`eres de nombre d’arrˆets et d’erreur totale de consigne pour le bus, repr´e- sentent exactement la mˆeme chose dans un mod`ele comme dans l’autre. Cependant la lin´earisation du crit`ere T A dans le mod`ele par dates n’est pas une lin´earisation exacte :
on approxime T A. Plus exactement, dans le mod`ele par dates, on le surestime. Les crit`eres T A des deux mod`eles ne sont donc pas exactement les mˆemes.
Enfin, le tableau 3.1 pr´esente la nature des diff´erents crit`eres dans leurs mod´elisations respectives.
TA NA ECB
Mod`ele par ´etats lin´eaire lin´eaire – lin´eaire –
Mod`ele par dates quadratique lin´eaire - quadratique +
Table 3.1 – Nature des diff´erents crit`eres dans leur mod´elisations respectives
“Quadratique +” indique que le crit`ere est quadratique mais que la lin´earisation n’a pas pos´e de difficult´e pour obtenir une lin´earisation exacte.
“Lin´eaire -” indique que le crit`ere est originellement presque lin´eaire, et qu’il a fallu ajouter un nombre raisonnable de variables pour obtenir une expression compl`etement lin´eaire.
“Lin´eaire –” indique que le crit`ere est originellement presque lin´eaire, mais qu’il a fallu tout de mˆeme rajouter un nombre significatif de variables pour obtenir une expression compl`etement lin´eaire.
3.5.4
Extension sur une vision r´egionale (quelques carrefours)
Le mod`ele par ´etats peut th´eoriquement ˆetre “´etendu” `a quelques carrefours. On entend par l`a qu’une mod´elisation du probl`eme de r´egulation sur un ensemble de carre- fours plutˆot que sur un seul (vision r´egionale) est fortement envisageable en s’appuyant sur le mod`ele par ´etats, tout en gardant la mˆeme probl´ematique. En effet, la diff´erence principale avec un carrefour isol´e est que les arriv´ees v´ehicules peuvent ˆetre des va- riables du temps, et non pas des “constantes ´evolutives”, pour pouvoir correspondre `a des d´eparts d’autres carrefours proches.
Dans le mod`ele par ´etat, les arriv´ees sont prises en compte `a chaque pas de temps s, pour un feu f , principalement au niveau de la file d’attente ls,f, sous la forme :
ls,f ≥ ls−1,f + QAs,f − QSs,f× es,f
ls,f ≥ 0
Dans ce mod`ele, QAs,f est une constante qui repr´esente le d´ebit des arriv´ees, mais
peut aussi ˆetre vu comme repr´esentant le nombre de v´ehicules qui arrivent `a l’instant s sur le tron¸con f . On comprend bien qu’il n’y a qu’un pas `a faire pour prendre en compte le fait que ces arriv´ees d´ependent ´eventuellement d’un autre carrefour. En effet, en rempla¸cant QAs,f par une variable as,f, qui d´ependrait des d´eparts de l’autre carrefour
(on peut utiliser le mod`ele de dispersion de Robertson (1969) par exemple), on ne
change pas la nature lin´eaire des contraintes.
Cependant, le terme QAs,f intervient aussi multiplicativement dans ce mod`ele (voir
sous-section 3.3.4.2). Comme il s’agit d’une multiplication par une variable 0-1, il est techniquement possible d’obtenir une lin´earisation exacte, mais au prix d’ajouts d’un nombre significatif de variables et de contraintes.
Pour le mod`ele par date, une telle vision r´egionale semble plus difficile. Tout le probl`eme vient du fait que, dans ce mod`ele, on n’a pas une repr´esentation utilisant des “pas de temps”, chaque pas de temps pouvant ˆetre partag´e par plusieurs carrefours, mais une repr´esentation utilisant des num´erotations de dates de commutations propres `
a chaque carrefour. En effet, il est difficile d’´ecrire le lien qui existe entre les quantit´es mises en jeu pour tel num´ero de commutation d’un carrefour, et tel autre num´ero de
commutation d’un carrefour adjacent : on ne sait mˆeme pas quel num´ero des deux
correspondra `a la premi`ere commutation dans l’horizon de temps qu’on s’est donn´e. De plus, dans la mod´elisation par dates, les arriv´ees v´ehicules sont repr´esent´ees par les d´ebits d’arriv´ees QAf, f ∈ F , intervenant multiplicativement dans les expressions
des files d’attentes (sous-section 3.4.4.3). Malheureusement il s’agit de multiplier QAf
`
a des variables continues, ce qui, techniquement, est difficile `a prendre en compte. Bien sˆur, il est toujours possible de r´ealiser successivement des optimisations locales sur chaque carrefour en prenant en compte les r´esultats obtenus par les autres. Ce genre de proc´ed´e est ´evidemment moins attractif que la r´ealisation d’optimisations globales.