Mod´ elisation des bus

3.1.5.1 Demande de la compagnie de bus, temps d’attente des bus

Dans la mod´elisation qui suit, on peut tout aussi bien supposer que la compagnie de bus demande `a ses bus de respecter un horaire fixe de passage `a ses stations, ou bien qu’elle adapte elle-mˆeme le plan de circulation des bus au trafic, notamment en terme de fr´equence de passage.

Ainsi, dans les deux cas, un bus ne respectant pas le plan pourra ˆetre signal´e par la compagnie qui souhaiterait que l’avance ou le retard pris par le bus soit corrig´e(e). Si la compagnie d´ecide de ne pas le signaler, il pourra ˆetre consid´er´e comme un v´ehicule particulier. La seule information utile, dans le premier cas, pour le syst`eme, est le temps d’arrˆet du bus au feu souhait´e par la compagnie. Un bus communiqu´e par la compagnie et qui atteindra le carrefour, c’est-`a-dire p´en´etrant sur le tron¸con correspondant, dans l’horizon de temps, sera pris en compte par le syst`eme uniquement sous ces conditions. On d´eclarera alors le bus “actif”. Si l’une des conditions n’est pas respect´ee, il sera dit “passif”.

Le temps d’arrˆet souhait´e pour un bus actif peut ˆetre non nul. En effet, ce sera le cas, par exemple, lorsqu’un bus sera consid´er´e en avance par rapport au plan initial. Il se peut aussi que le planning des bus change, la compagnie pr´ef´erant espacer ses bus plutˆot que de minimiser le temps total d’attente des bus sur le r´eseau. Ce genre de contrainte de r´egularit´e arrive plutˆot aux heures de pointe. On suppose que l’information peut ˆetre fournie en temps r´eel par la compagnie.

Un bus actif peut ˆetre stopp´e soit directement par un feu au rouge soit par un autre v´ehicule, mˆeme au vert. Pour chaque bus actif b on appelle respectivement temps d’attente du bus (T ABb) et consigne d’attente (T ABb0) le temps qu’il passe `a l’arrˆet sur

le carrefour et le temps d’arrˆet souhait´e par la compagnie, pendant l’horizon de temps H. Et on appelle erreur de consigne la quantit´e ECb = |T ABb− T ABb0|.

Le crit`ere “erreur totale de consigne pour les bus” (ECB), est alors d´efini comme suit : ECB =X b∈B ECb = X b∈B  T ABb− T ABb0  

O`u B d´esigne l’ensemble des bus actifs (on remarquera que le crit`ere ne prend en compte que les bus actifs).

3.1.5.2 Calcul des TAB et interaction avec les v´ehicules particuliers

On veut calculer le temps d’attente T ABb, du bus b, sur le carrefour.

On dit qu’un bus est “arriv´e” au moment o`u il entre dans le tron¸con qu’il doit emprunter pour traverser le carrefour. Ce tron¸con est suppos´ee connu `a l’avance. Soit le bus passe toujours par le tron¸con, soit la compagnie communique le nouveau trajet en mˆeme temps que le bus est signal´e par la compagnie.

Soit b un bus actif. Deux cas peuvent se pr´esenter, comme indiqu´e dans les deux sections suivantes.

Le bus n’est pas encore arriv´e

Si le bus est pr´evu d’arriver pendant un rouge, le temps restant avant le prochain vert sera enti`erement compt´e. Mais juste apr`es la commutation, il se peut que le bus attende encore, `a cause de la file devant lui, non encore r´esorb´ee. On inclura donc aussi dans T ABb ce temps suppl´ementaire. Si le bus est pr´evu d’arriver pendant un vert, on

ne comptera que le temps qu’il faudra pour r´esorber la file devant lui. Dans les deux cas, on note Tb ∈ [0, ..., H] la date `a laquelle le bus arrivera sur le tron¸con.

On suppose qu’une file ne peut d´epasser, en longueur, la longueur de son tron¸con. En supposant que, en g´en´eral, le bus se d´eplace plus vite que la vitesse de r´esorption

d’une file, on fait l’approximation que la longueur de la file pr´ec´edant le bus `a Tb, au

moment o`u il p´en`etre sur le tron¸con, sera la mˆeme lorsque le bus arrivera “en contact” avec elle, c’est-`a-dire au moment o`u il sera stopp´e par le dernier v´ehicule constituant la file (premi`ere partie de la figure 3.3). L’effet de cette approximation sera une l´eg`ere surestimation de T ABb.

Le bus est d´ej`a arriv´e

Si le bus n’est pas encore `a l’arrˆet, on fait le mˆeme genre d’approximation que pr´ec´e- demment : on consid`ere que la file courante pr´ec´edant le bus, fournie par les capteurs, n’aura pas chang´e de longueur lorsque le bus y sera stopp´e. S’il est d´ej`a `a l’arrˆet, on sup- pose que les capteurs peuvent nous fournir directement la longueur de la file pr´ec´edant celui-ci (la partie rouge sur la seconde partie de la figure 3.3).

Contraintes suppl´ementaires permettant d’´eviter la pr´esence du bus sur le tron¸con pendant deux mˆemes ´etats cons´ecutifs

Que le bus soit arriv´e ou non, pour ´eviter sa pr´esence sur le tron¸con pendant deux mˆemes ´etats (du feu) cons´ecutifs, nous ajoutons les contraintes suivantes :

1. Si un bus est arriv´e ou est pr´evu d’arriver durant un rouge, toute la file pr´esente au moment de la commutation au vert suivant ce rouge devra ˆetre r´esorb´ee durant le vert correspondant.

2. Si un bus est arriv´e ou est pr´evu d’arriver durant un vert, la dur´ee entre Tb et la

prochaine commutation (au rouge), sera impos´ee sup´erieure ou ´egale au minimum des deux valeurs suivantes : le temps de r´esorption de la file pr´ec´edant le bus et le temps n´ecessaire au bus pour traverser le tron¸con entier sans obstacle.

On pourra ´eventuellement consid´erer des contraintes “souples”, c’est-`a-dire pouvant potentiellement ˆetre viol´ees, mais entraˆınant un malus important report´e sur le crit`ere bus lorsque l’une d’elle l’est. Cela permet d’´eviter les cas o`u le solveur ne trouve aucune solution `a cause du fait que la file devant le bus ne peut pas ˆetre ´ecoul´ee en une seule fois (cas satur´e).