Des structures narratives complexes

O Modelo de Rede Espaço-Tempo é baseado na ideia de definir qual a frota que será utilizada em cada voo. No modelo de rede espaço-tempo, os nós representam um instante em um aeroporto para uma dada aeronave, sendo que os mesmos nós são usados para representar instantes de chegadas e partidas nos aeroportos (BERGE e HOPPERSTAD, 1993 apud SHERALI; BISH; ZHU, 2006; HANE et al., 1995). Este modelo representa o deslocamento espacial das aeronaves ao longo do tempo, alocando os voos

para as diferentes frotas. Tal representação é interessante e flexível, pois permite que o modelo defina as sequências de voos possíveis, não exigindo que estas sejam definidas a priori (SHERALI; BISH; ZHU, 2006).

Os arcos podem representar três diferentes tipos de movimentos entre os nós (BERGE e HOPPERSTAD, 1993 apud SHERALI; BISH; ZHU, 2006):

a. Arcos de Voo, que interligam um nó de um aeroporto a um nó de outro aeroporto, representando o tempo de voo. Estes arcos normalmente incorporam o tempo de manutenção básica.

b. Arcos de Solo, que interligam um nó de um aeroporto a outro nó deste mesmo aeroporto, respeitando a escala temporal, indicando o tempo que a aeronave permanece esperando no solo.

c. Arcos de Ciclo, que interligam o último nó de um aeroporto ao primeiro nó deste mesmo aeroporto, permitindo uma solução periódica, sendo comuns as programações para períodos de um dia ou uma semana.

Por utilizar uma estrutura de redes superpostas, uma para cada frota, este modelo permite a consideração de horários e tempos de voos e de manutenção básica diferenciados para cada tipo de aeronave (SHERALI; BISH; ZHU, 2006).

A Figura 3.2 apresenta a estrutura da rede utilizada no modelo, em um aeroporto com quatro voos chegando e quatro partindo (SHERALI; BISH; ZHU, 1989).

Considerando que um nó pode ser descrito por uma tríade (f,s,t) - respectivamente indicando o tipo da frota, o aeroporto e um instante de tempo -, e que cada arco de voo l pode ser representado pelo nó de origem

e pelo nó de destino, definem-se as varíaveis de decisão xfij - equivalentes a

xfl, se l representar o voo (i,j) -, binárias, que possuem valor 1 se e somente

se a frota f foi alocada ao voo l, que vai do nó i ao nó j.

Figura 3.2 - Modelo de Rede Espaço-Tempo. (baseado em SHERALI; BISH; ZHU, 2006)

Com base nestas variáveis, a estrutura básica do modelo é composta por uma função objetivo e três grupos de restrições básicas, podendo ser descrito como se segue (HANE et al. 1995; SHERALI; BISH; ZHU, 2006).

A função objetivo busca minimizar o custo total de alocação, ou seja, minimizar a somatória do custo de alocação de cada frota a cada voo específico. Considerando que L indica o conjunto de voos possíveis, F o conjunto de frotas e cfl o custo de alocar o voo l à frota f, a função objetivo

pode ser representada conforme a Eq. 3.27.

(3.27)

[min]

O primeiro grupo de restrições refere-se à cobertura dos voos, garantindo que cada voo seja alocado a uma e apenas uma aeronave de uma frota. Tais restrições estão descritas pela Eq. 3.28.

(3.28) fcF

x

= 1

≤l c L

O segundo grupo de restrições garante o equilíbrio ou a continuidade de equipamentos, fazendo com que o fluxo das aeronaves de uma frota tenha continuidade, isto é, que as aeronaves estabeleçam um caminho contínuo e cíclico. Isso é feito através de uma restrição de balanceamento de fluxo em cada nó, garantindo que todas as aeronaves de uma frota partam do mesmo nó em que cada uma delas chegou. Isso significa que, para cada nó da rede, todas as aeronaves que chegam, seja a partir de um arco de voo ou de solo, devem também partir daquele nó, seja por um arco de voo ou de solo.

Considerando o conjunto de aeroportos na rede S, o conjunto de nós na rede N, e as variáveis xfost, que representam as aeronaves da frota f que

chegam do aeroporto o ao aeroporto s no instante t, xfsdt, que representam

as aeronaves da frota f que partem do aeroporto s para o aeroporto d no instante t, yfst-t e yfstt+, que representam os fluxos de aeronaves da frota f no

solo do aeroporto s que chegam ao nó e que partem do nó que representa o instante t, respectivamente, as restrições de equilíbrio podem ser descritas conforme a Eq. 3.29.

(3.29)

ocS

x

+ y

−

x

+ y

= 0

≤{fst} c N

O terceiro grupo de restrições garante o respeito à disponibilidade de aeronaves, forçando a geração de uma programação factível, não utilizando mais aeronaves do que as disponíveis em cada frota. Considerando O(f) o conjunto de arcos da frota f que inclui um instante t, Af o número de

aeronaves disponível em cada frota f, W(s) o conjunto de arcos de solo do aeroporto s que inclui o instante t, e as variáveis yfw, que representam o fluxo

de aeronaves da frota f pelos arcos de solo w ∈ W(s), tais restrições podem ser descritas conforme a Eq. 3.30.

(3.30) lcO(f)

x

+

y

[ A

≤f c F

Neste modelo, diz-se que um arco "inclui o instante t" quando o instante representado pelo nó de origem deste arco for menor ou igual a t e o instante representado pelo nó de destino deste arco for maior que t. O valor de t para as restrições da Eq. 3.30 pode ser qualquer valor válido, isto é, um horário maior ou igual ao do início da programação de voos e menor ou igual ao do término da programação de voos. Adicionalmente, só é necessária uma equação de disponibilidade por frota pois, como os trilhos desenvolvidos são cíclicos, isto é, não há fontes e sorvedouros de aeronaves, o número de aeronaves utilizadas é igual e constante para qualquer instante t válido (SHERALI; BISH; ZHU, 2006).

Uma das limitações deste modelo é a incapacidade de distinguir as aeronaves de uma mesma frota nos arcos de solo, dificultando seu uso na etapa seguinte, a Atribuição de Aeronaves (SHERALI; BISH; ZHU, 2006). Por outro lado, desde os trabalhos de Berge e Hopperstad (1993) e Hane et al. (1995), este modelo tem sido o mais aceito devido à sua grande vantagem, que é um número de variáveis relativamente menor, se comparado ao modelo de conexões, uma vez que, em geral, o número de voos é consideravelmente menor do que o número de possibilidades de conexões entre voos (SHERALI; BISH; ZHU, 2006).

3.2.4.1. Considerações Sobre o Modelo

O ponto forte do modelo espaço-tempo proposto por Berge e Hopperstad é o uso de uma representação de rede que não precisa explicitar as conexões possíveis, reduzindo bastante o tamanho do modelo, mantendo a informação temporal que permite a definição de restrições operacionais atreladas a horários específicos.

O principal ponto fraco deste modelo é a fixação das demandas a voos específicos, não prevendo a possibilidade de realocação de demanda entre os voos. Apesar de permitir a implementação de restrição operacionais específicas, o modelo tradicional não as apresenta e, para algumas delas, o modelo apresenta certa limitação, ao impor que o tempo de manutenção pós-voo deva ser considerado como parte do tempo do arco de voo.

Finalmente, o modelo é rigidamente um modelo de cobertura, impedindo seu uso para a Programação de Voos, já que, segundo o modelo, todos os voos devem ser executados. A restrição de cobertura não pode ser relaxada, visto que a função objetivo envolve apenas a minimização dos custos de alocação; além do já mencionado problema relativo à dependência de custos e receitas para a Alocação de Frotas, caso a restrição seja relaxada o modelo provavelmente levará a uma solução em que todas as aeronaves permanecem no solo.

3.3. Modelos Integrados para Programação de Voos e Alocação de