1 x z 0 1 y 0 0 1 = 1 λx λµz 0 1 µy 0 0 1 . (1.2.6) De plus, en posant g0 = ψ(g) et Γ0 = ψ(Γ), on a ψ ◦ (Lg◦ φ) ◦ ψ−1 = Lg0◦ φ0 et g0φ0(Γ0)g0−1= Γ0, donc Lg0◦ φ0 passe au quotient en un difféomorphisme f0 de la nil-variété Γ0\Heis(3), et ψ induit un difféomorphisme naturel ¯ψ : Γ\Heis(3) → Γ0\Heis(3) tel que f0◦ ¯ψ = ¯ψ ◦ f . Finalement, tout
automorphisme affine partiellement hyperbolique d’une nil-variété est conjugué à un exemple construit à partir d’un automorphisme de la forme (1.2.6).
Comme c’est le cas pour les flots d’Anosov, les distributions invariantes d’un difféomorphisme partiellement hyperbolique sont en général seulement continues. Les automorphismes affines partiellement hyperboliques de nil-variétés sont donc tout à fait particuliers, car Es, Eu et Ec sont toutes trois lisses. Plus précisément, (Es, Eu) est une structure Lagrangienne de contact induite par une structure invariante à gauche sur Heis(3).
La classification générale des difféomorphismes partiellement hyperboliques en dimension trois fait l’objet d’une recherche intense, dont on peut trouver un exposé relativement récent dans [HP18]. Dans le chapitre 5 de cette thèse, nous nous intéresserons au cas particulier où (Es, Eu) est une structure Lagrangienne de contact et Ec est lisse. Si tous les points de f sont de plus non-errants, nous prouverons alors qu’à indices et itérées finies près, f est soit un temps non-nul d’un flot Anosov de contact algébrique, soit un automorphisme affine partiellement hyperbolique d’une nil-variété (voir théorème A.1). Notre outil principal dans cette preuve sera la géométrie de Cartan associée à toute structure Lagrangienne de contact, décrite aux chapitres 3 et 4, et le lien qu’elle fournit avec l’espace homogène modèle X.
1.3 Structures Lagrangiennes de contact en dimension
supé-rieure
Nous souhaitons maintenant généraliser à toute dimension impaire la notion de structure Lagrangienne de contact définie au paragraphe 1.1.1 pour la dimension trois. Mais quel sens donner à cette notion en dimension supérieure ? Nous avons déjà évoqué à plusieurs reprises l’importance de l’espace homogène modèle X des structures Lagrangiennes de contact de di-mension trois, et nous souhaitons conserver un objet du même type en didi-mension supérieure. Cette idée va guider les définitions que nous introduirons.
1.3.1 Définition en dimension supérieure
L’espace des droites projectives pointées X se généralise naturellement en dimension supé-rieure par la définition suivante.
Définition 1.3.1. Pour n ≥ 1, nous notons X2n+1 l’espace des hyperplans projectifs pointés (m, H) de RPn+1 (où H ⊂ RPn+1 est un hyperplan projectif et m ∈ H), et nous l’appelons
espace homogène modèle des structures Lagrangiennes de contact en dimension 2n + 1.5
La structure Lagrangienne de contact standard LX de X se généralise naturellement sur X2n+1 par le couple LX2n+1 = (Eα, Eβ) de distributions de dimension n dont les feuilles sont les fibres respectives des projections πα: (m, H) ∈ X2n+17→ m ∈ RPn+1 et πβ: (m, H) ∈ X2n+1 7→
H ∈ RPn+1
∗ (où RPn+1∗ désigne l’ensemble des hyperplans projectifs de RPn+1). Nous étudierons en détail au chapitre 2 l’espace (X2n+1, LX2n+1). Pour le moment, nous l’utilisons uniquement comme inspiration pour définir la notion de structure Lagrangienne de contact en dimension supérieure. Comme c’est le cas en dimension trois, on montre que Eα⊕ Eβ est une distribution de contact (cela apparaîtra comme une conséquence du lemme 1.3.7).
1.3. Structures Lagrangiennes de contact en dimension supérieure 23 Définition 1.3.2. Soit M une variété de dimension impaire égale à 2n + 1, et α une 1-forme sur M ne s’annulant pas. On dit que α est une forme de contact si α ∧ (dα)n ne s’annule pas sur
M . On appellera distribution de contact une distribution lisse d’hyperplans qui est localement
le noyau d’une forme de contact en tout point, et on appellera structure de contact la donnée d’une distribution de contact.
Remarque 1.3.3. 1. De façon équivalente, une 1-forme α ne s’annulant pas sur une variété M est
de contact si, et seulement si en tout point x ∈ M , la restriction de dα(x) à Ker α(x) est non-dégénérée, i.e. est symplectique (voir par exemple [Gei08, Remark 1.3.7]). Pour α une 1-forme et X, Y deux champs de vecteurs sur M , on rappelle la formule de Cartan :
dα(X, Y ) = X · α(Y ) − Y · α(X) − α([X, Y ]). (1.3.1) En particulier si X et Y sont deux champs de vecteurs locaux à valeur dans Ker α, alors
dα(X, Y ) 6= 0 si et seulement si [X, Y ] /∈ Ker α. On en déduit que H est une distribution de contact de M si, et seulement si pour tout champ de vecteur local X à valeurs dans H, il existe un champ de vecteur local Y à valeurs dans H tel que [X, Y ] /∈ H. En particulier, la définition 1.1.1 de distribution de contact donnée précédemment dans le cas particulier de la dimension trois correspond donc bien à la définition générale 1.3.2 que nous venons d’introduire. 2. Si deux 1-formes α et β ont localement pour noyau la même distribution d’hyperplans, alors β = f α pour une certaine fonction f ne s’annulant pas sur M . On a donc β ∧ (dβ)n =
fn+1α ∧ (dα)n, et α est une forme de contact si et seulement si β l’est. Par conséquent, le fait d’être de contact ne dépend que de la distribution et pas de la 1-forme, ce qui donne un sens à la notion de structure de contact.
Par analogie avec (X2n+1, LX2n+1), une structure Lagrangienne de contact L sur une variété
M de dimension 2n + 1 sera donc un couple L = (Eα, Eβ) de distributions lisses de dimension
n dont la somme est une distribution de contact. Quelles conditions locales doit-on
individuel-lement imposer sur les distributions Eα et Eβ? Les distributions de dimension un étant toutes localement équivalentes, cette question ne se posait pas en dimension trois. En revanche, à partir de la dimension deux les distributions ont des invariants locaux, et notre objectif étant d’obtenir une structure rigide, il semble peu probable que l’on puisse laisser une liberté totale sur la nature locale de Eα et Eβ.
Rappelons qu’une distribution E sur une variété M est dite intégrable s’il existe un feuilletage F de M qui intègre E, i.e. tel qu’en tout point x ∈ M , Tx(F (x)) = E(x). Selon le théorème de Frobenius, ceci est équivalent à ce que E soit involutive, i.e. que pour tout couple (X, Y ) de champs de vecteurs locaux à valeurs dans E, [X, Y ] ∈ E (voir par exemple [Sha97, Chapter 2 Theorem 4.1]). La condition d’intégrabilité est en ce sens la plus éloignée possible de celle de contact.
Les distributions Eα et Eβ de LX2n+1 sont par définition individuellement intégrables, et ont pour feuilles les fibres des projections παet πβ. Dans le cas général l’hypothèse d’intégrabilité sur les distributions α et β d’une structure Lagrangienne de contact sera cependant trop restrictive, et nous allons donc considérer des sous-distributions spécifiques d’une distribution de contact, qui en un certain sens se rapprochent le plus possible de l’intégrabilité.
Rappelons qu’une forme bilinéaire b sur un espace vectoriel réel V de dimension finie est dite
symplectique si elle est antisymétrique et non-dégénére, et que V est alors nécessairement de
dimension paire. En notant dim V = 2n, un sous-espace W de V est dit isotrope si la restriction de b à W × W est identiquement nulle, i.e. si W ⊂ W⊥ = {u ∈ V | b(u, W ) = 0}. Puisque b est non-dégénérée, dim W + dim W⊥ = dim V = 2n pour tout sous-espace, et un sous-espace isotrope est donc de dimension au plus n. On dit que W est Lagrangien s’il est isotrope et de dimension maximale, et il est alors de dimension n (pour plus de détails, voir par exemple [Gei08, §1.3]).
Comme on l’a vu dans la remarque 1.3.3, pour toute distribution de contact H et toute 1-forme α ayant localement H pour noyau, α est de contact et (H(x), dα(x)) est un espace vectoriel symplectique en tout point où α est définie. Une autre 1-forme β ayant localement le même noyau H est un multiple de α par une fonction lisse ne s’annulant pas, et en tout point où ces deux 1-formes sont définies, les sous-espaces isotropes (respectivement Lagrangiens) de (H(x), dα(x)) sont donc les même que ceux de (H(x), dβ(x)). Ces sous-espaces ne dépendent donc pas de la 1-forme choisie, mais seulement de la distribution H, ce qui autorise la définition suivante.
Définition 1.3.4. Soit H une distribution de contact sur une variété M de dimension 2n + 1. Une sous-distribution lisse E ⊂ H sera dite isotrope si E(x) est en tout point un sous-espace isotrope de H(x), et Legendrienne si elle est isotrope et de dimension maximale, i.e. de dimension
n.
Remarque 1.3.5. Selon la formule de Cartan (1.3.1), une sous-distribution E ⊂ H est donc
isotrope si, et seulement si en tout point x ∈ M , et pour tout couple de champs de vecteurs
X et Y localement définis et à valeurs dans E au voisinage de x, on a X · α(Y ) − Y · α(X) − α([X, Y ]) = 0 au voisinage de x. Puisque α(X) et α(Y ) sont identiquement nulles, cette identité
équivaut à α([X, Y ]) = 0, ou encore à ce que [X, Y ] soit à valeurs dans H. On obtient donc les caractérisations suivantes pour une variété M de dimension 2n + 1 munie d’une structure de contact H.
1. Une sous-distribution E ⊂ H est isotrope si, et seulement si pour tout couple X, Y de champs de vecteurs locaux à valeurs dans E, [X, Y ] est à valeurs dans H.
2. Une sous-distribution E ⊂ H est Legendrienne si, et seulement si elle est isotrope et de di-mension maximale, i.e. de didi-mension n. En particulier, toute sous-distribution intégrable de dimension n de H est Legendrienne.
Ceci nous amène enfin à la définition suivante.
Définition 1.3.6. Une structure Lagrangienne de contact sur une variété de dimension impaire 2n+1 est la donnée d’un couple (Eα, Eβ) de distributions lisses de dimension n, telles que Eα⊕Eβ
soit une distribution de contact dont Eαet Eβ sont des sous-distributions Legendriennes. Si Eα (respectivement Eβ) est intégrable, son feuilletage intégral est noté Fα (resp. Fβ).
La structure LX2n+1 = (Eα, Eβ) mise en évidence sur l’espace homogène modèle X2n+1 est donc bien une structure Lagrangienne de contact.
1.3.2 Au dessus des variétés projectives
La construction faite au paragraphe 1.1.1 a un analogue immédiat en dimension supérieure, qui nous donnera une famille d’exemples généralisant l’espace modèle (X2n+1, LX2n+1).
Soient N une variété de dimension n + 1 ≥ 2, et π : M = Grn(N ) → N le fibré des Grass-manniennes des hyperplans tangents à N . C’est une variété de dimension 2n + 1, classiquement nommée espace des éléments de contact de N (voir par exemple [Gei08, §1.2]). En tout hyperplan tangent m ∈ M , on pose H(m) = Dmπ−1(m), ce qui définit une distribution de codimension un sur M , appelée distribution de contact tautologique de M . On peut décrire H plus géométrique-ment de la manière suivante. Pour toute hypersurface Σ de N passant par le point x = π(m) et telle que TxΣ = m, considérons le relevé canonique ˜Σ = {(q, TqΣ) | q ∈ Σ} de Σ dans M , qui est une sous-variété de dimension n de M passant par m. L’ensemble des sous-espace TmΣ de˜ dimension n obtenus de cette manière, à partir des relevés des hypersurfaces Σ passant par x et tangentes à m, engendre un hyperplan dans TmM qui est égal à H(m).
On considère maintenant une connexion linéaire sans torsion ∇ sur N , et le transport parallèle qu’elle définit. Soient m ∈ M , x = π(m), et v ∈ m un vecteur tangent en x. En notant γ la géodésique de ∇ passant par x dans la direction v, le transport parallèle de l’hyperplan m le
1.3. Structures Lagrangiennes de contact en dimension supérieure 25 long de γ définit un relevé naturel passant par m de γ dans M , que nous noterons ˜γ. On peut
vérifier que l’ensemble des dérivées en m de ces relevés ˜γ des géodésiques de ∇ tangentes à m engendre dans TmM un sous-espace vectoriel de dimension n, que nous noterons E∇(m). Par construction, E∇(m) est contenu dans la distribution de contact tautologique H, et est transverse à la distribution verticale V = Ker Dπ du fibré M .
On peut également décrire E∇ d’une manière plus formelle, qui a le mérite de montrer que
E∇ est bien une distribution lisse de dimension n. La connexion linéaire ∇ est induite par une connexion principale sur le GLn(R)-fibré principal des repères tangents de N , et M étant un fibré associé du fibré des repères, il hérite donc d’une connexion générale induite par ∇. Une telle connexion est simplement la donnée d’une distribution D∇ horizontale sur M , i.e. transverse à la distribution verticale V de M . On peut alors vérifier que E∇= D∇∩ H.
Le lemme 1.1.2 a l’analogue suivant en dimension supérieure.
Lemme 1.3.7. 1. La distribution tautologique H de M = Grn(N ) → N est une distribution
de contact dont V est une sous-distribution Legendrienne.
2. Si N est munie d’une structure projective [∇] sans torsion, alors E∇ ne dépend que de
[∇] et est une sous-distribution Legendrienne de H que nous noterons E[∇].
Il est connu que H est bien une distribution de contact, la preuve se fait en coordonnée d’une manière analogue au lemme 1.1.2 pour la dimension trois (voir par exemple [Gei08, Lemma 1.2.3]). La distribution verticale V du fibré π étant intégrable, elle est en particulier Legen-drienne. La deuxième affirmation du lemme est prouvée dans [Tak94, Lemma 4.1 et Theorem 4.2] (voir aussi [ČS09, §4.4.2]). Dans ces références, le point de vue utilisé est celui du fibré P(T∗N ), projectivisé du fibré cotangent à N . Puisque ce dernier s’identifie canoniquement à
Grn(N ) en prenant le noyau des formes linéaires correspondantes, ces deux points de vue sont équivalents.
Si [∇] est une structure projective sans torsion sur N , le couple (V, E[∇]) est donc une struc-ture Lagrangienne de contact sur Grn(N ), que nous noterons simplement LN si la structure projective considérée sur N ne fait aucun doute. En particulier, si N est une variété Rieman-nienne, alors LN désigne la structure Lagrangienne de contact induite sur Grn(N ) par la classe projective de sa connexion de Levi-Civita.
Remarque 1.3.8. L’espace homogène modèle X2n+1 s’identifie naturellement au fibré des hyper-plans tangents à RPn+1 ((m, H) ∈ X2n+1 correspondant à TmH). À travers cette
identifica-tion, LX2n+1 correspond précisément à la structure Lagrangienne de contact L
RPn+1 induite sur Grn(RPn+1) par la structure projective standard de RPn+1.
Le nom de structure Lagrangienne de contact semble être utilisé pour la première fois par Takeuchi dans [Tak94]. Dans cet article, il décrit les exemples ci-dessus à partir des structures projectives, et donne une première construction de la géométrie de Cartan associée à une struc-ture Lagrangienne de contact.
1.3.3 Une structure invariante à gauche sur Heis(2n + 1)
Nous décrivons maintenant un exemple algébrique de structure Lagrangienne de contact. Considèrons le groupe d’Heisenberg de dimension 2n + 1, noté Heis(2n + 1) et défini comme le sous-groupe de SLn+2(R) constitué des matrices s’écrivant par blocs sous la forme
[X, Y, z] = 1 X z 0 In Y 0 0 1 , (1.3.2)
où X, Y ∈ Rn et z ∈ R. On utilisera pour son algèbre de Lie heis(2n + 1) la base suivante :
On utilise la même notation [X, Y, z] introduite ci-dessus dans (1.3.2) pour heis(2n + 1) (les diagonales des matrices étant nulles), et ei désigne le ième vecteur de la base canonique de Rn. Les vecteurs de cette base entretiennent alors les relations de crochets suivantes : [Xi, Yj] = δi,jZ
et [Xi, Xj] = [Yi, Yj] = [Z, Xi] = [Z, Yi] = 0, pour tous 1 ≤ i ≤ n et 1 ≤ j ≤ n. Considérons les sous-algèbres abéliennes Dα = Vect(Xi, 1 ≤ i ≤ n) et Dβ = Vect(Yi, 1 ≤ i ≤ n) de heis(2n + 1),
et les distributions invariantes à gauche associées Eα =Dgα et Eβ =gDβ sur Heis(2n + 1). Lemme 1.3.9. Le couple LHeis(2n+1) = (Eα, Eβ) est une structure Lagrangienne de contact
invariante à gauche sur Heis(2n + 1), et Eα ⊕ Eβ est isomorphe à la structure de contact
Ker(dz −Pn
i=1xidyi) sur R2n+1.
Démonstration. On note X = (x1, . . . , xn), Y = (y1, . . . , yn), et on considère la carte globale (x1, . . . , xn, y1, . . . , yn, z) ∈ R2n+1 7→ [X, Y, z] ∈ Heis(2n + 1), dont on note respectivement
∂ ∂xi, ∂y∂
i et ∂z∂ les champs de vecteurs coordonnées, et dxi, dyi, dz les 1-formes différentielles associées. Avec les notations de (1.3.2), la loi de groupe de Heis(2n+1) est donnée par : [X, Y, z]× [X0, Y0, z0] = [X +X0, Y +Y0, z +hX , Y0i+z0], où h· , ·i désigne le produit scalaire standard de Rn. Un calcul rapide nous donne alors les relations suivantes : ˜Xi= ∂x∂
i, ˜Yi= ∂y∂
i + xi∂z∂ et ˜Z = ∂z∂ . Par conséquent, Eα⊕ Eβ = Vect(∂x∂
i,∂y∂
i + xi∂z∂, 1 ≤ i ≤ n), et en posant α = dz −Pn
i=1xidyi, on a Ker α = Eα⊕ Eβ. Or α est la forme de contact standard de R2n+1 lue dans les coordonnées globales de Heis(2n + 1), donc Eα⊕ Eβ est une distribution de contact. Puisque Dα et Dβ sont des sous-algèbres abéliennes de heis(2n + 1), les distibutions invariantes à gauche Eα et Eβ qui leur sont associées sont intégrables. Selon la remarque 1.3.5 ce sont donc des sous-distributions Legendriennes de Eα⊕ Eβ, et (Eα, Eβ) est bien une structure Lagrangienne de contact.
En dimension trois, on simplifie nos notations en notant X = X1 et Y = Y1.
Lemme 1.3.10. Pour toute structure Lagrangienne de contact L invariante à gauche sur Heis(3), il existe un automorphisme de groupe φ de Heis(3) tel que φ∗L = LHeis(3).
Démonstration. Il existe v, w ∈ heis(3) tel que L = (R˜v, R ˜w), et on a [v, w] /∈ Vect(v, w). Notons
v = aX + bY + cZ et w = a0X + b0Y + c0Z. Alors [v, w] = (ab0− ba0)Z, donc ab0 − ba0 6= 0. L’automorphisme d’algèbre de Lie ϕ de heis(3) dont la matrice dans la base (X, Y, Z) est égale à
a a0 0
b b0 0
c c0 ab0−ba0
envoie (X, Y ) sur (v, w). Puisque Heis(3) est simplement connexe, il existe un automorphisme φ de Heis(3) dont la différentielle en l’identité est égale à ϕ. Puisque φ est un automorphisme, Deφ(X, Y ) = (v, w) implique φ∗L = LHeis(3).
En grande dimension, l’étude des structures Lagrangiennes de contact invariantes à gauche sur les groupes de Lie est non-triviale. Pour commencer, on ne sait pas, à ma connaissance, quels groupes de Lie admettent une structure de contact invariante à gauche (voir par exemple [Dia04]).
1.3.4 Flots Anosov de contact en dimension supérieure
Nous terminons ce chapitre en donnant des exemples de structures Lagrangiennes de contact de dimension supérieure provenant de la dynamique.
Le flot géodésique de toute variété Riemannienne à courbure sectionnelle strictement négative est de type Anosov. Cela a été prouvé par Anosov lui-même dans [Ano69], l’étude de ces flots étant sa motivation d’origine pour introduire cette propriété. Pour obtenir des distributions stable et instable lisses, nous nous restreignons au cas de variétés qui sont de plus localement
symétriques (voir par exemple [Hel01]).
Fait 1.3.11. Les distributions stable et instable du flot géodésique (ϕt) d’une variété Rieman-nienne compacte localement symétrique à courbure strictement négative forment une structure Lagrangienne de contact (Es, Eu) qui est préservée par le flot Anosov (ϕt).
1.3. Structures Lagrangiennes de contact en dimension supérieure 27
Démonstration. Soit (ϕt) le flot géodésique d’une variété Riemannienne compacte localement symétrique à courbure strictement négative, agissant sur son fibré unitaire tangent que l’on note
M . On note X le champ de vecteurs qui engendre (ϕt), et Es(respectivement Eu) sa distribution stable (resp. instable), et on admet que Es et Eu sont lisses (voir par exemple [BFL92, §7]). Soit α la 1-forme canonique de (ϕt), définie sur M par les égalités α(X) ≡ 1 et α|Es⊕Eu≡ 0. Elle est préservée par le flot géodésique, tout comme la forme de Liouville de M , que l’on note
θ. Soit x ∈ M et v ∈ Es(x). Par compacité de M , il existe une suite tn ∈ R partant à l’infini telle que ϕtn(x) converge. Puisque Es est uniformément contractée par (ϕt), on en déduit que
θϕtn(x)(Dxϕtn(v)) = θx(v) tend vers 0. Ainsi θ est nulle en restriction à Es, et il en va de même sur Eu (en remplaçant ϕt par ϕ−t). La définition de θ impliquant par ailleurs θ(X) ≡ 1, α coïncide finalement avec la forme de Liouville de M . Or cette dernière est une forme de contact, donc Es ⊕ Eu est bien une distribution de contact. Le même raisonnement montre que dα est nulle en restriction à Es × Es et Eu × Eu, i.e. que Es et Eu sont des sous-distributions Legendriennes de Es⊕ Eu. Le couple (Es, Eu) est donc une structure Lagrangienne de contact sur M , préservée par le flot Anosov (ϕt).
Dans [BFL92], Benoist, Foulon et Labourie généralisent le théorème 5.1.1 de Ghys, en prou-vant un résultat de classification qui implique l’énoncé suiprou-vant.
Theorem 1.3.12 (Benoist, Foulon, Labourie). Soit (ϕt) un flot d’Anosov lisse, tel que Eset Eu sont lisses, et tels que Es⊕ Eu soit une distribution de contact. Alors (Es, Eu) est une structure
Lagrangienne de contact, et quitte à changer son paramétrage ou à en prendre un revêtement fini, (ϕt) est le flot géodésique d’une variété Riemannienne compacte localement symétrique à
courbure strictement négative.
1.3.5 Géométries de chemins généralisées
À la lecture du paragraphe 1.3.2, on peut légitimement se demander pourquoi l’on considère en dimension quelconque le fibré des hyperplans tangents, et non plus simplement le projectivisé du fibré tangent comme en dimension deux. Observons brièvement ce que l’on obtiendrait sur ce dernier. Nous considérons donc une variété N de dimension n + 1, munie d’une structure projective sans torsion [∇], ainsi que son fibré π : M = P(TN ) → N . Soit l ∈ M , γ la géodésique de [∇] passant par π(l) dans la direction l, et ˜γ = {Tpγ | p ∈ γ} ⊂ M sa prolongation. La même
démarche qu’au paragraphe 1.1.1 nous amène à définir sur M une distribution E de dimension un en posant E(l) = Tlγ. cette distribution est transverse à la distribution verticale V du fibré˜
π : M → N , et est contenue dans la distribution de contact tautologique H de P(TN ), qui est
définie de la même manière qu’en dimension deux. En revanche si dim N ≥ 3, alors E ⊕ V est strictement contenue dans H. Dans ce cas, la structure (E, V ) obtenue sur M n’est donc pas Lagrangienne de contact, et est appelée géométrie de chemins généralisée dans la littérature.
Le modèle homogène de ces structures est donné par l’espace des droites projectives poin-tées de RPn+1 en toute dimension. Cet espace s’identifie au quotient de PGLn+2(R) par le stabilisateur de ([e1], [e1, e2]), qui est le sous-groupe parabolique Q2,n des matrices de la forme
a b 0 c B 0 C ,
où a, b, c ∈ R∗, B a 2 lignes et n colonnes, et C ∈ GLn(R).
On peut trouver une description détaillée des géométries de chemins généralisées dans [ČS09, §4.4.3]. Il y est prouvé qu’elles se décrivent également comme des géométries de Cartan, modelées cette fois sur l’espace homogène PGLn+2(R)/Q2,n.
Chapitre 2
Géométrie de l’espace modèle
Dans ce chapitre nous revenons en détail sur la géométrie de l’espace modèle X2n+1 des structures Lagrangiennes de contact. Nous commençons par le définir précisément, et par inter-préter sa structure Lagrangienne de contact standard LX2n+1 avec un point de vue algébrique, pour la traduire dans le quotient PGLn+2(R)/Pn+2 auquel s’identifie X2n+1. Nous introduisons ensuite deux familles d’objets géométriques naturels dans X2n+1, les surfaces α-β et β-α d’une part, et les chaînettes d’autre part. Nous utilisons les surfaces α-β et β-α pour définir différents ouverts de X2n+1, homogènes sous l’action de certains sous-groupes de PGLn+2(R), et que nous identifierons à des exemples rencontrés dans le premier chapitre. Ceci nous permettra en parti-culier de montrer que la structure Lagrangienne de contact LsuΣ invariante par le flot géodésique construite dans le premier chapitre sur le fibré unitaire tangent d’une surface hyperbolique Σ, est (à indice deux près) une structure Kleinienne, i.e. est un quotient d’un ouvert de X3 par un sous-groupe discret de PGL3(R) agissant librement et proprement. Nous terminons ce chapitre en décrivant une famille de cartes affines identifiant certains ouverts de X2n+1 à R2n+1.
2.1 Structure Lagrangienne de contact standard du modèle
Nous avons rapidement rencontré au chapitre 1 l’espace homogène modèle des structures Lagrangiennes de contact, et nous commençons par rappeler sa définition et ses premières pro-priétés.
2.1.1 Point de vue géométrique
Soit RPn+1l’espace projectif de dimension n+1, i.e. l’espace des droites vectorielles de Rn+2.