Conclusion de la preuve du théorème B

Il nous reste maintenant à nous affranchir du revêtement d’indice deux pour obtenir une compactification de T¹Σ.

6.4.3.a Position du problème

Soit S une surface topologique compacte non-connexe dont le groupe fondamental est fini-ment engendré. Si S est homéomorphe à R², on pose Σ = H². Sinon, il existe un groupe de Schottky Γ₀ dans PSL₂(R) tel que Σ := Γ0\H2 est homéomorphe à S. On note h₁, . . . , h_d des éléments hyperboliques de SL₂(R) à valeurs propres positives dont les images [h1], . . . , [h_d] dans PSL₂(R) forment un système de générateurs du groupe de Schottky Γ0 = h[h₁], . . . , [h_d]i (au sens défini au début du paragraphe 6.4.2). Nous notons également ˜Γ₀ = hh₁, . . . , h_di ⊂ SL₂(R) qui est un sous-groupe discret de SL₂(R), et en posant gi:= j(h_i) ∈ G, nous notons Γ = hg1, . . . , g_di le sous-groupe discret de G engendré par les g_i (i.e. Γ = j(˜Γ₀)).

Selon la proposition 2.3.4, en notant o_t:= ([1 : 0 : 1], [(1, 0, 1), (0, 1, 0)]) ∈ Y_t, g ∈ SL₂(R) →

j(g) · ot ∈ Y_t est un isomorphisme j-équivariant entre les structures Lagrangiennes de contact (SL₂(R), LSL2(R)) et Y_t, qui induit donc au quotient un isomorphisme ˜Γ₀\SL₂(R) ' Γ\Yt. Par ailleurs, la projection canonique SL₂(R) → PSL2(R) est un revêtement d’indice deux de (SL₂(R), LSL2(R)) sur (PSL₂(R), LPSL2(R)), qui induit au quotient un revêtement d’indice deux ˜Γ₀\SL₂(R) → Γ0\PSL₂(R). Or selon la proposition 1.2.2, Γ0\PSL₂(R) est isomorphe à (T¹Σ, L^su_Σ). On obtient donc finalement un revêtement d’indice deux p : Γ\Y_t→ (T1Σ, L^su_Σ). De plus, g₀:= j(− id) =    −1 0 0 0 −1 0 0 0 1   ∈ G

centralise Γ (car Γ ⊂ j(SL₂(R)), et − id centralise SL2(R)) et passe donc en particulier au quotient en un automorphisme ¯g₀ de la structure Lagrangienne de contact Kleinienne Γ\Y_t, qui est le seul automorphisme non-trivial du revêtement p : Γ\Y_t → T1Σ (car L_{− id} est le seul automorphisme non-trivial du revêtement SL₂(R) → PSL2(R)).

Selon la proposition 6.4.5 et le corollaire 6.4.7, il existe r ∈ N^∗ ainsi qu’un ouvert Ω de X contenant Y_t, tels que Γ⁰ := hg^r₁, . . . , g_d^ri ⊂ G agisse librement, proprement et cocompactement sur Ω, et tels que l’action du flot (j(e^tid))_t sur Γ⁰\Ω vérifie les propriétés dynamiques de la proposition 6.4.8. Posons Γ⁰₀ := h[hr

1], . . . , [h^r_d]i ⊂ PSL₂(R).

Fait 6.4.9. Γ⁰₀est un sous-groupe de Schottky de PSL₂(R), et Γ⁰0\H2 est homéomorphe à Γ₀\H2.

Démonstration. Soient E_i^± les demis-disques hyperboliques fermés apparaissant dans la défini-tion du groupe de Schottky Γ₀ (voir début du paragraphe 6.4.2). Pour tout i, posons E_i⁰⁻= E⁻_i et E_i⁰⁺ = H² \ [hr

i](Int E_i⁰⁻). Pour tout i, [h^r_i] a le même point fixe répulsif (respectivement attractif) que [h_i] sur ∂H², qui est donc contenu dans l’adhérence de E_i⁰⁻dans ∂H² (resp. dans celle de E_i⁰⁺). De plus E_i⁺ = H²\ [h_i](Int E_i⁻), donc E⁰_i⁺ = [h^r−1_i ](E_i⁺) ⊂ E_i⁺. Par suite pour tout k 6= l, on a encore (E_k⁰⁻∪ E_k⁰⁺) ∩ (E_l⁰⁻∪ E_l⁰⁺) = ∅. Ceci montre que Γ⁰0 est un sous-groupe de Schottky de PSL₂(R). De plus D := H²\ ∪_i(E_i⁻∪ E_i⁺) est un domaine fondamental pour l’action de Γ₀ sur H², et D⁰:= H²\ ∪_i(E_i⁰⁻∪ E_i⁰⁺) en est un pour l’action de Γ⁰₀. En notant C_i^± = ∂E^±_i et C_i⁰± = ∂E⁰_i^±, on a ∂D = ∪_i(C_i⁻∪ C_i⁺) et ∂D⁰ = ∪_i(C_i⁰⁻∪ C_i⁰⁺). On définit sur D une relation d’équivalence ∼ en posant pour seule relation non-triviale (i.e. différente de x ∼ x) : x ∼ h^−ε_i (x) pour i quelconque, ε = ± et x ∈ C_i^ε. On définit la relation ∼⁰ analogue sur D⁰ avec x ∼⁰ h^−εr_i (x) pour x ∈ C_i^0ε. Alors Γ₀\H2 est homéomorphe à ∼ \D et Γ⁰₀\H2 à ∼⁰ \D0. Il ne reste plus qu’à définir un homéomorphisme ϕ de D sur D⁰ tel que x ∼ y si, et seulement si x ∼⁰ ϕ(x). Il existe ε1, . . . , ε_d> 0 tels qu’en posant Ui = H²\ [h^1−εi

i ](E_i⁻), U_i est pour tout i un demi-disque ouvert de H² qui est un voisinage ouvert de E_i⁺, disjoint de U_k pour tout k 6= i, et de E_k⁻ pour tout k.

En restriction à H2\ ∪_iU_i, on pose ϕ = id. Sur chaque U_i, la situation est homéomorphe à la suivante : U_i s’identifie à R², C_i⁺ et C_i⁰⁺ s’envoyant sur deux droites horizontales. Il suffit alors de prolonger x ∈ C_i⁺7→ [h^r−1_i ](x) ∈ C_i⁰⁺ en un homéomorphisme de R², pour que ϕ|_Ui préserve les relations d’équivalences. On obtient finalement un homéomorphisme ϕ : D → D⁰ qui vérifie la propriété voulue, ce qui conclut la preuve.

Puisque seul le type topologique de la surface hyperbolique nous intéresse dans l’énoncé du théorème B, on peut donc remplacer dans la suite de la preuve Γ₀ par Γ⁰₀, Σ par Γ⁰₀\H2 et Γ par Γ⁰. Alors Γ agit librement, proprement et cocompactement sur Ω, et M := Γ\Ω est une compactification Lagrangienne de contact de N := Γ\Y_t qui vérifie les propriétés dynamiques de la proposition 6.4.8. Notons que si l’on est parti de la surface topologique S = R², alors Σ = H², donc Γ = {id}, et M = X est une compactification de N = Y_tqui vérifie les propriétés dynamiques voulues selon le lemme 6.3.3.

Le chemin semble maintenant tout tracé. Il ne nous reste plus qu’à quotienter le revêtement double p : Γ\Y_t → T1Σ par son unique automorphisme non-trivial ¯g₀ pour obtenir un isomor-phisme, et nous voudrions donc quotienter M par ce même automorphisme pour obtenir une compactification de T¹Σ. C’est là qu’une difficulté nous arrête provisoirement : g₀ fixe des points sur Ω, et nous n’obtiendrons donc pas une variété au quotient. Ceci nous oblige à construire à partir de M une autre compactification de N , sur laquelle g₀ ne fixera aucun point.

6.4.3.b Dans un revêtement de X d’indice quatre

Considérons l’espace P⁺(R³) des demi-droites de R³ (i.e. R³ \ {(0, 0, 0)} quotienté par la relation d’équivalence x ∼ λx pour λ ∈ R⁺∗) que nous notons ˆS², et son fibré des demi-droites tangentes que nous notons ˆX := P⁺(TˆS²). Il existe une projection naturelle de ˆX sur l’espace modèle X définie par π : R⁺∗u ∈ P+(T_[x]S^ˆ2) 7→ (Rx, Vect(x, u)) ∈ X et qui est un revêtement d’indice quatre. Nous munissons ˆX de la structure lagrangienne de contact L_Xˆ := π^∗L_X, de sorte que π : ˆX → X est un revêtement entre les structures Lagrangiennes de contact de ˆX et de X. On peut remarquer que ˆX s’identifie à T1S2 via u ∈ T¹_xS2 7→ R+

∗u ∈ P⁺(T

R⁺∗xSˆ2), qui est un isomorphisme entre les structures Lagrangiennes de contact L_S2 et L_Xˆ.

L’action de GL₃(R) sur R3\ {(0, 0, 0)} passe au quotient sur ˆS2, et induit donc une action de GL₃(R) sur ˆX. Cette action n’est pas fidèle, et nous munissons ˆX de l’action de PGL3(R) définie par

[g] · x := (det g)g · x

pour tout [g] ∈ PGL₃(R) et x ∈ ˆX. Cette action est bien définie car pour λ ∈ R^∗ et h = λg on a (det h)h = λ⁴(det g)g, et puisque λ⁴ > 0, (det h)h et (det g)g ont la même action sur X. Le

revêtement d’indice quatre π : ˆX → X est équivariant pour l’action de PGL₃(R) sur ˆX.

Choisissons ˆo_t ∈ π−1(o_t). Alors j(SL₂(R)) agit librement sur l’orbite de ˆo_t. En effet pour

g ∈ j(SL2(R)), si g · ˆot= ˆot alors g · o_t= o_t par équivariance de π, donc g = id car j(SL₂(R)) agit librement sur Y_t. Par suite

ι : g · ot∈ Y_t7→ g · ˆot∈ ˆX

est un plongement (où g ∈ j(SL₂(R))), qui est j(SL2(R))-équivariant, et qui est une section de

π au dessus de Yt et à valeurs dans ˆΩ := π⁻¹(Ω) ⊂ ˆX.

Fait 6.4.10. 1. Γ agit librement, proprement et cocompactement sur ˆΩ. 2. g₀ agit sans point fixe sur ˆX.

3. ˆΓ := hΓ, g₀i = Γ ∪ g₀Γ est un sous-groupe discret de G, qui stabilise Ω et ˆΩ. 4. ˆΓ agit librement et proprement sur Y_t et ˆΩ, et ˆΓ\ ˆΩ est compact.

Démonstration. 1. L’action de Γ sur ˆΩ est libre (respectivement propre) car elle l’est sur Ω =

6.4. Preuve du théorème B 157 sont finies, ce qui impose à Γ\ ˆΩ d’être compacte car Γ\Ω l’est.

2. En effet les seuls points fixes de l’action de g₀sur ˆS² sont N := R⁺∗(0, 0, 1) et S := R⁺∗(0, 0, −1), donc les points fixes de g₀ sur ˆX sont contenus dans F^α(N ) ∪ F^α(S). Or pour x = N ou S, l’action de g₀ sur F^α(x) est conjuguée à celle de Dg₀ sur P+(T_xS^ˆ2), donc à celle de − id sur P⁺(R²), qui n’a aucun point fixe.

3. Selon la proposition 6.4.6, X \ Ω = ∪_{γ∞∈∂Γ}(C_α(p₊(γ_∞)) ∪ C_β[p₊(γ_∞), e₃]), où p₊(γ_∞) ∈ [e₁, e₂] est le point attractif commun dans RP2 de toutes les sous-suites de (γ_n) partant simplement à l’infini, avec (γ_n) la suite des sous-mots de longueurs finies de γ∞ ∈ ∂Γ. Puisque g₀ agit trivialement sur [e₁, e₂] et fixe [e₃], il fixe donc p₊(γ_∞) et [p₊(γ_∞), e₃] pour tout γ_∞ ∈ ∂Γ, et stabilise donc les cercles α et β associés. Par suite g₀ stabilise X \ Ω, et donc Ω. Puisque Γ stabilise Ω par construction, ˆΓ stabilise donc bien Ω, et il stabilise également ˆΩ = π⁻¹(Ω) car π est PGL₃(R)-équivariante.

4. Supposons par l’absurde qu’il existe une suite γ_n∈ ˆΓ = Γ∪g₀Γ non-stationnaire et convergeant vers id. Alors {γ_n| n ∈ N} est infini, et on peut donc supposer quitte à extraire que (γn) est entièrement contenue dans Γ, ou dans g₀Γ. Le premier cas contredirait le fait que Γ est discret. Dans le second cas, (g₀⁻¹γ_n) est alors une suite convergente dans Γ, qui doit donc rester dans un ensemble compact, donc fini car Γ est discret, ce qui contredit le fait que (γ_n) est non-stationnaire.

Traitons maintenant de la liberté. On sait déjà que Γ ⊂ j(SL₂(R)) agit librement sur Yt

(respectivement ˆΩ), et il suffit donc de montrer que pour tout γ ∈ Γ, g0γ n’a aucun point fixe

sur Y_t(resp. ˆΩ). Notons que g₀ ∈ Γ car tout élément de Γ est hyperbolique, donc g/ 0γ 6= id. Pour x ∈ Y_t, g₀γ · x = x impose g₀γ = id car g₀ ∈ j(SL₂(R)) qui agit librement sur Yt, ce qui contredit

g0∈ Γ. Donc ˆ/ Γ agit librement sur Y_t. Supposons par l’absurde que g0γ·x = x avec x ∈ ˆΩ et γ ∈ Γ. Alors pour tout n ∈ N, une récurrence immédiate montre que (g0γ)²ⁿ· x = x, or (g0γ)²ⁿ= γ²ⁿ car g₀et γ commutent et g₀est d’ordre deux, d’où γ²ⁿ·x = x pour tout n. Par compacité de X, il existe une suite n_k∈ N strictement croissante telle que π(γ2nk· x) = γ2nk· π(x) = π(x) converge vers un point x_∞, et on a donc x_∞= π(x). Or π(x) ∈ Ω, donc π(x) /∈ C_α⁻((γ²ⁿk))∪C_β⁻((γ²ⁿk)), car C_α⁻((γ²ⁿk))∪C_β⁻((γ²ⁿk)) = C_α(p₊(γ_∞))∪C_β[p₊(γ_∞), e₃] ⊂ X\Ω, en posant γ_∞= γ⁻¹γ⁻¹γ⁻¹· · · ∈

∂Γ. Selon le lemme 6.3.4, on a donc x∞∈ C+

α((γ²ⁿk)) ∪ C_β⁺((γ²ⁿk)), qui est contenu dans X \ Ω. Ceci contredit le fait que π(x) = x_∞∈ Ω.

Nous montrons maintenant la propreté. Soit U = Y_t ou ˆΩ, et soient x_n ∈ U convergente et γ_n∈ ˆΓ partant à l’infini. Nous devons montrer que (γ_n· x_n) est non-relativement compacte. Quitte à extraire, nous pouvons supposer par principe des tiroirs que (γ_n) est intégralement contenue dans Γ, ou dans g₀Γ, et nous pouvons de plus précomposer par g₀⁻¹ car cela ne change ni les hypothèses ni la conclusion. On est alors ramené à la propreté de l’action de Γ sur U , que nous avons déjà vérifiée.

Enfin, ˆΓ\ ˆΩ est compact car il est l’image de l’espace compact Γ\ ˆΩ par la projection continue Γ · x ∈ Γ\ ˆΩ 7→ ˆΓ · x ∈ ˆΓ\ ˆΩ, bien définie car Γ ⊂ ˆΓ.

Revenons maintenant à la situation à laquelle nous étions resté à la fin du paragraphe précédent. Le revêtement double p : Γ\Y_t→ T1Σ passe au quotient sous l’action de ¯g0 (qui est son unique automorphisme non-trivial), en un isomorphisme ¯p : ˆΓ\Y_t→ (T1Σ, L^su_Σ) de structures Lagrangiennes de contact. D’autre part en posant ˆM := ˆΓ\ ˆΩ, ι : Y_t → ˆΩ passe au quotient en un plongement ¯ι : ˆΓ\Y_t → ˆM . Alors en posant ˆN := ¯ι(ˆΓ\Y_t), ¯ι ◦ (¯p)⁻¹ est un plongement de (T¹Σ, L^su_Σ) dans la structure Lagrangienne de contact compacte ˆM (munie de la structure plate

induite par celle de ˆX), d’image ˆN .

Notons ¯π : Γ\ ˆΩ → Γ\Ω = M le revêtement d’indice quatre induit par π, et ˆπ : Γ\ ˆΩ → ˆΓ\ ˆΩ = ˆ

M le revêtement double canonique induit par l’inclusion du sous-groupe Γ d’indice deux dans

ˆ

Γ. Soient O ⊂ M l’ouvert dense dans M et F⁺ ⊂ M l’union finie de cercles fournis par la proposition 6.4.8. Alors ˆO := ˆπ(¯π⁻¹(O)) est ouvert et dense dans ˆM (car ¯π et ˆπ sont continues,

ouvertes et surjectives), et ˆF+ := ˆπ(¯π⁻¹(F⁺)) est une sous-variété compacte de dimension un (car ¯π et ˆπ sont des revêtements), i.e. est une union finie de cercles. Le flot géodésique de T¹Σ

correspond dans ˆΓ\Y_t à ϕt:= j(etid), qui s’étend sur tout ˆM en un flot d’automorphismes que

nous notons encore (ϕ^t).

Soit K ⊂ ˆO un compact, et t_n ∈ R telle que lim tn = +∞, tels que lim ϕ^tn(K) = K_∞. Alors K⁰ = ˆπ⁻¹(K) est un compact de Γ\ ˆΩ contenu dans ¯π⁻¹(O). En effet, nous avons vu au cours de la preuve de la troisième affirmation du fait 6.4.10 que g₀ stabilise Λ = X \ Ω, donc en reprenant la définition de O dans la preuve de la proposition 6.4.8, on en déduit que g₀ stabilise

U := Yt\ φ⁻¹(Λ) ⊂ X, où φ : X → C⁺ est la projection ρ∞-équivariante du lemme 6.3.3 (notons que g₀ ∈ Stab[e₃] ∩ Stab[e1, e2], donc ρ_∞(g₀) = g₀). Ceci montre que g₀ stabilise O, qui est l’image de U par la projection canonique Ω → Γ\Ω = M . Puisque O est g₀-invariant et que ¯

π est équivariante, ¯π⁻¹(O) est donc g₀-invariant, et puisque ˆπ(K⁰) ⊂ ˆπ(¯π⁻¹(O)), ceci impose

K⁰ ⊂ ¯π⁻¹(O). Quitte à extraire, (ϕ^tn(K⁰)) converge vers un compact K_∞⁰ , et puisque ¯π(K⁰) ⊂ O, on a donc ¯π(K_∞⁰ ) = lim ¯π(ϕ^tn(K⁰)) = lim ϕ^tn(¯π(K⁰)) ⊂ F⁺, i.e. K_∞⁰ ⊂ ¯π⁻¹(F⁺). Par ailleurs, ˆ

π(K_∞⁰ ) = lim ˆπ(ϕtn(K⁰)) = lim ϕ^tn(K) = K∞, donc finalement K∞ ⊂ ˆπ(¯π⁻¹(F⁺)) = ˆF+. Ceci montre que (ϕ^t) vérifie les propriétés dynamiques affirmées dans le théorème B pour les ensembles ˆO et ˆF+.

Il ne nous reste plus qu’à montrer que ceci interdit à (ϕ^t) d’être conservatif pour terminer la preuve du théorème B. Soit µ une mesure borélienne sur ˆM à densité par rapport à la mesure

de Lebesgue, et soit K un compact de ˆO d’intérieur non-vide (ceci existe car ˆO est ouvert et

non-vide). Par compacité de l’espace des compacts de ˆM , il existe une suite tn∈ R tendant vers +∞ telle que ϕ^tn(K) converge pour la topologie de Hausdorff vers un compact K_∞de ˆM , ce qui

implique lim µ(ϕ^tn(K)) = µ(K_∞) par régularité de la mesure µ. Or µ est supposée absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue, donc µ(K) > 0 et µ(F⁺) = 0, d’où µ(K∞) = 0. À partir d’un certain rang, on a donc µ(ϕ^tn(K)) < µ(K), ce qui interdit à (ϕ^t) de préserver µ.