son âme), soit disjoint de Sα,β (s’il est disjoint de son âme). De manière analogue, toute surface
β-α Sβ,α contient intégralement un unique cercle beta Cβ qui est son âme (vérifiant Sβ,α = ∪x∈CβCα(x)), et son intersection avec tout autre cercle β est un point, alors qu’un cercle α est soit intégralement contenu dans Sβ,α, soit disjoint de Sβ,α.
Deux surfaces indifféremment α-β ou β-α s’intersectent toujours. Plus précisément, deux surfaces α-β (respectivement β-α) non confondues s’intersectent selon un cercle β (resp. α). L’intersection entre une surface α-β Sα,β(x) et une surface β-α Sβ,α(y) est plus intéressante car deux cas sont possibles. Le cas générique est celui où x /∈ Sβ,α(y) (i.e. y /∈ Sα,β(x), ou encore
πα(x) /∈ πβ(y)). Dans ce cas Sα,β(x) ∩ Sβ,α(y) est une chaînette de X (qui est égale àCπβ(y),πα(x), voir l’exemple 2.2.8). Le cas où x ∈ Sβ,α(y) est en quelque sorte un cas dégénéré. Dans ce cas en effet, Sα,β(x) ∩ Sβ,α(y) n’est pas une sous-variété car elle est l’union d’un cercle α et d’un cercle
β (qui sont respectivement l’âme de Sα,β(x) et celle de Sβ,α(y)) qui s’intersectent selon le point (πα(x), πβ(y)) ∈ Sα,β(x) ∩ Sβ,α(y).
Remarque 2.2.10. Puisque l’action de PGL3(R) préserve la relation m ∈ D, les deux types diffé-rents de couples (Sα,β, Sβ,α) que nous venons de décrire, respectivement génériques ou dégénérés, sont préservés par l’action de PGL3(R). Plus précisément, l’action de PGL3(R) est transitive sur l’ensemble des couples (Sα,β, Sβ,α) de type générique, ainsi que sur l’ensemble des couples de type dégénéré (car elle est transitive sur (RP2× RP2
∗) \ X, ainsi que sur X).
2.3 Quelques ouverts homogènes de l’espace modèle
Une manière naturelle d’obtenir des ouverts de X2n+1 « assez symétriques », i.e. admettant un stabilisateur dans PGLn+2(R) qui soit au moins non trivial et peut-être particulièrement intéressant, est de retirer à X2n+1 certaines des hypersurfaces α-β et β-α que nous avons défi-nies précédemment. Dans les deux derniers paragraphes de ce chapitre, nous allons étudier la géométrie de certains ouverts de X2n+1 obtenu de cette manière. Notre objectif est entre autres d’interpréter ces ouverts comme les structures Lagrangiennes de contact associées à certaines variétés Riemanniennes à courbure constante.
Rappelons que pour toute variété Riemannienne N , nous avons défini au paragraphe 1.3.2 du chapitre 1 une structure Lagrangienne de contact LN sur le fibré Grn(N ) des Grassmanniennes des hyperplans tangents à N .
2.3.1 Espace des hyperplans affines pointés
L’espace des droites affines pointées de R2 défini au chapitre 1 (voir définition 1.1.6) se généralise naturellement en dimension quelconque de la manière suivante.
Définition 2.3.1. Nous notons Xa2n+1 l’espace des hyperplans affines pointés (p, H) de Rn+1(où
H ⊂ Rn+1 est un hyperplan affine et p ∈ H). Nous le munissons de la structure Lagrangienne de contact LXa
2n+1 dont les distributions sont intégrables, et dont les feuilles α et β de (p, H) ∈ Xa2n+1 sont décrites de la manière suivante :
Fα(p, H) = {(p, K) | K 3 p} et Fβ(p, H) = {(q, H) | q ∈ H} .
Pour A ∈ GLn+1(R) et V ∈ Rn+1, nous notons A+V la transformation affine X 7→ A(X)+V de Rn+1. Sauf mention explicite du contraire, nous interprétons toujours le groupe Aff(Rn+1) des transformations affines de Rn+1comme un sous-groupe de PGLn+2(R) à travers le plongement
j : A + V ∈ Aff(Rn+1) 7→ " A V 0 1 # ∈ PGLn+2(R), (2.3.1)
de sorte que Aff(Rn+1) ≡ j(Aff(Rn+1)) est le stabilisateur dans PGLn+2(R) de l’hyperplan projectif
H := [e1, . . . , en+1] ⊂ RPn+1.
Proposition 2.3.2. 1. L’espace (Xa2n+1, LXa
2n+1) s’identifie d’une part à (Grn(Rn+1), L
Rn+1),
et d’autre part à l’ouvert X2n+1\ Sβ,α(H) de X2n+1 de manière Aff(Rn+1)-équivariante.
2. De plus, X2n+1\Sβ,α(H) est homogène sous l’action de Aff(Rn+1), dont les deux autres orbites
dans X2n+1 sont Cβ(H) et Sβ,α(H) \ Cβ(H).
Démonstration. 1. L’application (p, H) ∈ Xa2n+1 7→ TpH ∈ Grn(TxRn+1) est un difféomor-phisme, dont on vérifie facilement qu’il envoie LXa
2n+1 sur LRn+1. Nous identifions Rn+1 à RPn+1\ H de manière j-équivariante à travers la carte affine
J : (x1, . . . , xn+1) ∈ Rn+17→ [x1 : . . . , xn+1 : 1] ∈ RPn+1\ H, (2.3.2) par laquelle les hyperplans affines de Rn+1 correspondent aux hyperplans projectifs de RPn+1 distincts de H (notons qu’en identifiant Ha:= Vect(e1, . . . , en+1) + en+2 à Rn+1 par translation, on a J (m ∩ Ha) = m pour tout m ∈ RPn+1 \ H). Ceci induit un plongement j-équivariant (p, H) 7→ (J (p), J (H)) de Xa2n+1 dans X2n+1 que nous notons encore J , et dont l’image est l’ouvert πα−1(RPn+1\ H) = X2n+1\ Sβ,α(H) de X2n+1. Par construction, J envoie les feuilletages
α et β de Xa2n+1 sur ceux de X2n+1, i.e. est un isomorphisme de Xa2n+1 sur X2n+1.
2. L’action de GLn+1(R) sur RPnétant transitive, Cβ(H) est bien une orbite de Aff(Rn+1). Pour prouver que Sβ,α(H) \ Cβ(H) est une orbite de Aff(Rn+1), il faut vérifier que StabAff(Rn+1)([e1]) agit transitivement sur les hyperplans projectifs contenant [e1] et distincts de H. Via J , ceux-ci correspondent aux hyperplans affines de Rn+1contenant [e1], et quitte à faire agir les translations, on peut se restreindre aux hyperplans vectoriels. Or StabGLn+1(R)([e1]) agit transitivement sur les hyperplans vectoriels contenant [e1], donc Sβ,α(H) \ Cβ(H) est bien une orbite de Aff(Rn+1). Enfin, J (Xa2n+1) est une orbite de Aff(Rn+1) car Aff(Rn+1) agit transitivement sur Xa2n+1.
Nous identifierons toujours Xa2n+1 à l’ouvert X2n+1\ Sβ,α(H) par le plongement
J : Xa2n+1 → X2n+1
décrit dans la preuve ci-dessus, et tous les ouverts de X2n+1 que nous allons étudier seront contenus dans Xa2n+1≡ X2n+1\ Sβ,α(H).
Notons que la description que nous avons faite pourrait évidemment être transposée pour n’importe quel hyperplan projectif K. Le stabilisateur de K dans PGLn+2(R) est conjugué à Aff(Rn+1), et cette conjugaison définit une action de Aff(Rn+1) sur X2n+1 qui a pour orbites Cβ(K), Sβ,α(K) \ Cβ(K) ainsi que l’orbite ouverte X \ Sβ,α(K). La structure obtenue en retirant à X2n+1 une surface β-α est donc celle de Xa2n+1, à conjugaison près par PGLn+2(R).
2.3.2 Ouvert de type Lorenzien
Nous notons R1,n+1 et appelons espace de Minkowski l’espace Rn+2 muni de la forme qua-dratique Lorentzienne q1,n+1(x1, . . . , xn+2) = x21 + · · · + x2n+1− x2
n+2. Nous utilisons le mo-dèle projectif de Klein pour l’espace hyperbolique Hn+1, que nous identifions donc à l’ouvert [q1,n+1 < 0] ⊂ RPn+1 des droites de type temps de R1,n+1, contenu dans RPn+1\ H. Dans ce modèle, le groupe des isométries de Hn+1 préservant son orientation est égal à la composante neutre SO0(1, n + 1) de StabGLn+2(R)(q1,n+1).
Proposition 2.3.3. L’espace (Grn(Hn+1), LHn+1) est naturellement isomorphe à l’ ouvert de type Lorentzien YL:= πα−1(Hn+1) de X2n+1, qui est homogène sous l’action de SO0(1, n + 1) et
2.3. Quelques ouverts homogènes de l’espace modèle 39
Démonstration. Les géodésiques de Hn+1 dans le modèle projectif de Klein sont des segments de droites projectives. Par suite, le difféomorphisme (m, H) ∈ X2n+1 7→ TmH ∈ Grn(RPn+1) se restreint en une identification SO0(1, n + 1)-équivariante de YL= π−1α ([q1,n+1< 0]) ⊂ X2n+1
avec Grn(Hn+1), qui envoie LX2n+1 sur LHn. Puisque l’action de SO0(1, n + 1) sur Grn(Hn+1) est transitive, elle est donc transitive sur YL. Enfin, puisque [q1,n+1 < 0] ⊂ RPn+1\ H, il est clair que YL⊂ X2n+1\ Sβ,α(H).
Dans le cas particulier de la dimension trois, l’action de SO0(1, 2) sur T1H2 est simplement transitive, et (T1H2, LH2) est un revêtement double de YL.1 Il est de plus possible de décrire précisément les autres orbites de SO0(1, 2) dans X (voir par exemple [Bar10, Remark 3.17 p.169]). En particulier, on remarque facilement que YLn’est pas la seule orbite ouverte de SO0(1, 2), i.e. que X \ YL est d’intérieur non-vide.
2.3.3 Ouvert de type tore
Dans ce paragraphe, nous travaillons exclusivement dans l’espace modèle X = X3 de dimen-sion 3. Nous utilisons le travail fait au paragraphe 2.3.1, en voyant GL2(R) comme un sous-groupe de PGL3(R) via le plongement j (voir (2.3.1)), et en identifiant X \ Sβ,α[e1, e2] à l’espace Xades droites affines pointées de R2 via J (voir proposition 2.3.2). L’intersection Sβ,α[e1, e2] ∩ Sα,β[e3] est la chaînette de X définie par [e1, e2] et [e3], que nous noteronsC (voir exemple 2.2.8). Nous munissons SL2(R) de sa structure Lagrangienne de contact invariante à gauche LSL2(R), définie au paragraphe 1.1.4 et engendrée par les droites (RE, RF ) dans sl2.
Proposition 2.3.4. 1. Les orbites de SL2(R) sur X sont les suivantes :
– trois orbites de dimension un, qui sont les cercles topologiques Cα[e3], Cβ[e1, e2] et C ;
– deux orbites de dimension deux, qui sont les rubans de Möbius Sα,β[e3] \ (Cα[e3] ∪C ) et Sβ,α[e1, e2] \ (Cβ[e1, e2] ∪C ) ;
– et une orbite ouverte où SL2(R) agit simplement transitivement, qui est le tore solide
Yt:= X \ (Sβ,α[e1, e2] ∪ Sα,β[e3]), correspondant dans Xa à l’ensemble des droites affines pointées de R2 ne passant pas par l’origine.
2. De plus, l’action de SL2(R) sur ot= J (e1+Re2) ∈ Ytinduit un isomorphisme de (SL2(R), LSL2(R))
sur Yt.
Démonstration. 1. L’action de SL2(R) sur RP1étant transitive, il est clair que Cα[e3], Cβ[e1, e2] et C sont des orbites de SL2(R) dans X. Pour prouver que Sβ,α[e1, e2]\(Cβ[e1, e2]∪C ) est une orbite de SL2(R), nous devons vérifier que StabSL2(R)([e1]) agit transitivement sur [e2, e3] \ {[e2], [e3]}. C’est le cas car l’action de {(∗ 00 ∗)} sur RP1\{[e1], [e2]} est transitive. Le même argument montre que Sα,β[e3] \ (Cα[e3] ∪C ) est bien une orbite de SL2(R). Enfin, Yt= X \ (Sβ,α[e1, e2] ∪ Sα,β[e3]) est l’image par J des droites affines pointées de R2 ne contenant pas l’origine. Puisque SL2(R) agit transitivement sur le plan privé de l’origine, il suffit d’observer l’action de StabSL2(R)(e1) = {(1 ∗
0 1)}. Or Fα(e1) ∩ Yt correspond via J à l’ensemble des droites affines de R2, passant par e1 et non-horizontales. L’action de {(1 ∗
0 1)} sur ces dernières étant simplement transitive, SL2(R) agit simplement transitivement sur l’ouvert Yt.
2. L’orbite de la droite affine pointée ot = e1+ Re2 sous l’action de exp(RE) = {(1 t 0 1)}
t∈R est égale à l’ensemble des droites affines pointées en e1 et non-horizontales, i.e. à Fα(ot) ∩ Yt. De même, l’orbite de ot sous l’action de exp(RF ) = {(1 0
t 1)}
t∈R est égale à l’ensemble des pointages de e1+ Re2, i.e. à Fβ(ot) ∩ Yt. Ceci conclut la preuve par SL2(R)-invariance des deux structures considérées.
Remarque 2.3.5. Selon la proposition 1.2.2, (PSL2(R), LPSL2(R)) est isomorphe à la structure Lagrangienne de contact LsuH2 de T1H2 invariante par son flot géodésique. La proposition 2.3.4 que nous venons de prouver montre donc que la projection canonique π : SL2(R) → PSL2(R)
induit un revêtement double π-équivariant de Yt sur (T1H2, Lsu
H2). Par conséquent pour toute surface hyperbolique Σ = ¯Γ\H2, avec ¯Γ ⊂ PSL2(R) un sous-groupe discret agissant librement et proprement sur H2, la structure Lagrangienne de contact (T1Σ, LsuΣ) est un quotient double de la structure Kleinienne Γ\Yt, où Γ ⊂ SL2(R) est un sous-groupe discret tel que ¯Γ = π(Γ). En effet (T1Σ, LsuΣ) est isomorphe à ¯Γ\T1H2 muni de la structure induite par LsuH2.
Les propositions 2.3.3 et 2.3.4 montrent que les deux structures Lagrangiennes de contact naturelles LH2 et LsuH2 de T1H2 sont (à indice deux près) respectivement isomorphes aux ouverts
YL et Ytde X. Elle sont en particulier toutes deux localement isomorphes à X, bien qu’elles ne soient pas globalement isomorphes entre elles. En effet selon le théorème 4.1.8, un isomorphisme entre Yt et YL serait la restriction d’un élément de PGL3(R), or X \ Yt= Sβ,α[e1, e2] ∪ Sα,β[e3] est d’intérieur vide alors que X \ YL ne l’est pas. En lien avec la remarque 1.2.3, soulignons que les deux structures Yt et YL correspondent aux deux plongements distincts de sl2 dans sl3, réalisés au niveau des groupes de Lie par les sous-groupes SO0(1, 2) et j(SL2(R)) de PGL3(R).
En paticulier, les deux structures Lagrangiennes de contact invariantes à gauche LPSL2(R)et LSO0(1,2) ne sont donc pas isomorphes.
Dans [Bar10], Barbot s’intéresse à certaines représentation dans PGL3(R) de groupes de surfaces Γ, dites Anosov, et exhibe pour une représentation de ce type un ouvert de X où l’action de Γ pour cette représentation est propre et cocompacte. Dans le cas d’un sous-groupe discret cocompact de PSL2(R) plongé dans PGL3(R) par j, cet ouvert de discontinuité est simplement
Yt(voir [Bar10, §2.5.5 p.165]). Dans le cas général, il faut imaginer la représentation comme une déformation de réseaux de ce type, et Barbot prouve alors qu’un ouvert de discontinuité jouant le rôle de Yt subsiste, mais que sa frontière n’est plus régulière. Ce type de travail a été par la suite généralisé pour d’autres groupes de Lie que PGL3(R), les espaces homogènes jouant le rôle de X étant dans ce cas d’autres espaces de drapeaux (voir par exemple [GGKW17]).