Quelques objets géométriques dans l’espace modèle

E_α = E^α. De même avec

V = (v₁, . . . , v_n), exp([0, V, 0]) · [e₁] = [1 : v₁ : . . . : v_n : 0], donc exp(g^β) · o est un ouvert de C_β(o), et θ_o^∗E_β = E^β.

3. En identifiant X_2n+1 à PGL_n+2(R)/Pn+2 via θ_o, (E^α, E^β) provient d’un couple Ad⁻(P_n+2 )-invariant (D^α, D^β) de sous-espaces transverses de dimension n dans sl⁻_n+2. Tout d’abord, g^α⊕ gβ

est le seul hyperplan de sl⁻_n+2 préservé par l’action de Ad⁻(P_n+2). En effet tout hyperplan de sl⁻_n+2différent de g^α⊕gβcorrespond à un hyperplan affine de R²ⁿpar la carte affine P([U, V, 1]) ∈ P(sl⁻_n+2) 7→ (U, V ) ∈ R²ⁿ, or l’action de Ad⁻(P_n+2) lue dans cette carte contient l’ensemble des translations de R²ⁿ, et ne stabilise donc aucun hyperplan affine de R²ⁿ. Ainsi D^α ⊕ Dβ = g^α⊕ gβ. De plus, g^α et g^β sont les seuls sous-espaces de dimension n de g^α⊕ gβ stabilisés par Ad⁻(P_n+2), donc quitte à intervertir les distributions α et β, (D^α, D^β) = (g^α, g^β), ce qui termine la preuve.

2.2 Quelques objets géométriques dans l’espace modèle

Dans cette section, nous introduisons différents objets géométriques de l’espace homogène modèle dont l’étude dans la suite du texte se révèlera féconde.

Définition 2.2.1. Pour m ∈ RPⁿ⁺¹, l’ensemble des hyperplans projectifs de RPⁿ⁺¹ contenant

m sera noté m^∗ ⊂ RPn+1

∗ , et appelé hyperplan projectif dual de m.

2.2.1 Hypersurfaces α-β et β-α

Deux hypersurfaces se dégagent naturellement en tout point de X_2n+1. Définition 2.2.2. Pour x = (m, H) ∈ X2n+1, l’ensemble

S_α,β(x) = {(p, K) ∈ X_2n+1 | K 3 m} = π⁻¹_β (m^∗) (2.2.1) sera appelé l’hypersurface α-β de x, et

S_β,α(x) = {(p, K) ∈ X_2n+1| p ∈ H} = π⁻¹_α (H) (2.2.2) son hypersurface β-α.

Puisque S_α,β(x) ne dépend que de m = π_α(x) et que S_β,α(x) ne dépend que de H = π_β(x), nous noterons également

S_α,β(m) = S_α,β(m, H) et S_β,α(H) = S_β,α(m, H).

Les projections π_αet π_β étant des fibrés de fibre RPⁿ, il est clair que S_α,β(x) et S_β,α(x) sont des hypersurfaces compactes. Ces dernières peuvent également être décrites de la manière suivante :

S_α,β(x) = ∪_y∈Cα(x)C_β(x) et S_β,α(x) = ∪_y∈Cβ(x)C_α(y).

Notons que S_α,β(x) ne peut être tangente à E_α⊕ E_β car cette dernière est une distribution de contact. On vérifie plus précisément que S_α,β(x) n’est tangente à E_α⊕E_β que le long de C_α(x). De même pour S_β,α(x), qui ne l’est que le long de C_β(x). De plus, ni les surfaces α-β ni les surfaces

β-α ne forment un feuilletage de X2n+1. Deux points ont par exemple la même surface α-β si et seulement si ils sont sur la même feuille α, donc si y ∈ S_α,β(x) \ C_α(x), alors S_α,β(x) 6= S_α,β(y) bien que ces deux surfaces soient non-disjointes car elles contiennent toutes deux y (il en va de même pour S_β,α(x) et S_β,α(y) si y ∈ S_β,α(x) \ C_β(x)). Nous préciserons au paragraphe 2.2.4 les différentes intersections possibles entre surfaces α-β et β-α.

2.2. Quelques objets géométriques dans l’espace modèle 33 Enfin, les intersections des feuilles α et β s’interprètent aisément en fonction des hypersurfaces

α-β et β-α. Soit x et y dans X2n+1, et notons m = π_α(x) ∈ RPⁿ⁺¹ et H = π_β(y) ∈ RPⁿ⁺¹∗ . Si C_α(x) et C_β(y) sont non-disjointes, alors leur intersection est égale au point (m, H). On en déduit donc les équivalences suivantes.

C_α(x) ∩ C_β(y) 6= ∅ ⇐⇒ m ∈ H ⇐⇒ y ∈ Sα,β(x) ⇐⇒ x ∈ S_β,α(y)

Plaçons nous dans l’espace modèle X = X₃ de dimension trois. Les distributions α et β de L_Xdéfinissent sur toute surface α-β (respectivement β-α) S de X une distribution de dimension un, ce qui montre que S est de genre 1 selon le théorème de Poincaré-Hopf. Puisque S est par ailleurs compacte et connexe, elle est donc homéomorphe à un tore si elle est orientable, et à une bouteille de Klein si elle est non-orientable.

Lemme 2.2.3. Les surfaces α-β et β-α de X ne sont pas orientables, et sont donc

homéo-morphes à des bouteilles de Klein.

Démonstration. Nous le prouvons uniquement pour les surfaces α-β, l’argument étant analogue

pour les surfaces β-α. De plus il suffit par PGL₃(R)-invariance de le prouver pour la surface

S = S_α,β(o), où o = ([e₁], [e₁, e₂]). Une variété M est orientable si et seulement si l’orientation

est préservée le long de tout lacet au sens suivant. Si γ : [0 ; 1] → M est un lacet de M basé en p, alors pour toute orientation ε de TpM il existe un unique choix continu (εt)_t d’orientations le long de γ tel que ε₀ = ε. On dit que γ préserve l’orientation si pour toute orientation ε de T_pM , ε₀ = ε₁. Soit α : [0 ; 1] → C_α(o) un lacet lisse basé en o, injectif sur [0 ; 1[, et régulier (i.e. tel que γ⁰(t) ne s’annule pas). Soit β : [0 ; 1[ → C_β(o) un paramétrage injectif lisse et régulier de C_β(o), correspondant au parcours de C_β(o) ≡ [e1, e2] dans le sens trigonométrique positif. Soit

ε l’orientation de T_oS définie par la base ordonnée (α⁰(0), β⁰(0)), et (ε_t)_t l’unique orientation continue de S le long de α partant de ε en t = 0. L’orientation ε₁de T_oS ainsi que l’orientation de

C_α(o) définie par α⁰(1) définissent une orientation de C_β(o) ≡ [e1, e2], dont on vérifie facilement qu’elle correspond au parcours de [e₁, e₂] dans le sens trigonométrique négatif. En d’autres termes, ε₁ 6= ε₀ donc α ne préserve pas l’orientation, ce qui montre que S est non-orientable.

Nous décrivons maintenant les stabilisateurs dans PGL_n+2(R) des différents objets géomé-triques recontrés dans X_2n+1.

Lemme 2.2.4. Pour x = (m, H) ∈ X2n+1, Stab(C_α(x)) = Stab(S_β,α(x)) = Stab(m), et Stab(C_β(x)) = Stab(S_α,β(x)) = Stab(H). De plus, π_β|_Cα(x) est un difféomorphisme de C_α(x)

sur m^∗ équivariant pour l’action de Stab(m), et π_α|_C

β(x) est un difféomorphisme de C_β(x) sur

H équivariant pour l’action de Stab(H). En particulier pour x = o,

Stab(C_α(o)) = (" a X 0 B #) et Stab(C_β(o)) = (" A X 0 b #) ,

et les noyaux de leurs actions respectives sur C_α(o) et C_β(o) sont

(" a X 0 id #) et (" id X 0 b #) . (2.2.3)

Démonstration. L’égalité Stab(S_β,α(x)) = Stab(H) est immédiate. Il est clair que Stab(m) ⊂ Stab(S_α,β(x)), et pour prouver l’inclusion réciproque nous considérons n+1 hyperplans projectifs

H₁⁰, . . . , H_n+1⁰ tels que ∩_iH_i⁰= m. Soit g ∈ Stab(S_α,β(x)). Pour tout i, m ∈ H_i⁰ donc m ∈ g · H_i⁰, d’où ∩_ig · H_i⁰ = m. Ainsi g · m ∈ ∩_ig · H_i⁰ = m, i.e. g ∈ Stab(m), et Stab(S_α,β(x)) = Stab(m). Le reste des affirmations résulte de calculs directs.

2.2.2 Application duale

Dans notre définition de structure Lagrangienne de contact, l’ordre des deux distributions compte, mais nous pourrions définir une notion de structure Lagrangienne de contact faible, définie par une paire non-ordonnée L_{f aible} = {E^α, E^β} induite par une structure Lagrangienne de contact L = (E^α, E^β). Ces deux structures diffèrent peu, en particulier du point de vue de leurs automorphismes. En effet, s’il existe un difféomorphisme échangeant E^α et E^β, alors le groupe d’automorphismes de L est d’indice deux dans celui de L_{f aible}. C’est le cas pour l’espace modèle. Nous munissons Rⁿde son produit scalaire canonique, par rapport auquel nous prenons les orthogonaux.

Définition 2.2.5. Le difféomorphisme suivant entre l’espace projectif et son dual

τ : m ∈ RPⁿ⁺¹7→ [m^⊥] ∈ RPⁿ⁺¹∗ (2.2.4) sera appelé l’application duale de RPⁿ⁺¹, sa réciproque est τ⁻¹: H 7→ H^⊥. L’involution

κ : (m, H) ∈ X2n+17→ (τ⁻¹(H), τ (m)) ∈ X_2n+1 (2.2.5) sera appelée l’application duale de X_2n+1.

L’application duale échange les distributions α et β de la structure Lagrangienne de contact standard de X_2n+1. Plus précisément pour x ∈ X_2n+1, κ(C_α(x)) = C_β(κ(x)), κ(C_β(x)) = C_α(κ(x)), κ(S_α,β(x)) = S_β,α(κ(x)) et κ(S_β,α(x)) = S_α,β(κ(x)).

Remarque 2.2.6. Tout hyperplan projectif dual est l’image par l’application duale d’un hyperplan

projectif. Plus précisément pour tout H ∈ RPⁿ⁺¹∗ , τ (H) = (τ⁻¹(H))^∗.

Pour g ∈ PGL_n+2(R) et v ∈ Rⁿ⁺², (g · v)^⊥ = (g^∗)⁻¹· (v⊥), avec g^∗ =^tg l’endomorphisme

adjoint de g. Par suite, τ et κ sont toutes deux équivariantes pour le morphisme involutif Θ : g ∈ PGL_n+2(R) 7→^tg⁻¹ ∈ PGL_n+2(R), (2.2.6) unique morphisme de PGL_n+2(R) dont la différentielle en l’identité est l’involution de Cartan

M ∈ sln+27→ −^tM ∈ sln+2. (2.2.7)

2.2.3 Chaînettes de l’espace modèle

Nous définissons maintenant dans toute direction transverse à la distribution de contact E_α⊕ E_β une courbe distinguée dans X_2n+1, que nous appellerons chaînette et dont la description géométrique est la suivante. Si V est un sous-espace vectoriel de Rⁿ⁺² de codimension k, alors sa projection [V ] dans RPⁿ⁺¹ est appelée sous-espace projectif de codimension k. Soient x = (m, H) ∈ X_2n+1, ainsi que

– D une droite projective de RPⁿ⁺¹ contenant m et non contenue dans H, – et K un sous-espace projectif de codimension deux de RPⁿ⁺¹ contenu dans H, tels que D ∩ K = ∅.

Définition 2.2.7. L’ensemble des hyperplans projectifs contenant K et pointés sur D sera noté CD,K = {(p, [p, K]) | p ∈ D} ⊂ X_2n+1, (2.2.8) et appelé la chaînette définie par D et K.

Pour tout p ∈ D, avec K⁰ ⊂ Rn+2 le sous-espace vectoriel de codimension deux tel que

K = [K⁰], on a noté [p, K] = [p, K⁰]. Puisque D ∩ K = ∅, [p, K] est bien un hyperplan projectif, doncCD,K est bien définie. L’application p ∈ D 7→ (p, [p, K]) ∈ X_2n+1 étant continue,CD,K est un cercle topologique plongé dans X_2n+1. Par ailleurs, puisque m ∈ D et K ⊂ H, x ∈ CD,K. Enfin, D n’étant pas contenue dans H, D∩H = {m} et doncCD,K∩C_β(x) = {x} =CD,K∩C_α(x).

2.2. Quelques objets géométriques dans l’espace modèle 35

Exemple 2.2.8. Dans le cas de la dimension trois, les chaînettes de X = X₃ sont les cercles de la forme

CD,m= {(p, [p, m]) | p ∈ D} , avec D une droite projective de RP² et m ∈ RP²\ D.

Notons C0 la chaînette de X_2n+1 définie par D₀ = [e₁, e_n+2] et K₀ = [e₂, . . . , e_n+1]. Pour tout couple (D, K), où D est une droite projective disjointe d’un sous-espace projectif K de codimension deux, il existe g ∈ PGL_n+2(R) tel que g ·D0 = D et g · K₀ = K, i.e. envoyantC0sur CD,K. Analysons maintenant plus précisément le cas de la chaînetteC0. Il existe deux hyperplans projectifs H₁ et H₂ tels que H₁∩ H₂= K₀, et si g ∈ Stab(C0), alors g · K₀ = g · H₁∩ g · H₂ est un sous-espace projectif de codimension deux contenant K₀, i.e. g · K₀ = K₀. Puisque g stabilise également D₀, on obtient finalement :

Stab(C0) =^{nha 0 b}0 A 0

c 0 d i 

a, b, c, d ∈ R^∗, A ∈ GL_n(R)^o. (2.2.9) On envoie GL₂(R) et GLn(R) dans Stab(C0) à travers les morphismes suivants :

ϕ : a b c d
7→  a 0 b 0 In0 c 0 d  , φ : A ∈ GLn(R) 7→^{h1 0 0}0 A 0 0 0 1 i . (2.2.10)

Alors K := φ(GL_n(R)) est le noyau de l’action de Stab(C0) surC0, et puisque ϕ(λM )φ(λ id) =

ϕ(M ) dans PGL_n+2(R), ϕ passe au quotient en un plongement de PGL2(R) dans Stab(C0)/K, ce qui définit en particulier une action de PGL₂(R) sur C0. En identifiant RP¹ à D₀ via [x : y] 7→ [x : 0 : . . . : 0 : y], la carte p ∈ RP² 7→ (p, [p, K₀]) est PGL₂(R)-équivariante pour cette action.

Nous décrivons maintenant des paramétrages spécifiques des chaînettes, qui nous permet-trons en particulier de montrer l’existence d’une chaînette dans chaque direction transverse à la distribution de contact E_α⊕ E_β. Rappelons que X_2n+1 est identifié à PGL_n+2(R)/Pn+2 par l’application orbitale

θo: gP_n+2 ∈ PGL_n+2(R)/Pn+27→ g · o ∈ X_2n+1

en o, et que T_oX_2n+1est donc identifié à sl_n+2/p_n+2par D_Pn+2θ_o. Par conséquent pour p ∈ P_n+2, l’action de D_oLp sur T_oX2n+1 correspond à celle de Ad(p) sur sl_n+2/pn+2. Nous posons

e0 = ^{0 0} 1 0

!

∈ sl_n+2,

i.e. e₀ = [0, 0, 1] avec la notation (2.1.4), et nous notons γ₀: t ∈ R 7→ θo(exp(te₀)) ∈ X_2n+1 et

o⁰= ([e_n+2], [e2, . . . , en+2]) ∈C0.

Proposition 2.2.9. 1. Soit p ∈ P_n+2. Alors t ∈ R 7→ pγ0(t) est un paramétrage de la chaînette C = p · C0 privée de p · o⁰, que l’on appellera paramétrage projectif de C .

2. Pour tout x ∈ X_2n+1 et l ∈ P(T_oX_2n+1) \ (E_α(x) ⊕ E_β(x)) une direction tangente en dehors

de la distribution de contact, il existe une unique chaînette de X_2n+1 passant par x et tangente à l.

3. Pour tout p ∈ P_n+2, si Ad(p) · Re0 = Re0 alors il existe a ∈ R^∗ et b ∈ R tels que pγ0(t) =

γ₀(_1+bt^at ) pour tout t ∈ R tel que 1 + bt 6= 0.

Démonstration. 1. Un calcul immédiat montre en effet que γ₀(R) = CD0,K0 \ {o0}.

2. L’action de PGL_n+2(R) sur X2n+1 étant transitive, il suffit de le prouver pour x = o. Selon la première partie de la proposition, C0 est tangente en o à l₀ = Re0 qui est transverse à la distribution de contact, donc toute chaînette reste transverse à la distribution de contact en

o car cette dernière est préservée par l’action de P_n+2. De plus le calcul (2.1.6) de l’action adjointe de P_n+2 nous montre que P_n+2 agit transitivement sur les directions de sl_n+2/pn+2

non contenues dans l’image de g^α₋₁⊕ g^β₋₁ dans sl_n+2/pn+2. La première partie de la proposition implique alors qu’il existe une chaînette tangente à toute direction transverse, et il nous suffit de montrer son unicité pour la direction l₀. SoitC une chaînette tangente à l0 en o, et p ∈ P_n+2 tel que C = p · C0. Alors selon la première partie de la proposition, Ad(p) · l₀ = l₀, donc selon (2.1.6), p est de la forme p =    a 0 z 0 B 0 0 0 c    (2.2.11)

avec a, c ∈ R^∗, B ∈ GL_n(R) et z ∈ R. Ceci montre que p stabilise D0 et K₀, et donc queC = C0. 3. Pour tout t ∈ R, on a pγ0(t) = θ_o(exp(t Ad(p) · e₀)). Puisque Ad(p) · l₀= l₀, p est de la forme (2.2.11), et on en déduit que Ad(p) · e₀=    a⁻¹z 0 −a−1c⁻¹z² 0 0 0 a⁻¹c 0 −a⁻¹z   , et donc que exp(t Ad(p) · e₀) =    1 + ta⁻¹z 0 −ta−1c⁻¹z² 0 I_n 0 ta⁻¹c 0 1 − ta⁻¹z   .

On vérifie alors que pour t ∈ R tel que 1 + ta⁻¹z 6= 0, exp(t Ad(p) · e0) = exp(_1+ta^ta−1−1^cze0)p(t), où

p(t) est la courbe de P définie pour t ∈ R tel que 1 + ta⁻¹z 6= 0 par

p(t) =    1 + ta⁻¹z 0 −ta⁻¹c⁻¹z² 0 I_n 0 0 0 _1+ta¹−1z   .

Par suite pour t ∈ R tel que 1 + ta⁻¹z 6= 0, pγ₀(t) = θ_o(exp(_1+ta^ta−1−1^cze₀)) = γ₀(_1+Bt^At ) avec

A = a⁻¹c ∈ R^∗ et B = a⁻¹z ∈ R.

Ces chaînettes jouent un rôle important dans l’étude des structure Lagrangiennes de contact. Nous verrons en effet au paragraphe 4.3.2 du chapitre 4 que la géométrie de Cartan normale associée à une structure Lagrangienne de contact L sur une variété M permet de faire un lien entre les courbes de M et celles de l’espace homogène modèle X_2n+1, et de rapatrier les chaînettes du modèle en un famille de courbes de M . On obtiendra en tout point x ∈ M , et pour toute direction tangente transverse à la distribution de contact, une unique chaînette passant par x dans la direction l. L’analyse de ces courbes sera plus aisée que celles des feuilles α et β, qui sont de dimension supérieure à un au delà de la dimension trois.

2.2.4 Configurations des surfaces α-β et β-α en dimension trois

Aux chapitres 5 et 6, nous travaillerons exclusivement dans l’espace modèle X de dimension trois, et il nous sera utile de comprendre les différentes intersections possibles entre les objets géométriques de X.

Tout d’abord, un cercle alpha C_α(x) et un cercle beta C_β(y) sont non-disjoints si, et seulement si x ∈ S_β,α(y) (ce qui est équivalent à y ∈ S_β,α(x), ou encore à π_α(x) ∈ π_β(y)), et dans ce cas ils s’intersectent selon un point.

Toute surface α-β S_α,βcontient intégralement un unique cercle alpha C_αque nous appellerons

2.3. Quelques ouverts homogènes de l’espace modèle 37