Propriétés de la géométrie de Cartan normale

Nous interprétons maintenant les structures Lagrangiennes de contact en termes de G₀ -structures filtrées.

Proposition 4.1.4. 1. Sur une variété de dimension 2n + 1, il existe une correspondance bi-univoque entre structures Lagrangiennes de contact et G₀-structure filtrées modelées sur X_2n+1.

2. De plus, les isomorphismes entre deux structures Lagrangiennes de contact coïncident avec les isomorphismes entre les G₀-structures filtrées associées.

Démonstration. 1. Soit ({TMⁱ}, R₀) une G₀-structure filtrée modelée sur X_2n+1sur une variété

M , et notons p : R^gr(M ) → M le fibré des repères gradués, et p₀ sa restriction à R₀. Selon le lemme 4.1.2, TM⁻¹ est une distribution de contact sur M . Soit x ∈ M , et u, u⁰ ∈ p⁻¹₀ (x). Il existe alors g ∈ Ad⁻(G₀) tel que u⁰ = u ◦ g, or g préserve gα

−1 et g^β₋₁ selon le lemme 4.1.3, donc

u(g^α₋₁) = u⁰(g^α₋₁) et u(g^β₋₁) = u⁰(g^β₋₁). Les sous-espaces E^α(x) = u(g^α₋₁) et E^β(x) = u(g^β₋₁) ne dépendent donc que x, et sont tous deux contenus dans T^gr_xM−1= T_xM⁻¹. Ceci définit sur M deux distributions de dimension n telles que TM⁻¹ = E^α ⊕ Eβ, qui sont lisses car R₀ admet des sections locales lisses. De plus si X et Y sont deux champs de vecteurs à valeurs dans E^α, puisque u est un repère d’algèbre de Lie graduée on a

u⁻¹(p₂([X, Y ]_x)) = u⁻¹(L_x(X_x, Yx)) = [u⁻¹(X_x), u⁻¹(Y_x)] ∈ g₋₂

par définition du crochet de Levi, où p₂: TM = TM⁻² → TgrM−2 désigne la projection ca-nonique. Or [u⁻¹(X_x), u⁻¹(Y_x)] = 0 car g^α₋₁ est abélienne, et par suite p₂([X, Y ]_x) = 0, i.e. [X, Y ]_x ∈ T_xM⁻¹. Selon la remarque 1.3.5, E^α est donc une sous-distribution Legendrienne de TM⁻¹, et il en va de même pour Eβ. La G₀-structure filtrée considérée induit donc sur M la structure Lagrangienne de contact (E^α, E^β).

Soit maintenant (E^α, E^β) une structure Lagrangienne de contact sur M . On pose TM⁻²= TM , TM⁻¹ = E^α⊕ Eβ, et p : R^gr(M ) → M le fibré des repères d’algèbres de Lie graduées de la variété filtrée (M, {TMⁱ}_i=−2,−1). Soit :

R₀ := ^[

x∈M n

u ∈ p⁻¹(x)

E^α(x) = u(g^α₋₁) et E^β(x) = u(g^β₋₁)^o⊂ R^gr(M ),

et notons p₀ la restriction de p à R₀. Les distributions E^α et E^β étant lisses, R₀ est une sous-variété lisse de R^gr(M ). Puisque E^α et E^β sont lagrangiennes, pour tout x ∈ M et u ∈ p⁻¹(x) les sous-espaces V^α = u⁻¹(E^α(x)) et V^β = u⁻¹(E^β(x)) de g₋₁ sont isotropes pour la forme symplectique [·, ·] : g₋₁→ g₋₂ ' R (voir paragraphe 1.3.1 pour plus de détails sur ces notions).

Fait. Soit (V, b) un espace vectoriel symplectique de dimension 2n, et V^α, V^β, W^α et W^β des sous-espaces isotropes de dimension n tels que V = V^α ⊕ Vβ = W^α⊕ Wβ. Il existe alors un isomorphisme φ de V , préservant b et envoyant V^α sur W^α, et V^β sur W^β.

Démonstration. Soit (vα

1, . . . , vα

n) une base de Vα. Il existe alors une base (v^β₁, . . . , vβ

n) de Vβ

telle que b(v_i^α, v_j^β) = δ_i,j pour tous i, j. De même avec (w₁^α, . . . , w^α_n) une base de W^α, il existe une base (w₁^β, . . . , w_n^β) de W^β vérifiant b(w^α_i, w^β_j) = δ_i,j. L’automorphisme φ de V défini par

φ(v^α_i) = w_i^α et φ(v_i^β) = w_i^β préserve alors b et vérifie les conditions voulues.

Il existe donc un automorphisme φ de l’espace vectoriel symplectique (g−1, [·, ·]) (où g−2 est identifiée à R) tel que φ(u⁻¹(E^α(x))) = g^α₋₁ et φ(u⁻¹(E^β(x))) = g^β₋₁, et il existe une unique manière d’étendre φ en un automorphisme g de l’algèbre de Lie graduée g₋ (si X ∈ g^β₋₁ et

Y ∈ gα

−1 vérifient Y X = 1 en les identifiant à leurs vecteur-colonne et vecteur-ligne associé, alors

g(Z) = (φ(Y )φ(X)) · Z convient selon la relation (4.1.2)). Par construction, u ◦ g⁻¹∈ p⁻¹₀ (x), ce qui montre que p⁻¹₀ (x) 6= ∅ en tout point. De pus si u, u⁰ ∈ p⁻¹₀ (x), alors u⁰⁻¹◦ u ∈ Autgr(g₋₁) préserve la décomposition de g−1, donc u⁰◦ u⁻¹ ∈ Ad⁻(G₀) selon le lemme 4.1.3. Le sous-fibré R₀ est donc bien une Ad⁻(G₀)-réduction de R^gr(M ), qui induit par construction la structure lagrangienne de contact (E^α, E^β) d’origine.

2. Nous raisonnons sur une seule structure Lagrangienne de contact pour éviter d’alourdir les notations. Soit f un difféomorphisme préservant la structure de contact H = E^α ⊕ Eβ, i.e. préservant la filtration {TMⁱ}_i=−2,−1 associée. La correspondance bi-univoque présentée précé-demment montre clairement que f préserve la décomposition H = Eα⊕ Eβ, i.e. préserve la structure Lagrangienne de contact, si et seulement si sa prolongation f⁽¹⁾ à R^gr(M ) préserve la Ad⁻(G₀)-réduction R₀ associée (voir paragraphe 3.2.3 pour plus de détails).

Puisque la condition cohomologique H¹(g−, g)¹= {0} est vérifiée dans le cas de X_2n+1 (voir remarque 3.4.3), le théorème 3.4.8 prouvé au chapitre précédent montre que les G₀-structures filtrées modelées sur X_2n+1 sont équivalentes aux géométries de Cartan normales modelées sur X2n+1. On déduit donc de la proposition 4.1.4 l’équivalence suivante.

Corollaire 4.1.5. 1. La donnée d’une structure Lagrangienne de contact sur une variété de dimension 2n + 1 est équivalente à celle d’une géométrie de Cartan normale modelée sur X_2n+1.

2. De plus, les isomorphismes entre deux structures Lagrangiennes de contact coïncident avec les isomorphismes entre deux géométries de Cartan normales associées, et les champs de Killing d’une structure Lagrangienne de contact coïncident avec ceux d’une géométrie de Cartan normale associée.

Remarque 4.1.6. Notons que la structure Lagrangienne de contact ainsi associée à une géométrie

de Cartan normale modelée sur X_2n+1 coïncide avec la structure que nous avions trouvée bien plus simplement au paragraphe 3.1.3.a. Notre gain par rapport à cette première définition est la possibilité de remonter vers la géométrie de Cartan, ce qui aurait été impossible sans la théorie développée au chapitre précédent. Ceci nous récompense de tous nos efforts.

Dans la suite, nous nous autoriserons à parler de la géométrie de Cartan normale d’une structure Lagrangienne de contact L, pour parler de l’une des géométries de Cartan normales modelées sur X_2n+1 et associées à L. Grâce au corollaire 4.1.5, les automorphismes et champs de Killing d’une structure Lagrangienne de contact héritent des propriétés générales de ceux des géométries de Cartan, dont nous résumons les principaux aspects dans le résultat suivant (voir remarques 3.1.10 et 3.1.14 et lemme 3.1.13). On note Kill(U, L) (respectivement kill^loc_L (x)) l’algèbre de Lie des champs de Killing locaux d’une structure Lagrangienne de contact (M, L) définis sur un ouvert U ⊂ M (resp. l’algèbre de Lie des germes de champs de Killing de L en

x ∈ M ).

Proposition 4.1.7. Soit (M, L) une structure Lagrangienne de contact connexe de dimension 2n + 1.

4.1. Problème d’équivalence pour les structures Lagrangiennes de contact 81

1. Les automorphismes et champs de Killing de L sont déterminés par leur germe en un point.

2. Pour tout x ∈ M , il existe un voisinage ouvert connexe U de x tel X ∈ Kill(U, L) 7→

[X]_x∈ killloc

L (x) est un isomorphisme d’algèbre de Lie, et dim kill^loc_L (x) ≤ dim sl_n+2.

Notons que la connexion de la géométrie de Cartan canonique C_X2n+1 de X_2n+1 est normale puisque sa courbure est nulle, et rappelons qu’elle induit par ailleurs sur X_2n+1 la structure Lagrangienne de contact standard L_X2n+1 selon la proposition 2.1.2. En d’autres termes, C_X2n+1 est la géométrie de Cartan normale de L_X2n+1, et la proposition 3.1.4 au sujet des géométries de Cartan canoniques se traduit alors par le résultat suivant.

Théorème 4.1.8. Tout automorphisme local de L_X2n+1 entre deux ouverts connexes de X_2n+1 est la restriction de l’action d’un élément de PGL_n+2(R).

Nous terminons ce paragraphe en caractérisant l’intégrabilité des sous-distributions Legen-driennes d’une structure Lagrangienne de contact à l’aide de la courbure.

Proposition 4.1.9. Soit L = (E^α, E^β) une structure Lagrangienne de contact sur une variété

M de dimension 2n + 1, et ( ˆM , ω) la géométrie de Cartan normale de L, dont on note K la courbure. Alors E^α (respectivement E^β) est intégrable si, et seulement si K(g^α₋₁, g^α₋₁) ⊂ g^α₋₁⊕ p_n+2 (resp. K(g^β₋₁, g^β₋₁) ⊂ g^β₋₁⊕ p_n+2).

Démonstration. Nous raisonnons pour E^α, la preuve étant la même pour E^β. De plus puisque les résultats à prouver sont locaux, nous pouvons supposer que E^α admet un repère (X₁, . . . , X_n) (i.e. E^α = Vect(X_i) sur M ), et que π : ˆM → M est trivial, si bien que tout champ de vecteurs

sur M admet un relevé P_n+2-invariant ˆX. Puisque Ad(Pn+2) préserve la filtration de sl_n+2, la distribution ˆE^α= ω⁻¹(g^α₋₁⊕ p_n+2) est P_n+2-invariante, et vérifie Dπ( ˆE^α) = E^α.

Nous prouvons tout d’abord que E^α est involutive si, et seulement si ˆEαl’est. Supposons E^α involutive, et choisissons un relevé P_n+2-invariant { ˆXi} du repère de Eα. On a alors Vect( ˆXi) ⊕

V = ˆE^α, où V = ω⁻¹(p_n+2) désigne la distribution verticale. Soit { ˆY_i}_i=1,...,p un repère P_n+2 -invariant de V . Pour tous i, j, puisque Dπ([ ˆX_i, ˆX_j]) = [X_i, X_j] ∈ E^α, [ ˆX_i, ˆX_j] ∈ ˆEα, et [ ˆY_i, ˆY_j] ∈

V puisque V est intégrable (car tangente aux fibres). De plus Dπ(Yi) = 0, donc Dπ([ ˆXi, ˆYj]) = 0 et [ ˆX_i, ˆY_j] ∈ V ⊂ ˆE^α. Puisque X₁, . . . , X_n, Y₁, . . . , Y_pest un repère de ˆE^α, ceci montre que ˆE^αest involutive. Supposons réciproquement ˆEα involutive. Alors pour tous champs de vecteurs X, Y à valeurs dans E^α, et ˆX, ˆY des relevés Pn+2-invariants, ˆX et ˆY sont dans ˆE^α, donc [ ˆX, ˆY ] ∈ ˆE^α. Ainsi [X, Y ] = Dπ([ ˆX, ˆY ]) ∈ E^α, ce qui montre que E^α est involutive.

Nous montrons enfin que ˆE^α est involutive si, et seulement si K(g^α₋₁, g^α₋₁) ⊂ g^α₋₁⊕ p_n+2. Pour tous V, W ∈ g^α₋₁⊕ p_n+2, en notant ˜V , ˜W les champs de vecteurs ω-constants associés :

ω([ ˜V , ˜W ]) = [V, W ] − K(V, W ). (4.1.4) En effet par définition de la forme de courbure, K(V, W ) = dω( ˜V , ˜W )+[V, W ], et selon la formule

de Cartan dω( ˜V , ˜W ) = ˜V · ω( ˜W ) − ˜W · ω( ˜V ) − ω([ ˜V , ˜W ]). Or ˜V et ˜W sont ω-constants donc ω([ ˜V , ˜W ]) = −dω( ˜V , ˜W ), ce qui prouve la relation (4.1.4). Ainsi [ ˜V , ˜W ] ∈ ˆE^αsi, et seulement si [V, W ]−K(V, W ) ∈ g^α₋₁⊕p_n+2. Or [V, W ] ∈ g^α₋₁⊕p_n+2, car g^α₋₁est abélienne, et car [p_n+2, g^α₋₁] ⊂ g^α₋₁⊕p_n+2puisque g^α₋₁est Ad(P_n+2)-invariante (voir paragraphe 2.1.2). Finalement [ ˜V , ˜W ] ∈ ˆE^α

si, et seulement si K(V, W ) ∈ g^α₋₁⊕ p_n+2. Or selon le même raisonnement que précédemment, puisque V est intégrable, ˆE^α est involutive si, et seulement si [ ˜Vi, ˜Vj] ∈ ˆE^α pour V1, . . . , Vn

une base de g^α₋₁. Ceci termine la preuve de la seconde équivalence, et donc la preuve de la proposition.

4.2 Courbure d’une structure Lagrangienne de contact de