Directions asymptotiques à l’infini dans PGL 3 (R)

On dira qu’une suite a_n = [α_n, βn, γn] de A⁺ part simplement à l’infini si les suites ^αn

βn ≥ 1,

αn

γn ≥ 1 et^βn

γn ≥ 1 ont toutes trois une limite dans [1 ; +∞]. Avec cette définition, toute suite de A+

partant à l’infini admet une sous-suite partant simplement à l’infini. On dira plus généralement qu’une suite g_n ∈ G quelconque part simplement à l’infini si elle admet une décomposition standard dont les facteurs dans K convergent, et telle que a(g_n) ∈ A⁺ part simplement à l’infini. Par compacité de K, toute suite partant à l’infini dans G admet donc une sous-suite partant simplement à l’infini.

Fait 6.1.4. Pour toute suite a_n= [α_n, β_n, γ_n] ∈ A+ partant simplement à l’infini, lim^αn

γn = +∞.

Démonstration. Puisque a_n = _γ¹

na_n dans PGL₃(R), on peut supposer que αn ≥ 1 et γ_n = 1. Supposons par l’absurde que (a_n) part simplement à l’infini et que lim^αn

γn = lim α_nest finie. Alors (a_n) est majorée par une constante C, donc α_n ∈ [1 ; C]. Par suite β_n ∈ [1 ; α_n] est également bornée, ce qui contredit le fait que a_n= [α_n, β_n, 1] parte à l’infini.

La dynamique d’une suite a_n ∈ A+ partant simplement à l’infini ne dépend donc que de lim^αn

βn et de lim^βn

γn.

Définition 6.1.5. Soit (g_n) une suite de G partant simplement à l’infini, et [α_n, β_n, γ_n] :=

a(gn) ∈ A⁺ sa projection de Cartan. Si lim^αn

βn = +∞ et lim^βn

γn < +∞, la suite (gn) est dite de type attractif. Si lim^αn

βn < +∞ et lim^βn

γn = +∞, la suite (g_n) est dite de type répulsif. Si lim^αn

βn = lim^βn

γn = +∞, la suite (g_n) est dite de type mixte. 6.1.3.a Interprétation dans les chambres de Weyl

Ces trois directions asymptotiques pour les suites de A⁺ partant à l’infini sont reliées aux

chambres de Weyl de l’algèbre de Lie

a =         λ µ ν   ∈ sl₃     

de A. Soit V le sous-espace des matrices diagonales de gl₃, et (e1, e2, e3) la base de V^∗ duale de la base ([1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]) de V . L’ensemble des racines réduites de a est alors Σ =

6.1. Position du problème 137 {e_i− e_j | i 6= j} ⊂ a∗, et les chambres de Weyl de a sont les 6 composantes connexes de a \ ∪_α∈ΣKer α. Le demi-cône

a⁺= {v ∈ a | (e₁− e₂)(v) ≥ 0 et (e₂− e₃)(v) ≥ 0}

de a tel que A⁺ = exp(a⁺), est l’adhérence de la chambre de Weyl où e₁ − e₃ est positive et qui est délimitée supérieurement par le mur M₊ = Ker(e₁− e₂), et inférieurement par le mur

M−= Ker(e₂− e₃). Soit a_n∈ A+ et v_n∈ a+telle que a_n= exp(v_n). Alors (a_n) tend vers l’infini si, et seulement si kv_nk tend vers l’infini (pour une métrique euclidienne quelconque sur a), et (a_n) tend simplement vers l’infini si, et seulement si les distances d(v_n, M−) et d(v_n, M+) aux murs de a⁺ convergent dans [0 ; +∞]. De plus, lim d(v_n, M₊) < +∞ et lim d(v_n, M−) = +∞ (respectivement lim d(v_n, M₊) = +∞ et lim d(v_n, M−) < +∞, respectivement lim d(v_n, M₊) = lim d(v_n, M−) = +∞) si, et seulement si (a_n) est de type répulsif (resp. attractif, resp. mixte).

En d’autres termes, (a_n) est de type répulsif (resp. attractif) si, et seulement si (v_n) tend asymptotiquement vers une parallèle au mur supérieur (resp. inférieur), et est de type mixte si, et seulement si (v_n) ne tend asymptotiquement vers aucune parallèle à l’un des deux murs. 6.1.3.b Propriétés des types dynamiques

Lemme 6.1.6. Soit (gn) une suite de G partant simplement à l’infini. Si (g_n) est de type

attractif (respectivement répulsif, resp. mixte), alors (g_n⁻¹) part simplement à l’infini et est de

type répulsif (resp. attractif, resp. mixte).

Démonstration. Grâce à la décomposition standard, il suffit de le prouver pour a_n∈ A+partant simplement à l’infini, et nous supposons de plus (a_n) de type attractif, le raisonnement étant analogue dans les autres cas. Dans ce cas, a^∗_n:= [γ_n⁻¹, β⁻¹_n , α⁻¹_n ] ∈ A⁺ part simplement à l’infini de type répulsif, et avec

g₀ =    1 1 1   = g₀⁻¹∈ K, (6.1.4)

on a a⁻¹_n = g₀a^∗_ng₀⁻¹, ce qui montre que (a⁻¹_n ) est de type répulsif.

Les types attractifs et répulsifs sont donc duaux l’un de l’autre pour l’inversion, alors que le type mixte est son propre dual. Cette disparité trouve une explication naturelle dans la tra-duction des trois directions asymptotiques à travers les chambres de Weyl. En effet l’application

v = [λ, µ, ν] ∈ a⁺7→ v∗ = [−ν, −µ, −λ] est une symétrie de la chambre de Weyl a⁺ qui échange ses deux murs.

Lemme 6.1.7. 1. Soit (gn) une suite de G admettant une décomposition de la forme g_n =

k_na_nl_n, où (k_n) et (l_n) sont relativement compactes, et (a_n) est une suite de A⁺ partant sim-plement à l’infini. Alors toute sous-suite de (g_n) partant simplement à l’infini a le même type

dynamique que (a_n).¹

2. Soit g ∈ G diagonalisable et g₀ ∈ GL₃(R) tel que g = R^∗g₀. Alors (gⁿ) part à l’infini si, et

seulement si les valeurs absolues α ≥ β ≥ γ > 0 des trois valeurs propres de g₀ comptées avec multiplicité sont deux à deux distinctes. Elle part simplement à l’infini si, et seulement si ces trois valeurs propres sont de plus positives. Les sous-suites de (gⁿ) partant simplement à l’infini

sont toutes du même type :

– attractif si α > β = γ, on dira alors que g est de type attractif ; – répulsif si α = β > γ, on dira alors que g est de type répulsif ;

– et mixte si α > β > γ, on dira alors que g est de type mixte, ou loxodromique.

1. Notons que (an) est à priori différente de la projection de Cartan (a(gn)) de (gn), car (kn) et (ln) ne sont pas supposées contenues dans K.

Démonstration du lemme 6.1.7. 1. Il suffit de le prouver pour une suite de A+grâce à la décom-position standard. Or si (a_n) et (b_n) sont deux suites de A⁺ tendant simplement vers l’infini, et s’il existe k_net l_ndeux suites relativement compactes telles que a_n= k_nb_nl_n, alors la dynamique des suites a_n et b_n sur RP2 décrite au paragraphe 6.2 montre que a_n et b_n ont le même type dynamique.

2. C’est une conséquence immédiate de la première partie du lemme.

6.2 Dynamique de PGL

(R) sur RP

et RP

Nous commençons par décrire les propriétés dynamiques de l’action de G sur RP², d’où découleront directement celles de son action sur RP²∗ par dualité. Ces résultats sont sans nul doute classiques, mais nous avons cru bon de les établir d’une manière systématique.

6.2.1 Quelque remarques générales

Rappelons que pour P ⊂ R³, nous notons [P ] la projection dans RP²du sous-espace vectoriel de R³ engendré par P . L’action de G est transitive sur les triplets de points distincts de RP². Elle n’est en revanche pas simplement transitive sur ces triplets, et pour la comprendre plus précisément il suffit d’étudier l’action de A, qui est la composante neutre de Stab_G([e₁], [e₂], [e₃]). Cette action a exactement trois points fixes [e₁], [e₂], [e₃] (de plus, tout élément loxodromique de A a exactement ces trois points pour points fixes). Elle stabilise les trois droites projectives associées [e1, e2], [e1, e3] et [e2, e3], et a six orbites de dimension un, qui sont les composantes connexes des complémentaires des trois points fixes de A dans ces trois droites projectives. Le complémentaire de ces trois droites projectives dans RP² a quatre composantes connexes, qui sont les quatre orbites ouvertes de A. En utilisant la carte affine (x, y) 7→ [x : y : 1] pour l’ouvert affine RP²\ [e1, e2], ces quatre orbites ouvertes sont les quatre cadrans de R²\ {Re1∪ Re2}.

6.2.2 Type attractif

Rappelons que RP²∗ désigne l’ensemble des droites projectives de RP², et que pour p ∈ RP²,

p^∗ =

D ∈ RP²∗ 

D 3 p

⊂ RP2

∗, et est appelé droite projective duale de p.

Lemme 6.2.1. Soit (gn) une suite de G partant simplement à l’infini de type attractif. Il existe

une droite projective C⁻ et un point p₊ dans RP², respectivement appelés cercle répulsif et point

attractif de (g_n), ainsi qu’un difféomorphisme ˆg∞: C⁻→ (p₊)^∗, uniquement déterminés par (g_n)

et vérifiant les propriétés suivantes.

1. Pour tout p ∈ RP²\ C⁻, D_(gn)(p) = p₊.

2. Pour p ∈ C⁻, D_(gn)(p) = ˆg∞(p). En particulier, l’ensemble des D_(gn)(p) \ {p₊} pour

p ∈ C⁻ forme un feuilletage de RP²\ {p₊}.

3. Il existe un morphisme ρ_∞: Stab_G(C⁻) → Stab_G(C⁻) ∩ Stab_G(p₊), tel que ˆg∞ soit ρ_∞ -équivariant.

De plus si (g_n) est contenue dans A⁺, alors p₊= [e₁] et C⁻= [e2, e3].

Grâce à la décomposition standard, il suffit de prouver cette description pour les suites de

A⁺ partant simplement à l’infini de type attractif. On suppose donc que g_n = a_n ∈ A+, et on écrit a_n=    1 β_n γ_n   

cette suite. On a alors lim β_n= lim γ_n= 0, et lim^γn

βn = λ_∞∈ ]0 ; 1]. Dans la carte affine standard

ϕ : (x, y) ∈ R² 7→ [1 : x : y] ∈ RP2\ [e₂, e₃], a_nagit comme l’application linéaire ^βn

γn