Objets géométriques dans une carte affine

  a X z 0 B Y 0 0 1   ∈ P_n+2, on vérifie que g ×    1 W u 0 In V 0 0 1   =    1 aW B⁻¹+ XB⁻¹ au + XV + z 0 In BV + Y 0 0 1   ×    a 0 0 0 B 0 0 0 1   ,

où le dernier élément est dans Stab(o⁰). Par suite, g·p = [aW B⁻¹+XB⁻¹, BV +Y, au+XV +z]·o⁰. Le vecteur ligne aW B⁻¹+ XB⁻¹ s’identifiant au vecteur colonne a^tB^{−1 t}W +^tB^{−1 t}X, on a

donc bien ψ(g · p) = ρ(g) · (u, V, W ) en identifiant (u, V, W ) au vecteur colonne correspondant, ce qui montre la ρ-équivariance de ψ.

Pour tout x ∈ X_2n+1, Ω(x) = X \ (S_β,α(x) ∪ S_α,β(x)) est un ouvert de X contenant κ(x), de sorte que Y_a = Ω(o). Pour tout g ∈ PGL_n+2(R), Ω(g · x) = g · Ω(x), et

ψg = ψ ◦ L_g−1: Ω(g · o) → R²ⁿ⁺¹

est une carte affine de Ω(g·o) qui vérifie ψ_g(g·o⁰) = (0, . . . , 0). Puisque Stab(Ω(g·o)) = gP_n+2g⁻¹, en posant ρ_g: h ∈ Stab(Ω(g · o)) 7→ ρ(g⁻¹hg) ∈ Aff(R²ⁿ⁺¹), ψ_g est ρ_g-équivariante. Si g · o = h · o, alors ψ_g et ψ_h sont deux cartes affines du même ouvert, et puisque g⁻¹h ∈ Pn+2, le changement de carte associé est ψ_g◦ ψ_h⁻¹= ρ(g⁻¹h) ∈ Aff(R²ⁿ⁺¹).

2.4.2 Objets géométriques dans une carte affine

Les objets géométriques de Y_a ont la description géométrique suivante dans la carte affine ψ. Proposition 2.4.5. 1. Les feuilles α de Ya sont les n-plans affines parallèles à {0}ⁿ⁺¹× Rn, et le feuilletage α est en particulier invariant par translations. Les feuilles β de Y_a sont des n-plans affines dont la direction vectorielle est contenue dans Rⁿ⁺¹× {0}n, et le feuilletage β est invariant par les translations selon Rⁿ⁺¹× {0}n.

2. La sructure de contact lue dans la carte affine est ψ_∗(E_α⊕ E_β) = Ker(dx −Pn

i=1z_idy_i).

3. En dimension trois, une surface α-β est un hélicoïde tournant autour de la direction verticale

Re3, et une surface β-α est un plan affine dont la direction vectorielle contient Re3.

Démonstration. 1. Nous avons remarqué plus haut que π_α◦ ψ⁻¹ est la projection sur le premier facteur de R²ⁿ⁺¹ = Rⁿ⁺¹× Rn, ce qui implique immédiatement les deux affirmations. D’autre part, [0, Rⁿ, 0] · o⁰ = C_β(o⁰) ∩ Y_a, donc ψ(C_β(o⁰) ∩ Y_a) = {0} × Rⁿ× {0}n. Si g ∈ P_n+2 et x = g · o, alors par invariance du feuilletage β, ψ(C_β(x) ∩ Y_a) = ρ(g) · {0} × Rn× {0}n. Or la partie linéaire de ρ(g) préserve Rⁿ⁺¹× {0}n, donc les feuilles β de Y_a sont bien des n-plans affines dont la direction vectorielle est contenue dans Rⁿ⁺¹× {0}n, et « tourne autour de {0}ⁿ⁺¹× Rn». 2. En effet selon la proposition 2.4.1, (θ_o0)_∗(E_α⊕ E_β) est la structure de contact sous-jacente à L_Heis(2n+1), qui est égale à Ker(dz −Pn

i=1xidyi) dans les coordonnées canoniques de Heis(2n + 1) selon le lemme 1.3.9.

Chapitre 3

Problème d’équivalence pour les

géométries paraboliques

Dans la seconde moitié du 19^ème siècle, différents systèmes géométriques se côtoient : la géométrie affine classique, mais également des géométries non-euclidiennes, ainsi que les travaux de Riemann jetant les bases de la notion de variété Riemannienne. Cependant, il n’existe pas de cadre de pensée qui permettent de comprendre simultanément ces différentes visions, et de donner un sens à l’appellation commune de « géométrie ». En effet ces géométries sont distinguées et opposées par les différentes natures et propriétés des objets qui y sont étudiés. En 1872, dans son cours inaugural à l’université d’Erlangen, Félix Klein propose de se concentrer, non pas sur les objets particuliers à chacune de ces géométries, ni même sur les propriétés individuelles qu’on y étudie, mais sur les relations entre ces objets qui préservent ces propriétés. En termes mathématiques, il place le groupe de symétries d’une géométrie au cœur de son étude, et découvre que de nombreuses propriétés géométriques intrinsèques se traduisent à travers l’action d’un groupe de transformations particulier.

L’approche de Klein est connue sous le nom de programme d’Erlangen (voir [Kle21]) et a profondément contribué à la transformation de la géométrie jusqu’à ce que l’on en connaît aujourd’hui. En ce qui nous concerne, les travaux de Félix Klein et Sophus Lie nous mènent à la définition suivante, qui sera le point de départ de ce que nous appellerons géométrie.

Définition 3.0.1. Une géométrie de Klein est un espace homogène connexe X = G/P , où G est un groupe de Lie et P un sous-groupe fermé de G, tels que l’action naturelle à gauche de G sur X est fidèle¹.

Avec un autre point de vue, une géométrie de Klein est un espace X muni d’une struc-ture géométrique S_X dont le groupe d’automorphismes G agit transitivement sur X. L’idée de la définition précédente est précisément d’utiliser G pour étudier S_X, à travers l’identification X ≡ G/P induite par l’action transitive de G (où P est le stabilisateur d’un point quelconque de X).

Le premier exemple de géométrie de Klein reste bien entendu l’espace euclidien Rⁿmuni de sa métrique euclidienne standard, vu comme l’espace homogène (Rⁿo O(n))/O(n). Un exemple qui nous intéressera plus particulièrement est l’espace projectif RPⁿ muni de la structure projective définie par ses droites projectives, identifié à PGL_n+1(R)/Qn+1 où Q_n+1 = Stab([e₁]) (notons que PGL_n+1(R) est non connexe si n + 1 est pair). On peut également citer la sphère conforme Sⁿ, i.e. la sphère ronde munie de sa structure Riemannienne conforme. Pour obtenir le groupe d’automorphismes de cette structure conforme, il est commode (bien que cela puisse sembler surprenant) de voir Sⁿcomme l’ensemble des droites isotropes de l’espace de Minkowski R^1,n+1

1. Certains auteurs n’imposent pas cette condition, et nomment effectives les géométries de Klein qui la vérifient. Pour notre part nous garderons toujours cette hypothèse, et nous l’incluons donc dans la définition.

de signature Lorentzienne (1, n + 1), ce qui identifie Snà PO(1, n + 1)/P avec P le stabilisateur d’une droite isotrope. Un analogue complexe naturel de cette construction est la sphère CR définie comme l’espace des droites complexes isotropes de l’espace hermitien C^1,n+1 de signature (1, n + 1). Cet espace est homéomorphe à S2n+1 et s’identifie à PSU(1, n + 1)/P avec P le stabilisateur d’une droite complexe isotrope. Mais la géométrie de Klein qui nous intéressera le plus reste bien entendu l’espace homogène modèle X_2n+1 = PGL_n+2(R)/Pn+2 des structures Lagrangiennes de contact muni de sa structure standard L_X2n+1, que nous avons étudié dans le chapitre précédent.

Chacune des structures géométriques G-invariantes des géométries de Klein G/P que nous avons présentées se généralise à des variétés quelconques. On obtient alors respectivement les métriques Riemanniennes, les structures projectives, les structures Riemanniennes conformes, les structures CR, et enfin, les structures Lagrangiennes de contact. On peut alors se demander si les structures générales sont modelées sur l’espace homogène de départ G/P . Par exemple, est-il possible de relier toute structure Lagrangienne de contact à X_2n+1? Plus précisément, peut-on voir toute structure Lagrangienne de contact comme une généralisation de X_2n+1?

Dans la première section de ce chapitre, nous définissons sur toute variété M de dimension dim X la notion de géométrie de Cartan modelée sur une géométrie de Klein X. Ces structures géométrique dûes à Élie Cartan constituent une réponse à la question précédente. Nous verrons en effet que les géométries de Cartan modelées sur X se rapprochent autant que possible de ce que l’on entendrait par une version courbe de l’espace homogène modèle X. La référence principale pour cette introduction aux géométries de Cartan est [Sha97]. Notre objectif est in fine de montrer qu’une géométrie de Cartan modelée sur X est équivalente à la donnée d’une structure géométrique sur M du même type que la structure G-invariante d’origine de X. Par exemple, une structure Lagrangienne de contact sur une variété M sera équivalente à une géométrie de Cartan modelée sur X_2n+1, qui sera dite normale.

Pour parvenir à cette description, nous nous concentrons dans le reste du chapitre sur une famille particulière de géométries de Klein dites paraboliques, à laquelle appartient X_2n+1. Pour ces dernières nous résolvons le problème d’équivalence, i.e. nous établissons le dictionnaire entre géométries de Cartan et structures géométriques concrètes associées sur la variété de base. L’idée de la résolution du problème d’équivalence que nous présentons remonte à Tanaka dans [Tan79], et les résultats présentés dans ce chapitre sont ensuite dûs à différents auteurs qui ont graduellement simplifié cette approche. Pour notre part, nous nous reposons sur la théorie exposée dans [ČS09, §3.1], dont nous nous efforçons de rendre aussi accessible que possible la démarche. Nous choisirons un point de vue légèrement différent de celui des auteurs sur la structure de base, et nous mettrons l’accent sur certains arguments en remplaçant l’utilisation des « tractor bundles » par celle d’applications équivariantes.

3.1 Géométries de Cartan paraboliques

Dans tout ce chapitre, X = G/P désigne une géométrie de Klein quelconque, et non pas l’espace homogène modèle des structures Lagrangiennes de contact de dimension trois, que nous noterons dans ce chapitre X₃.

3.1.1 (G, X)-structures

Nous avons annoncé les géométries de Cartan comme une généralisation des géométries de Klein. On peut plus précisément dire que les géométries de Cartan sont aux géométries de Klein ce que les variétés Riemanniennes sont à l’espace euclidien : des « versions courbes » d’un espace

3.1. Géométries de Cartan paraboliques 45 modèle.2On sait qu’en géométrie Riemannienne, les plus simples de ces versions courbes restent celles qui sont plates, c’est à dire dont la courbure est nulle, ou encore qui sont localement iso-métriques à l’espace euclidien. De la même manière, les plus simples des géométries de Cartan devraient donc être celles qui sont localement modelées sur la géométrie de Klein, i.e. obtenues en recollant des morceaux de la géométrie de Klein par des symétries de cette dernière. Les géo-métries construites de cette manière sont appelées (G, X)-structures, et nous prenons le temps de les introduire dans ce premier paragraphe (pour plus de détails, nous renvoyons à [Thu97]).

Autorisons-nous tout d’abord un bref anachronisme pour affirmer que l’action de G sur X est analytique pour toute géométrie de Klein : si deux éléments g et h de G ont la même action sur un ouvert non-vide de X, alors g = h (ceci sera prouvé dans la remarque 3.1.8). Cette simple propriété est à peu près la seule nécessaire pour pouvoir dire des choses intéressantes sur les (G, X)-structures. Nous copions maintenant la définition d’une variété en gardant en tête la géométrie de Klein. Sur une variété M de dimension dim X, un (G, X)-atlas est un atlas de cartes de M à valeurs dans X dont les changements de carte sont les restrictions d’éléments de

G, et deux (G, X)-atlas sont dits compatibles si leur union est encore un (G, X)-atlas.

Définition 3.1.1. Une (G, X)-structure sur une variété M de dimension dim X est la don-née d’un (G, atlas maximal, et on appelle (G, variété une variété munie d’une (G, X)-structure.³

Cette définition suit très précisément l’esprit du programme d’Erlangen de Klein. Tout objet défini dans le langage de la géométrie différentielle sur X et invariant par G fait en effet sens sur une (G, X)-variété. Par exemple sur toute (Rⁿo O(n), Rⁿ)-variété on peut tirer en arrière la métrique euclidienne standard de Rⁿpar toute carte d’un (Rⁿo O(n), Rⁿ)-atlas, et les métriques locales ainsi obtenues se recollent puisque les changements de cartes préservent la métrique euclidienne. Les (RⁿoO(n), Rⁿ)-variétés sont donc simplement les variétés Riemanniennes plates. On peut également lire les symétries de la structure géométrique obtenue dans les cartes d’un (G, X)-atlas. Un (G, X)-morphisme entre deux (G, X)-variétés est un difféomorphisme local dont la lecture dans X, à travers tout jeu de cartes des (G, X)-atlas, est la restriction d’un élément de G. Un (G, X)-automorphisme d’une (G, X)-variété M est un difféomorphisme de

M qui est un (G, X)-morphisme, et le groupe des automorphisme de M est noté Aut(M ). Si πM: ˜M → M désigne le revêtement universel de M , alors ˜M est toujours muni de la (G,

X)-structure pour laquelle π_M est un (G, X)-morphisme. Pour cette structure, le groupe fondamental de M agit par automorphismes de ˜M , i.e. π₁(M ) ⊂ Aut( ˜M ). L’outil principal pour l’étude des

(G, X)-structures est l’existence sur le revêtement universel d’une extension gobale des cartes du (G, X)-atlas.

Théorème 3.1.2. Soit M une (G, X)-variété connexe. Il existe alors un (G, X)-morphisme

δ : ˜M → X, appelé application développante, qui est équivariant pour un morphisme ρ : Aut( ˜M ) → G appelé morphisme d’holonomie.

Remarquons qu’inversement, puisque π₁(M ) ⊂ Aut( ˜M ), le couple (δ, ρ) caractérise la (G,

X)-structure de M en décrétant que δ soit un (G, X)-morphisme. Pour tout g ∈ G, le couple (g ◦ δ, gρg⁻¹) définit sur M la même (G, X)-structure que (δ, ρ).

Les exemples les plus simples de (G, X)-structures sont les quotients de X par des sous-groupes discrets de G agissant librement et proprement sur X. Sous réserve que X soit

simple-2. Et en ce sens, elles constituent véritablement une belle synthèse entre deux des avancées majeures en ce qui concerne la géométrie au cours du 19^èmesiècle : les travaux de Klein et Riemann.

3. La notion de (G, X)-structure fait sens et demeure féconde pour des couples (G, X) bien plus généraux, où G est seulement un sous-groupe de difféomorphismes d’une variété X, qui n’agit pas nécessairement transitivement sur X (voir par exemple [Thu97]).

ment connexe, ils correspondent aux cas où la structure est complète, i.e. où l’application déve-loppante δ : ˜M → X est un revêtement. Pour l’espace euclidien par exemple, les (Rⁿo O(n), Rⁿ )-structures complètes et compactes sont les tores plats.

Le quotient d’un ouvert Ω de X par un sous-groupe discret de G agissant librement et proprement sur Ω est appelé une structure Kleinienne de X. Nous avons déjà rencontré au chapitre 1 des exemples de structures Kleiniennes sur l’espace modèle X₃ = PGL₃(R)/Pmin

des structures Lagrangiennes de contact de dimension trois. Si Σ est une surface hyperbolique, nous avons défini au chapitre 1 une structure Lagrangienne de contact L^su_Σ invariante par le flot géodésique sur le fibré unitaire tangent T¹Σ (voir propositions 1.2.2). Nous avons vu qu’à indice deux près, L^su_Σ est un quotient de l’unique orbite ouverte Y_tde SL₂(R) dans X3(voir proposition 2.3.4 et remarque 2.3.5). La structure Lagrangienne de contact préservée par un automorphisme partiellement hyperbolique de nil-variété (voir paragraphe 1.2.3) est également une structure Kleinienne, quotient de l’ouvert affine Y_a⊂ X₃ (voir remarque 2.4.3).

Dans notre classification des difféomorphismes partiellement hyperboliques de type contact au chapitre 5 (voir Theorem A.1), notre premier objectif sera précisément de montrer que la structure Lagrangienne de contact préservée par le difféomorphisme partiellement hyperbolique est Kleinienne, dans le but de se ramener ensuite à l’un des deux exemples précédents : quotient d’un ouvert de Y_t ou de Y_a.