Rigidité des automorphismes à l’ordre deux

Pour r ≥ 1, on dira que deux courbes α : I → M et β : I → M ont le même r-jet en 0 si pour tout 0 ≤ k ≤ r on a (ϕ ◦ α)^(k)(0) = (ϕ ◦ β)^(k)(0) pour toute carte locale ϕ : U → R^m définie au voisinage de α(0) = β(0). On vérifie facilement que cette notion est indépendante de la carte choisie, et on dit qu’une application f : M → M a un r-jet trivial en x ∈ M si pour toute courbe α : I → M passant par x en 0, f ◦ α a le même r-jet que α en 0. C’est équivalent à dire que dans toute carte locale, f a le même développement limité que id_M en x jusqu’à l’ordre r, et cela impose en particulier f (x) = x et D_xf = id_TxM. Notons que la notion de développement est compatible avec les jets : si deux courbes α et β ont le même r-jet en 0, alors leurs développements dans X en tout point ˆx ∈ π⁻¹(α(0)) ont le même r-jet en 0.

Théorème 4.3.8. Soit f un automorphisme d’une structure lagrangienne de contact connexe (M, L). Si le jet d’ordre 2 de f est trivial en un point de M , alors f = id_M.

Démonstration. Supposons le 2-jet de f trivial en x ∈ M . Soit α une chaînette paramétrée

passant par x, ˆx ∈ π⁻¹(x) tel que α se développe en ˆx sur γ0(t) = π_X2n+1(exp(te₀)), et notons

p l’holonomie de f en ˆx, i.e. ˆx⁰ := ˆf (ˆx) = ˆx · p⁻¹. On a D_xˆ0π ◦ D_xˆf = D^ˆ _xf ◦ D_xˆπ, et puisque ˆf

préserve ω, en notant φ : sl_n+2→ sl_n+2/p_n+2 la projection canonique on en déduit D_xˆ0π ◦ ω_x⁻¹_ˆ0 = D_xf ◦ i⁻¹_xˆ ◦ φ en précomposant par ω_x⁻¹_ˆ . Or D_ˆx0π ◦ ω_x⁻¹_ˆ0 = i⁻¹_xˆ0 ◦ φ = i⁻¹_ˆx ◦ Ad(p) ◦ φ selon (3.1.2), d’où

4.3. Chaînettes d’une structure Lagrangienne de contact 91 Puisque D_xf = id, on a donc Ad(p) = id, ce qui impose à p d’être de la forme

p =    1 0 z 0 id 0 0 0 1   

selon (2.1.6). Selon la proposition 4.3.3, (Dev_xˆ(f ◦ α))(t) = p⁻¹(Dev_xˆα)(t) = p⁻¹γ0(t), or

p⁻¹γ₀(t) = γ₀(_1−zt^t ) pour tout t ∈ R tel que 1 − zt 6= 0 selon la preuve du lemme 2.2.9, d’où

f ◦ α(t) = α( ^t

1 − zt^{) (4.3.5)}

pour tout t assez proche de 0 selon la proposition 4.3.2. Puisque le raisonnement est local autour de x, on peut supposer que M est un ouvert de Rm. Selon (4.3.5), on a alors (f ◦ α)⁰(t) = (1 − zt)⁻²α⁰(_1−zt^t ) et (f ◦ α)⁰⁰(t) = 2z(1 − zt)⁻³α⁰(_1−zt^t ) + (1 − zt)⁻⁴α⁰⁰(_1−zt^t ) pour tout t proche de 0. Le 2-jet de f étant trivial en x, 2zα⁰(0) + α⁰⁰(0) = (f ◦ α)⁰⁰(0) = α⁰⁰(0), d’où z = 0 puisque

α⁰(0) 6= 0. Par suite p = e et ˆf (ˆx) = ˆx, ce qui impose ˆf = id_Mˆ selon la proposition 3.1.9, et termine la preuve.

Chapitre 5

Difféomorphismes partiellement

hyperboliques de contact en

dimension trois

Un difféomorphisme f d’une variété compacte M de dimension trois est dit partiellement

hyperbolique s’il préserve une décomposition TM = E^s ⊕ Ec⊕ Eu de son fibré tangent en trois distributions continues de dimension un, tel que E^s (respectivement E^u) est uniformément contractée (resp. dilatée) par f , et tel que la décomposition est dominée (cette définition sera précisée plus bas, voir Definition 5.1.2). En général, les trois distributions invariantes d’un dif-féomorphisme partiellement hyperbolique sont peu régulières. Dans ce chapitre, nous étudions l’impact sur la rigidité de la dynamique de certaines propriétés géométriques sur ces distribu-tions. Plus précisément, nous les supposons toutes trois lisses et nous supposons E^s ⊕ Eu de contact. L’énoncé ci-dessous résume l’essentiel des résultats obtenus sous ces hypothèses. Théorème A. Soit M une variété compacte, connexe et orientable de dimension trois, et soit

f un difféomorphisme partiellement hyperbolique de M préservant l’orientation et vérifiant les conditions suivantes.

– Les distributions stable, instable et centrale de f sont lisses. – E^s⊕ Eu est une distribution de contact de M .

– L’ensemble non-errant de f est égal à M . On a alors l’alternative suivante.

1. Soit une puissance finie de f est conjuguée à un temps non-nul d’un flot Anosov de contact algébrique de dimension trois,

2. ou bien un relevé fini de f est conjugué à un automorphisme partiellement hyperbolique d’une nil-variété.

Cet énoncé sera précisé au cours du chapitre, pour obtenir le théorème A annoncé dans l’introduction (voir Proposition 5.6.5 et Corollary 5.8.2), ainsi qu’un raffinement de ce der-nier (voir Theorem A.2). Ce chapitre écrit en anglais est pour l’essentiel une reproduction de la prépublication [MM20]. Nous utiliserons la description géométrique détaillée des structures Lagrangiennes de contact faite dans les chapitres précédents pour classifier la structure géomé-trique (E^s, E^u, E^c) sous-jacente au difféomorphisme partiellement hyperbolique f , ce qui nous permettra ensuite de décrire f . Une familiarité avec la géométrie de Cartan normale associée à une structure Lagrangienne de contact de dimension trois ainsi qu’avec la géométrie de l’espace modèle sera donc utile pour s’approprier les arguments développés dans ce chapitre. Ceci étant, il peut tout à fait se lire de manière indépendante, car toutes les notions qui y sont utilisées sont introduites à nouveau au paragraphe 5.2.

5.1 Introduction

In a lot of natural situations, a differentiable dynamical system on a smooth manifold pre-serves a geometric structure on the tangent bundle, defined by invariant distributions. For ins-tance, if it preserves a Borel measure, then Oseledet’s theorem provides an almost-everywhere defined splitting of the tangent bundle, given by the rates of expansion or contraction of the tangent vectors by the differentials of the dynamics.

Although invariant geometric structures naturally arise, they are in general highly non-regular (Oseledet’s decomposition is for instance only measurable), and this lack of non-regularity allows a lot of flexibility of the dynamics : former examples can be deformed in order to produce a lot of new ones. In contrast, the smoothness of the invariant distributions puts a strong restriction on the system, and the known examples with smooth (i.e. C^∞) distributions are in general “very symmetric” : typically, they arise from compact quotient of Lie groups, with action by affine automorphisms.

It is thus natural to ask to what extent the geometric structure preserved by the dynamics makes the situation rigid, and especially why.

Let us give a paradigmatic example of rigidity with the following result of Étienne Ghys concerning three-dimensional Anosov flows (the statement proved by Ghys in [Ghy87] is more precise than the one given below).

Theorem 5.1.1 ([Ghy87]). Let (ϕt) be an Anosov flow of a three-dimensional closed connected

manifold. If the stable and unstable distributions of (ϕ^t) are smooth, then :

– either (ϕ^t) is smoothly conjugated to the suspension flow of a hyperbolic automorphism

of the two-torus,

– or (ϕ^t) is smoothly orbit equivalent to a finite covering of the geodesic flow of a compact

hyperbolic surface.

We recall that a smooth non-singular flow (ϕ^t) of a compact manifold M is Anosov if its differentials preserve two distributions E^s and E^u, respectively called the stable and unstable distribution of (ϕ^t), satisfying TM = E^s⊕ R^dϕ_dt^t ⊕ Eu and such that E^sis uniformly contracted by (ϕ^t), and E^u uniformly expanded by (ϕ^t).

Under the smoothness assumption of E^s and E^u, Ghys notices that the plane distribution

E^s⊕ Eu can only have two extreme geometrical behaviours : either it integrates into a foliation, or it is a contact distribution (i.e. it is locally the kernel of a contact one-form). In the first case, former results of Plante and Franks conclude the proof, and lead to the suspension examples. The work of Ghys in [Ghy87] is therefore almost entirely devoted to three-dimensional

contact-Anosov flows, i.e. when E^sand E^u are smooth, and E^s⊕ Eu is contact. Under these geometrical assumptions, the pair (E^s, E^u) is a rigid geometric structure preserved by the Anosov flow, which makes the classification possible and leads to the finite coverings of geodesic flows.

In this paper, we investigate the same kind of geometrical rigidity conditions, but for the discrete-time analogs of Anosov flows that are the partially hyperbolic diffeomorphisms.