Structure générale de commande proposée

4.1.2.1 Approche de commande générale

Il a été vu au Chapitre 3 que le système (Σ) résultant d’une pré-compensation rigide appliquée à un robot flexible pouvait être approché par une représentation linéaire nominale, entachée d’incertitudes additives représentant les variations de la configuration du robot (structure rappelée Fig.4.3). Dans la continuité de la démarche d’identification réalisée dans le domaine fréquentiel, le problème de la stabilité robuste de la commande vis-à-vis des incertitudes ainsi mises en évidence peut être formulé en termes de gabarits fréquentiels sur les transferts du système en boucle fermée. Le formalisme de synthèse H∞ apparaît comme bien adapté à la résolution de ce problème mettant en jeu le compromis entre performance et robustesse.

(Σ)

(a)

⇔

(b)

Figure 4.3 – Rappel de la structure avec (a) une boucle de compensation interne, et (b) représentation équivalente pour la commande.

D’autre part, la commande recherchée doit répondre à un objectif de précision. Une structure de commande à deux degrés de liberté permet de décomposer le problème de synthèse vis-à-vis des spécifications de robustesse et de rejet de perturbation d’une part, et de précision de suivi d’autre part. La connaissance de la trajectoire a priori peut être avantageusement exploitée grâce à des stratégies prédictives afin d’améliorer la précision. La commande prédictive fournit un cadre de synthèse de lois de commande adapté à ce contexte.

L’objectif de ce chapitre sera donc la synthèse d’une loi de commande à deux degrés de liberté tenant compte des spécifications de robustesse formulées dans le domaine fréquentiel à partir des expériences d’identification, et comportant un mécanisme de prédiction, permettant d’exploiter la connaissance de la trajectoire future sur un horizon fini. Cet objectif sera exploré

4.1. Position du problème de commande 69 dans ce chapitre à partir de deux points de vue différents : celui d’une robustification de lois de commande prédictives, et celui d’une commande robuste dotée d’un mécanisme d’anticipation (tableau4.1). Ces approches seront comparées vis-à-vis de leurs performances et du degré de complexité de leurs réglage et mise en œuvre pratique.

Tableau 4.1 – Lois de commande proposées dans l’objectif de précision et robustesse.

Type de correcteur GPC GPC H_∞ H_∞ à 2 ddl avec

robustifié à 1 ddl anticipation Prise en compte explicite de contraintes de

robustesse

non oui oui oui

Mécanisme d’anticipation par rapport à la trajectoire future

oui oui non oui

4.1.2.2 Structure cascade pour l’amortissement de vibrations

En plus du compromis performance-robustesse, l’objectif d’amortissement de vibrations doit être prise en compte. Une façon de combiner l’objectif d’amortissement avec celui de précision en suivi de trajectoire est de concevoir la commande de mouvements principale sur le système préalablement amorti par une boucle interne de commande amortissante. Une telle structure cascade est souvent dénommée « structure HAC/LAC » (High-/Low-Authority Controller) dans la littérature (Preumont,2002;Symens et al.,2004;Verscheure et al.,2006). Le schéma de commande global avec les deux correcteursHLAC etHHAC appliqué au système incertain issu de l’identification expérimentale est représenté Fig.4.4, avec les notations introduites au chapitre 3.

d

d r

Figure4.4 – Schéma-bloc de la structure de commande HAC/LAC.

On détaille ci-dessous le réglage de la boucle interne (LAC), commune aux deux stratégies de synthèse de la boucle externe prédictive et robuste (HAC). Les effets sur les incertitudes sont également examinés, mettant en évidence une simplification du problème de synthèse robuste de la boucle externe.

70 Chapitre 4. Commande de mouvements prédictive robuste Réglage de la boucle interne amortissante

La synthèse de la boucle interne est réalisée séparément pour chaque axe en temps discret.

Le modèle de synthèse correspond aux éléments diagonaux du modèle G₀ évalué dans la configuration nominale P1, et de forme générale continue (3.36) rappelée ci-dessous, avec s la variable de Laplace :

Gii(s) = a0(s+a1)(s²+a2s+a3)(s²+a4s+a5)

s(s+b1)(s+b2)(s²+b3s+b4)(s²+b5s+b6) (4.1) avec a_i etb_j coefficients scalaires réels. Cette situation correspond à des paires capteurs/ac-tionneurs colocalisés. Différentes stratégies peuvent être adoptées pour le choix de correcteur amortissant pour ce type de système (Preumont, 2002). Dans un compromis entre l’effet amortissant obtenu et la simplicité du correcteur LAC, un correcteur par avance de phase est considéré dans le cas présent pour chaque axe, discrétisé à partir de son expression continue :

H_LACⁱ (s) =g_i 1 +T_leads

1 +a_leadT_leads, a_lead<1 (4.2) a_lead et T_lead sont choisis afin de réaliser une avance de phase suffisante à la fréquence wlead = 1/T√

a. Dans un objectif d’amortissement et de réduction d’incertitudes, la fré-quence correspondant à l’incertitude maximale (voir ¯σ(∆_G) dans Fig. 4.7) est sélectionnée (w_lead = 36rad/s, a_lead = 1/6 pour les deux axes). Le gain g_i du correcteur est ajusté dans le plan complexe afin de maximiser l’amortissement ζ du premier pôle résonant. Le lieu des pôles discret de la boucle fermée nominale obtenue avec le correcteur (4.2) discrétisé à la période d’échantillonnage Ts = 4ms est représenté Fig. 4.5 pour les axes 3 et 4. Les pôles complexes conjugués résonants décrivent des boucles caractéristiques vers les zéros du sys-tème quand le gain g_i augmente, préservant la stabilité du système, ce qui permet de choisir le gain correspondant à l’amortissement maximal. Suivant ce principe, g1 = 180 est choisi pour l’axe 3 avec ζ₁ = 0,42 (amortissement augmenté de 50%), et g₂ = 250 est choisi pour l’axe 4 avecζ₂= 0,37 (amortissement augmenté de 32%).

Effets sur l’incertitude

Afin d’évaluer les effets de la boucle interne amortissante sur l’incertitude ∆_G, le modèle MIMO complet (3.36) est utilisé. On considère le système avec la boucle interne amortissante vu par la boucle HAC (Fig.4.4 et les notations associées, et Fig.4.6).

Le système incertain initial non amortiG_∆ correspond au modèle nominalG₀ avec l’incerti-tude associée ∆_G :

G_∆(z) =G₀(z) + ∆_G(z) (4.3)

Pour la synthèse du correcteur externe H_HAC, le système incertain (4.3) amorti par le cor-recteur interne (4.2) peut être vu comme un nouveau système incertain G^d_∆, associé à une incertitude ∆^d_G :

G^d_∆(z) =G^d₀(z) + ∆^d_G(z) (4.4)

4.1. Position du problème de commande 71

0.90 0.92 0.94 0.96 0.98 1

0.04 0.08 0.12 0.16 0.2

Axe réel

Axe imaginaire

0.2 0.1

0.3 0.4

0.5 Gaing_1,2= 0

g1 g2 Gaing₁= 180

ζ₁ = 0.42

ζ_1,2⁰ = 0.28

Gaing₂= 250 ζ₂ = 0.37

Figure4.5 – Superposition des lieux des pôles discrets en boucle fermée pour les axes 3 et 4, en fonction du gain gi de la boucle interne (le diagramme est symétrique par rapport à l’axe réel).

d

d r d

d d d

Figure4.6 – Schéma bloc de la structure de commande HAC/LAC - représentation équiva-lente après amortissement.

où G^d₀ représente le système nominal G0 après amortissement (Fig. 4.6), et ∆^d_G peut être exprimée comme :

∆^d_G= (In+ (G0+ ∆_G)HLAC)⁻¹(G0+ ∆_G)−(In+G0HLAC)⁻¹G0 (4.5)

La borne supérieure de l’incertitude ∆_Gpouvant être obtenue à partir des expériences d’iden-tification, la borne supérieure de ∆^d_G peut être calculée. La Figure 4.7représente les valeurs singulières maximales des incertitudes des systèmes initial et amorti. On remarque que la nouvelle borne supérieure de l’incertitude est diminuée de 10dB à la première résonance.

Afin d’examiner les conséquences de cette réduction sur la synthèse de la boucle externe, on considère le schéma d’analyse de la robustesse en stabilité (Fig. 4.8). D’après le théorème du petit gain (Zhou et al., 1996), et puisque le système commandé nominal est stable, la

72 Chapitre 4. Commande de mouvements prédictive robuste

1 5 10 20 50

−100

−90

−80

−70

−60

−50

−40

−30

Amplitude (dB)

Fréquence (Hz)

incertitude du système non amorti

incertitude du système amorti

approximation WΔ

Figure4.7 – Valeurs singulières maximales des incertitudes liées àG_∆(avant amortissement) et G^d_∆ (après amortissement), notées respectivement ¯σ(∆G) et ¯σ(∆^d_G), et approximation de cette dernière par le filtre W_∆.

condition suffisante de stabilité robuste sous l’incertitude ∆ de borne supérieure W_∆ est : k∆T_y∆→u_∆k_∞<1 ⇔ ∀ ω σ(T¯ _y∆→u_∆)< 1

σ(∆)¯ (4.6)

⇔ ∀ ω σ(T¯ _y∆→u_∆)< 1

|W_∆| (4.7)

avec ¯σ(·) représentant la valeur singulière maximale,k · k_∞la normeH∞(voir AnnexeC), et T_y∆→u_∆ le transfert en boucle fermée dey_∆àu_∆. L’incertitude associée au système incertain amorti, avec 1/W_∆^d ≥ 1/|W_∆|, est par conséquent moins restrictive dans un contexte de synthèse robuste.

Δ

u_Δ

T_{yΔ uΔ}(H_HAC,G₀)

Figure 4.8 – Schéma d’analyse de la robustesse de la stabilité.

La borne W_∆ approchant ¯σ(∆^d_G) représentée Fig. 4.7 correspond à la fonction de transfert (4.8) et sera utilisée par la suite dans la robustification de lois de commande GPC (discrétisée par la transformée bilinéaire dans les méthodes de synthèse en temps discret) et lors de la synthèse H∞:

W_∆(s) = 10^−53/20(s²/70²+ 2×0,7/70s+ 1)(s²/600²+ 2×0,7/600s+ 1)

(s²/21²+ 2×0,7/21s+ 1)(s²/100²+ 2×0,4/100s+ 1) (4.8)

4.1. Position du problème de commande 73 Les correcteurs de la boucle externe HAC seront synthétisées par la suite sur le systèmeG^d_∆, comprenant la boucle interne d’amortissement LAC qui ne sera plus modifiée.