Réglages et analyse préliminaire

On détaille ci-dessous le principe de réglage de l’algorithme et les choix particuliers effectués.

L’algorithme est ensuite appliqué hors ligne à l’essai présenté dans l’exemple introductif (section5.2.1.1). Enfin, les conditions de détectabilité d’une force sont exposées.

Réglages

Dans sa réalisation pratique, l’algorithme représenté Fig. 5.7 est augmenté par un filtrage passe-bas du premier ordre en sortie du calcul du résidu filtré et des seuils, ainsi que par le calcul d’une valeur efficace (notée RMS d’après root mean square) sur un horizon donné des différentes grandeurs comparées. Ces étapes supplémentaires sont représentées Fig. 5.8 par les blocs « Filtre_seuil», « Filtre_res» et « RMS ». Ces choix sont motivés par les considérations suivantes :

• les filtres passe-bas sont ajoutés afin de réduire l’influence des bruits hautes fréquences, pouvant notamment être dûs à la dérivation numérique dans le calcul des vitesses et accé-lérations. L’ajout de ces filtres après le calcul des seuils permet de les régler en fonction du niveau de bruit observé. Notons que ces filtres sont une source de retards dans la procé-dure de détection, ils doivent donc être choisis avec soin et en fonction de la performance requise. Notons également que le filtre « Filtre_seuil» ne doit pas présenter de retard supé-rieur à celui induit par le filtre sur le résidu « Filtre_res» au risque d’augmenter le nombre de fausses alertes, et doit donc avoir une fréquence de coupure supérieure. L’expression continue équivalente de ces filtres de fréquence de coupureω_{f ilt} est donnée par :

Filtre_{res, seuil}(s) = 1

s

ωf ilt + 1 (5.26)

• la valeur efficace (RMS) est introduite ici comme une fonction d’évaluation alternative à la valeur absolue : au lieu de comparer les valeurs absolues du résidu filtré et du seuil dynamique à l’instantk, on compare leurs valeurs efficaces calculées sur un horizon temporel Nrms. Cet horizon intervient comme un paramètres de réglage permettant de tenir compte non seulement de l’information à l’instant k mais également de l’évolution des résidus filtrés comparativement au seuil sur quelques échantillons passés, diminuant ainsi le risque de fausses alertes. La valeur efficace d’un signalu est calculée à l’instantk comme suit :

urms(k) = v u u t

1 N_rms

Nrms

X

i=0

u²(k−i) (5.27)

5.2. Détection de collision sous incertitudes de modélisation 131

G_b^-1(z) Δ_i(z)

Δ_i+1(z) e_i

e_i+1 T_static

+ -++

++

T T_Δi+1

T_Δi

r r_filt > 0 : collision

< 0 : pas de collision

alerte

Evaluation Décision

Filtreseuil RMS

Filtre_seuil RMS

Filtreres RMS MCR

r_filt MCR r_filt MCR

Figure 5.8 – Implantation pratique de la méthode d’évaluation de résidu proposée, avec adaptation des coefficients des filtres par moindres carrés récursifs (MCR), et filtrage addi-tionnel.

Les autres paramètres de réglage de l’algorithme sont :

◦ la valeur du seuil statique T_static, choisie en fonction du niveau de bruit ou incertitudes non prises en compte par les seuils dynamiques ;

◦ l’ordre des fonctions de transfertG⁻¹_b (z) et ∆i(z) dont les coefficients sont adaptés en ligne.

Un ordre plus élevé se traduit par un meilleur pouvoir descriptif, mais augmente la taille du vecteur de coefficients à estimer et le nombre d’opérations à effectuer en temps réel. Les valeurs d’initialisation des coefficients ont peu d’influence et ne requièrent pas de réglage particulier.

◦ les paramètres de l’algorithme MCR : le facteur d’oubliλ, choisi généralement très proche de 1 (plus λest petit, et moins les données passées ont de l’importance) ; valeurs initiales des matrices de gain d’adaptationF(0), généralement choisies diagonales de formeF(0) = f0In, avec f0 paramètre constant choisi d’autant plus grand que les valeurs initiales des paramètres à estimer sont incertaines (adaptation rapide).

Dans le réglage effectué, deux seuils dynamiques sont calculés, le premier prenant en entrée la consigne en accélération (e1 = ¨qd), et le second - une combinaison linéaire de la vitesse de consigne et de sa fonction signe (e2 = αq˙_d+ sign( ˙q_d), α paramètre constant pré-réglé par exemple à partir de l’identification des frottements), regroupant ainsi l’influence des frottements de Coulomb dans un souci de réduction du nombre de coefficients à estimer.

132 Chapitre 5. Vers une interaction sûre avec l’opérateur humain Notons que ce dernier choix de regroupement est suffisant dans le cas particulier du robot considéré, mais n’a pas de vocation générale car il limite les degrés de liberté de l’algorithme.

Les valeurs numériques utilisées des différents paramètres de réglages dans le cas du robot ASSIST à deux axes sont :T_static= [0,78; 0,28], dénominateur deG⁻¹_b (z) de degré 9, ∆₁(z) et

∆₂(z) de numérateurs de degré 7 et de dénominateurs de degré 8 pour chaque axe, ˆθ(0) = 0, F(0) = 10In,λ= 0,999,ω^res_{f ilt}= 2π10rad/s,ω_{f ilt}^seuil = 2π50rad/s, Nrms= 10.

Evaluation sur l’exemple introductif

On présente ci-dessous l’évaluation hors ligne de l’algorithme ainsi réglé sur l’essai présenté dans l’exemple introductif (section5.2.1.1). On rappelle que cet essai présente deux collisions, dont les effets sur le résidu r sont inférieurs aux effets des incertitudes de modélisation, rendant inefficace une simple comparaison avec un seuil constant. Le résidu, correspondant à une même expérience avec et sans collisions, est rappelé Fig.5.9, et le signal logique d’alerte issu de l’algorithme proposé est superposé. Les deux collisions sont bien détectées au niveau de l’axe 4. Cependant, un retard de détection dû au filtrage est présent, avec ∆t_detect = 0,24s (collision 1) et 0,36s (collision 2) entre le maximum du pic du résidu dû à la collision et l’instant d’alerte.

0 5 10 15 20

0 5 10 15

0 5 10 15 20

0 1 2 3 4 5

Δtdetect

Axe 3 - résidu (N)Axe 4 - résidu (N)

Temps (s)

collision 1 collision 2

sans collision avec collision signal d'alerte

Δtdetect

détection détection

Figure 5.9 – Evaluation de l’algorithme sur l’exemple introductif - résidu (non filtré), et signal logique d’alerte produit par l’algorithme de détection.

La quantification de la sensibilité de l’algorithme en termes de couple équivalent, comparable avec un seuillage constant simple du résidu non filtré, et permettant de prévoir la force mini-male détectée au niveau de l’effecteur n’est pas immédiate. En effet, si l’on tient uniquement

5.2. Détection de collision sous incertitudes de modélisation 133 compte de la contribution statique du seuil considéré, Tstatic est comparé dans l’algorithme proposé avec r_rms, résidu en sortie du bloc RMS, et ayant subi plusieurs filtrages. Le bloc RMS n’a pas d’influence si on considère un résidu constant, et le filtre « Filtre_res » est de gain unitaire. En revanche, le filtre G⁻¹_b (z) varie car ses coefficients sont adaptés en ligne.

A titre d’exemple, l’évolution de son gain statique en fonction du temps pour l’essai consi-déré dans cette section est représentée Fig.5.10. On remarque qu’en dehors d’une période de convergence initiale de l’algorithme, ce gain peut être borné. Suivant ses bornes maximales et minimales pour chaque axe, il est donc possible d’estimer les valeurs minimales et maximales du seuil statique équivalent surr selon le calcul suivant :

r_{f ilt}=G⁻¹_b r (5.28)

|r_{f ilt}| ≤T_static⇔ |r| ≤ T_static

|G⁻¹_b |_ω=0 (5.29)

Pour l’exemple considéré, le niveau de détection correspondant est ainsi compris entre 4,6Nm et 11,4Nm pour l’axe 3, et entre 1,8Nm et 4,1Nm pour l’axe 4. Pour comparaison, le seuil statique simple, englobant les variations du résidu dues aux incertitudes, ne pourrait être dans ce cas inférieur à 17Nm pour l’axe 3, et 5Nm pour l’axe 4 (Fig.5.9).

0 5 10 15 20

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

Axe 3

0 5 10 15 20

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

Axe 4

Temps (s)

collision 1 collision 2

Figure5.10 – Evaluation de l’algorithme sur l’exemple introductif - gain statique de G⁻¹_b (z) en fonction du temps.

Les diagrammes de Bode deGb(z), évalué en 50 échantillons temporels uniformément espacés et sélectionnés à partir de l’essai présenté, apparaissent en figure5.11pour les deux axes 3 et 4. Le caractère adaptatif se manifeste essentiellement au niveau du gain statique de ce filtre, la fréquence de coupure variant relativement peu.

134 Chapitre 5. Vers une interaction sûre avec l’opérateur humain

Figure 5.11 – Evaluation de l’algorithme sur l’exemple introductif - diagramme de Bode de G_b(z) au différents instants de la trajectoire.