Robots à corps rigides et articulations flexibles

2.1.3.1 Origine des flexibilités

Le modèle à articulations flexibles a pour but de représenter les élasticités concentrées dans la chaîne de transmission mécanique entre les moteurs et les segments rigides entrainés par les couples articulaires (Fig. 2.3-2.4). Selon le contexte applicatif, les flexibilités peuvent être spécialement recherchées, comme dans le cas des robots interactifs, ou au contraire subies, comme dans le cas de robots industriels – la rigidité de ces derniers est classiquement optimisée

2.1. Modèles de robots manipulateurs 15

Poulie articulaire

θ_m

q

Câble

Moteur

(a) Actionneur avec transmission à câbles (CEA)

Circular Spline

Flexspline

Wave Generator

(b) Réducteur Harmonic Drive ^R

Figure2.3 – Eléments de transmission flexibles.

afin d’en augmenter la précision, mais dont les flexibilités peuvent devenir non négligeables lors des opérations sous charge importante ou des mouvements à fortes dynamiques.

Les principales élasticités proviennent des éléments de transmissions déformables tels que les courroies, les câbles (Fig.2.3(a)) ou encore les réducteurs. Parmi ces derniers, les réducteurs de typeHarmonic Drive(Fig.2.3(b)) sont couramment employés en robotique car ils permettent d’obtenir des rapports de réduction élevés tout en présentant un jeu mécanique très faible. Un composant déformable (Flexspline) est à la base de leur principe de fonctionnement. Notons que si le recours à des transmissions à câbles présente notamment l’intérêt de déporter les actionneurs à la base du robot, ce qui permet de minimiser la masse en mouvement, de grandes longueurs de câbles induisent des flexibilités d’autant plus importantes.

2.1.3.2 Modèles dynamiques à articulations flexibles

Lorsque les transmissions présentent des élasticités, les positions moteursθet articulairesqne sont plus confondues et présentent des dynamiques différentes. Les flexibilités de transmission sont représentées par un modèle à deux masses reliées par un ressort en torsion de raideur K_i (Fig. 2.4). Comme dans le cas purement rigide, le formalisme de Denavit-Hartenberg modifié (DHM) peut être employé pour la modélisation géométrique de la chaîne des corps rigides composant le robot et la définition des repères associés. Les paramètres inertiels des différents corps sont définis dans ces repères. Les équations de Lagrange tenant explicitement compte de l’énergie potentielle des transmissions flexibles permettent d’aboutir au modèle dynamique, composé de 2n équations différentielles non-linéaires couplées pour un robot à n ddl. On présente dans ce qui suit d’abord le modèle dynamique général, puis le modèle dynamique réduit dans lequel les couplages inertiels entre les moteurs et les segments du robot sont négligés.

Modèle dynamique général

On considère les hypothèses suivantes :

16 Chapitre 2. Robots manipulateurs à articulations flexibles - modélisation et commande

τ

θ

K

J

M

q

τ

Figure 2.4 – Représentation schématique d’une articulation flexible.

(H1)Les déformations élastiques sont concentrées au niveau des articulations et le robot est composé de corps rigides connectés entre eux par des ressorts en torsion linéaires de raideur constante (hypothèse réaliste pour des déformations de faibles amplitudes).

(H2) Les rotors des moteurs n’ont pas d’autre mouvement que celui effectué selon leur axe de rotation et ne présentent pas d’excentricité, i.e. ils peuvent être modélisés par des corps uniformes dont le centre de masse est situé sur leur axe de rotation. Ceci implique que la matrice d’inertie et le terme de gravité du système sont indépendants des positions angulaires des moteurs.

θ₂

θ₁ q₂

q₁

K2

K₁ Axe 1

Axe 2

Figure 2.5 – Représentation schématique d’un robot 2 axes à corps rigides et articulations flexibles.

Lemodèle dynamique général du robot à nddl et à articulations flexibles s’écrit (De Luca et Book,2008) :

Mg(q)¨q+S(q)¨θ+c(q,q) +˙ c1(q,q,˙θ) +˙ τG(q) +τf a+K(q−θ) =τext (2.6) S^T(q)¨q+J_m(q)¨θ+c₂(q,q,˙θ) +˙ τ_{f m}−K(q−θ) =τ (2.7) avec

– Mg(q) ∈ R^n×n : la matrice d’inertie d’expression générale Mg(q) = M(q) +MR(q) + S(q)J_m⁻¹S^T(q), où M(q) représente la matrice d’inertie des segments articulés du robot, M_R(q) regroupe les masses et les termes dûs aux excentricités éventuelles des rotors, et S(q) représente les couplages inertiels entre les rotors et les segments les précédant dans la structure du robot ;

– c(q,q)˙ ∈Rⁿ, c1(q,q,˙θ) et˙ c2(q,q,˙θ) : les différentes contributions aux couples de Coriolis et˙ centrifuges ; lorsqueS est une matrice constante, c1 =c2 = 0 ;

– τ_{f a}∈Rⁿet τ_{f m}∈Rⁿ : les couples de frottement articulaire et moteur ; – K∈R^n×n : la matrice diagonale des raideurs articulairesKi

2.1. Modèles de robots manipulateurs 17 Les n premières équations (2.6) décrivent la dynamique articulaire, et les n suivantes (2.7) décrivent la dynamique moteur. Les deux jeux d’équations sont couplés à travers le couple élastiqueK(θ−q) et les couplages inertiels via la matriceS(q).

Modèle dynamique réduit

Une hypothèse simplificatrice supplémentaire peut être considérée :

(H3)L’énergie cinétique des rotors est due uniquement à leur propre rotation. Ceci revient à négliger les couplages inertiels entre les moteurs et les segments du robot.

Lemodèle dynamique réduit du robot ànddl et à articulations flexibles s’écrit (Spong,1987;

Spong et al.,2006) :

M(q)¨q+C(q,q) ˙˙ q+τ_G(q) +τ_{f a}+K(q−θ) =τ_ext (2.8) Jmθ¨+τ_{f m}−K(q−θ) =τ (2.9)

De même que dans le modèle général, lesnpremières équations (2.8) décrivent la dynamique articulaire, et lesnsuivantes (2.9) décrivent la dynamique moteur. Les deux jeux d’équations sont couplés seulement à travers le couple élastiqueK(θ−q).

Il est à noter que le modèle réduit (2.8-2.9) et le modèle général (2.6-2.7) présentent des caractéristiques fondamentalement différentes pour certains problèmes de commande. Alors que le modèle réduit est linéarisable par retour statique (Spong et al.,2006), il n’en est pas de même pour le modèle complet (De Luca et Book,2008).

Propriétés du modèle dynamique réduit

Pour des raideurs articulaires très élevées (K_i → ∞), le robot est considéré comme entiè-rement rigide avec θ = q, et le modèle (2.8- 2.9) correspond au modèle entièrement rigide.

Le modèle réduit à articulations flexibles et le modèle rigide partagent donc les propriétés (P1-P3)utiles pour la synthèse de lois de commande.

Notons que dans le cas d’un robot entièrement rigide, un nombre d’entrées de commande égal au nombre de degrés de liberté du robot est disponible et la connaissance des variables en sortie des arbres moteurs suffit pour mesurer l’état du système aux rapports de réduction près (2.4). Ce n’est plus le cas pour un robot à articulations flexibles qui comporte des degrés de liberté supplémentaires dus aux déformations élastiques. L’état du système se compose aussi bien des variables moteurs que des variables articulaires, et une instrumentation plus complète est nécessaire afin d’accéder à l’état complet. Le choix de capteurs additionnels (capteurs de position articulaire, jauges de contraintes ou capteurs d’effort, accéléromètres) ou leur absence joue un rôle déterminant dans les stratégies d’identification et de commande envisagées.

18 Chapitre 2. Robots manipulateurs à articulations flexibles - modélisation et commande

2.2 Commande de mouvement de robots manipulateurs