Linéarisation et compensations

Une autre façon d’exploiter la structure du modèle à articulations flexibles est couramment employée afin de simplifier le problème de commande non-linéaire. La propriété sous-jacente est la platitude du système considéré, idée exploitée aussi bien en calcul de trajectoires et compensations que pour la commande linéarisante. Une comparaison des approches par per-turbation singulière et retour linéarisant a été présentée dans (Spong et al.,1989).

2.2.2.1 Linéarisation par bouclage

Eléments théoriques :Lorsque les flexibilités sont importantes et ne peuvent plus être traitées séparément de la dynamique rigide, une approche théorique intéressante est la linéarisation par bouclage, notamment adaptée au problème de suivi de trajectoire. Elle s’inscrit dans le cadre plus général de la commande de systèmes différentiellement plats (Fliess et al., 1995). Un système est dit différentiellement plat si ses variables d’état et d’entrée peuvent s’exprimer algébriquement en fonction d’une variable appelée sortie plate et d’un nombre fini de ses dérivées par rapport au temps. Un système plat peut être transformé en un système linéaire par changement de coordonnées, bouclage statique ou bouclage dynamique.

On considère un système non-linéaire suivant d’étatx∈R^p et d’entréeu∈R^m

x˙ =f(x,u) (2.24)

Une trajectoire t7→ (x(t),u(t)) solution de (2.24) n’est pas facilement accessible dans le cas général. Le système (2.24) est plat si et seulement si il existe m sorties

y=h(x,u,u,...,u˙ ^(r)) (2.25) telles que, àt7→y(t) donnée, les trajectoires (x(t),u(t)) s’expriment algébriquement en fonc-tion dey et de ses dérivées :

u=ψ(y,y,...,y˙ ^(β)) (2.26) x=ϕ(y,y,...,y˙ ^(α)) (2.27)

22 Chapitre 2. Robots manipulateurs à articulations flexibles - modélisation et commande avec f, h, ϕ et ψ des fonctions régulières et r, α et β entiers. La sortie y est alors appelée sortie plate et les vecteurs d’état et de commande peuvent donc être entièrement caractérisés à partir de la donnée de celle-ci. Siyest une sortie plate de (2.24), il est possible de trouver un bouclage linéarisant et un difféomorphisme¹ qui transforme le système bouclé en des chaines d’intégrateurs purs formées à partir de y.

Application au cas de robots rigides : On rappelle que les robots manipulateurs rigides repré-sentés par le modèle (2.4) sont linéarisables par bouclage statique suivant :

τ =M_rig(q)v+H(q,q)˙ (2.28)

où vest la nouvelle loi de commande pour le système linéarisé et découplé qui se compose de n doubles intégrateurs indépendants :

q¨=v (2.29)

Pour le suivi d’une trajectoire définie par q_d et ses dérivées, la commandev dans (2.29) peut être choisie sous la forme :

v= ¨q_d+K_p(q_d−q) +K_d( ˙q_d−q)˙ (2.30) Ce type de commande particulière prend souvent le nom de « commande par couple cal-culé » (computed torque control ou CTC) dans la littérature. Le système étant découplé, en notant l’erreur de suivi e = q_d−q, la dynamique de l’erreur pour l’axe i s’exprime par la relation :

e¨i+K_die˙i+Kpiei= 0 (2.31) Les gains Kpi et Kdi sont ainsi réglés en fonction de la dynamique de l’erreur désirée. Ty-piquement, pour une bande passante ωc prescrite, un point de départ du réglage peut être choisi avec K_p =ω_c²,K_d= 2ω_c(pour un amortissement ζ = 1). Lorsque cette commande est appliquée aux robots présentant des flexibilités, il est recommandé de choisir ωc ≤ωr/2, où ωr est la première fréquence de résonance.

Application au cas de robots à articulations flexibles : On montre que le modèle réduit (2.8-2.9) de robots à articulations flexibles est linéarisable par bouclage statique et que la variable articulairey=q est une sortie plate. En isolantθdans (2.8) et en dérivant deux fois, on peut exprimer ¨θ en fonction deq et ses dérivées :

θ¨= ¨q+K^−1hM(q)q⁽⁴⁾+ 2 ˙M(q,q)q˙ ⁽³⁾+ ¨M(q,q,¨˙q)¨q+ ¨H(q,q,˙q,q¨ ⁽³⁾)ⁱ (2.32) En additionnant (2.8) et (2.9), et en remplaçant ¨θ par (2.32), on obtient une expression du couple moteur en fonction deq et de ses dérivées jusqu’à l’ordre 4 :

τ =J_mθ¨+M(q)¨q+H(q,q)˙ ⇒ τ =ψ(q,q,¨˙q,q⁽³⁾,q⁽⁴⁾) (2.33) On voit donc que lors de la commande de mouvement, la référence articulaire q doit être au moins 4 fois dérivable afin de garantir l’existence d’un couple nominal continu correspondant.

1. On appelle difféomorphisme une application bijective différentiable dont la bijection réciproque est aussi différentiable. Un difféomorphisme permet notamment de définir un changement de coordonnées.

2.2. Commande de robots à articulations flexibles 23

La commande linéarisante par bouclage statique pour ce système est

τ =g4(x)⁻¹(v−f4(x)) (2.40)

oùvest la nouvelle loi de commande pour le système linéarisé et découplé qui se compose de nquadruples intégrateurs indépendants (Fig. 2.7) :

q⁽⁴⁾ =v (2.41)

Les conditions qui rendent cette linéarisation possible sont l’existence de l’inverse de g₄(x) dans (2.40) et l’absence de dynamique interne dans le système multivariable. La première condition est remplie grâce à la non-singularité de la matrice M(q)⁻¹KJ_m⁻¹ (M est définie positive). La deuxième condition est vérifiée car le degré relatif de chaque composanteq_i deq estd_i = 4 (q_i doit être dérivée 4 fois pour s’exprimer algébriquement en fonction de l’entrée τ), et pour un robot àn ddl, la somme des degrés relatifs^Pdi = 4n est égal à la dimension de l’état.

Dans le cas du modèle non réduit (général) de robots à articulations flexibles, incluant des couplages inertiels entre les dynamiques moteurs et articulaires, on montre que le système est linéarisable par bouclage dynamique (De Luca et Book,2008).

Linéarisation

Figure2.7 – Commande linéarisante par bouclage pour le suivi de trajectoire.

Pour le suivi d’une trajectoire définie parq_d et ses dérivées, à laquelle correspond une trajec-toirex_d de l’état, la commandev dans (2.41) peut être choisie sous la forme

v=q_d⁽⁴⁾+L(x_d−x) (2.42)

24 Chapitre 2. Robots manipulateurs à articulations flexibles - modélisation et commande avec L ∈ R^n×4n une matrice de gains L = [L1 L2 L3 L4] de composantes Li ∈ R^n×n diagonales. Le système étant découplé, en notant l’erreur de suivi e=q_d−q, la dynamique de l’erreur pour l’axe is’exprime par la relation :

e⁽⁴⁾_i +L₁(i,i)e⁽³⁾_i +L₂(i,i)¨e_i+L₃(i,i) ˙e_i+L₄(i,i)e_i = 0 (2.43) et les valeurs de gains peuvent être choisies par placement de pôles pour chacun des axes pour garantir la stabilité exponentielle globale.

Du point de vue de l’implantation pratique de ce type de commande linéarisante, il a été montré que les états [q^T q˙^T q¨^T q^(3)T]^T, [q^T θ^Tq˙^T θ˙^T]^T, [q^T τ_elast^T q˙^T τ˙_elast^T ]^T avecτ_elast =K(θ−q) peuvent être utilisés de façon équivalente pour construire le retour linéarisant (De Luca et Book,2008). Notons également qu’une inversion de la matrice d’inertie M(q) et le calcul de ses dérivées par rapport au temps est nécessaire, contrairement à la commande linéarisante du modèle rigide (2.4) donnée par (2.28).

2.2.2.2 Commande autour d’une trajectoire

Il ressort de la section précédente que le couple moteur τ peut être exprimé en fonction de la sortie plate q et de ses dérivées (2.33). Il est donc possible de calculer le couple nominalτ_d et la trajectoire de l’état du système correspondant à une trajectoire de sortie désirée définie parq_det ses dérivées :

x_d=ϕ(q_d,q˙_d,¨q_d,q_d⁽³⁾,q_d⁽⁴⁾) (2.44) τd=ψ(qd,q˙d,¨qd,q⁽³⁾_d ,q_d⁽⁴⁾) (2.45) Si la trajectoire de référence est connue à l’avance, le couple nominal peut ainsi être calculé hors ligne. Une commande plus simple que la linéarisation par bouclage se compose alors d’un terme linéaire dont le rôle est de stabiliser localement le système autour de sa trajectoire d’état de référence, et du couple nominal qui maintient le robot sur cette trajectoire à erreur nulle :

τ =τ_d+ ˜L(x_d−x)

Figure 2.8 – Commande autour d’une trajectoire nominale.

Il est à noter qu’à la différence de la matrice de gainsLconstante utilisée dans la linéarisation par bouclage statique, les valeurs ˜L doivent être réglées localement autour de divers points

2.2. Commande de robots à articulations flexibles 25 de fonctionnement du robot, par exemple dans un schéma de commande par séquencement de gain.

Cette approche de commande par compensations calculées à partir du modèle a notamment été étudiée dans (Loria et Ortega, 1995;De Luca, 2000;Albu-Schäffer et Hirzinger, 2001a).

Lorsque tout l’état du système flexible n’est pas mesurable, des observateurs peuvent être mis en place. Dans le cas particulier de robots à mesures moteur seulement, une version simplifiée par retour de sortie de cette commande est :

τ =τ_d+ ˜L_P(θ_d−θ) + ˜L_D( ˙θ_d−θ)˙ (2.47) où les trajectoires moteurs désirées s’obtiennent à partir de la sortie plateq_d par

θd=qd+K⁻¹(M(qd)¨qd+H(qd,q˙d)) (2.48)

2.2.2.3 Compensation de gravité

Lorsque l’on considère simplement le problème de régulation où une position finale constante q_d est recherchée, il a été montré qu’une commande proportionnelle-dérivée associée à un terme de compensation de gravité constant assurait la stabilité asymptotique globale sous la condition(H4) (Tomei,1991) :

τ =K_P(θ_d−θ) +K_D( ˙θ_d−θ) + ˆ˙ τ_G(q_d) (2.49)

θ_d=q_d+ ˆK⁻¹τˆ_G(q_d) (2.50)

(H4) Les articulations sont suffisamment rigides pour qu’il existe, sous l’action du poids propre du robot, un équilibre articulaire uniqueq_e correspondant à une position moteur fixe θe. Formellement, cette condition s’écrit min_iKi > α, oùαest une constante positive définie par^∂τ_∂q^G(q)≤α, ∀q∈Rⁿ.

Différentes stratégies ont été proposées pour améliorer le comportement transitoire de cette commande, notamment avec des compensations de gravité non constantes mais estimées récursivement en ligne (De Luca et Book,2008).