Stratégie 2

est équilibrée et c’est le 8 qui sortira. Son ensemble focal est donc donné par {8}. Nous avons vu que l’ensemble focal de ω2,2 (la table est truquée) est donné par Θ, étant donné

que nous sommes incapables de réduire l’ensemble des réponses à un sous-ensemble plus petit. A présent, si l’on combinait ces deux interprétations par la règle de combinaison de Dempster dans une nouvelle indication, leur ensemble focal serait {8}, et cela bien que la table soit truquée. Or, la seule chose que l’on sait est que la table est truquée, mais on ignore comment. Rien ne nous garantit de ce fait que le nombre 8 sortira gagnant. Le problème provient du fait que ω1,9 et ω2,2 ne sont pas contradictoires (l’intersection de

leurs ensembles focaux n’est pas vide) et on peut très bien imaginer que le nombre 8 sorte gagnant d’une table truquée. Une contradiction existe malgré tout. La table ne peut à la fois être équilibrée et être truquée. Pourtant, ω1,9 ne dit pas uniquement que le nombre 8

sortira gagnant, mais qu’il sortira gagnant d’une table équilibrée ! Ainsi, ces deux interpré- tations ne peuvent être vraies en même temps, même si l’intersection de leurs ensembles focaux n’est pas vide. Nous sommes confrontés à un problème de contradiction qui dé- passe la définition de la contradiction donnée par Dempster et cela malgré le fait que nous combinons des meta-indications pour lesquelles cette règle s’applique. On constate ainsi que l’application de la règle de combinaison de Dempster à deux meta-indications basées sur une même indication classique pose problème. En considérant H1 «doublement»,

on obtient des résultats problématiques.

15.3

Stratégie 2

Rappelons que dans le cadre de la règle de combinaison de Dempster, lors de la com- binaison de deux ou plusieurs indications, les interprétations combinées contenant des interprétations contradictoires sont éliminées, bien que celles-ci puissent être de probabi- lité non nulle. La fonction de probabilité sur les interprétations combinées restantes est ensuite normalisée. Ainsi, dans l’esprit de cette règle, une combinaison d’informations contradictoires doit être éliminée du modèle, étant donné qu’elle ne pourra se réaliser. Dans la théorie mathématique des indications de Kohlas et Monney, la définition de la contradiction passe par la fonction Γ. En effet, deux ou plusieurs interprétations sont dites «contradictoires» si l’intersection de leurs ensembles focaux aboutit à l’ensemble vide. A la place, on propose de considérer comme contradictoires toutes les interprétations qui ne peuvent se réaliser simultanément.

Considérons en effet les ensembles des interprétations des deux meta-indications M4 et

M5.

124 CHAPITRE 15. COMBINAISON D’INDICATIONS DE CONFIRMATION 1. les 37 premières ω1,j signifient : la table est équilibrée et un nombre précis entre 0 et

36 sortira gagnant,

2. la dernière interprétation ω2,2 signifie : la table est truquée (donc pas équilibrée) et

on ne peut rien dire quant au nombre qui sortira gagnant.

A présent, considérons Ω5 = {ω1,1, ω1,2, ..., ω1,37, ω3,2}. Voici la signification des 38 inter-

prétations de cet ensemble :

1. les 37 premières ω1,j signifient : la table est équilibrée et un nombre précis entre 0 et

36 sortira gagnant,

2. la dernière interprétation ω3,2 signifie : la table est cassée (donc pas équilibrée) et on

ne peut rien dire quant au nombre qui sortira gagnant.

Si l’on revient à la combinaison M6 = M4⊕M5 de la section 15.2, nous avons obtenu des

interprétations combinées dans Ω6 dont l’intersection des ensembles focaux n’est pas vide,

mais lesquels, sont malgré tout contradictoires : (ω1,j, ω2,2) et (ω3,2, ω1,j), où j = 1, ..., 37

et leurs ensembles focaux sont donnés par {(j − 1)}. On peut expliquer ce phénomène de deux manières :

1. Il est clair que ω1,j et ω2,2, avec j = 1, ..., 37, ne peuvent être correctes simultané-

ment ; les ω1,j signifient que la table est équilibrée, tandis que d’après ω2,2 elle est

truquée. Bien sûr, une table de casino peut être truquée sans être cassée, cependant, dans notre cas, la question porte avant tout sur le nombre qui sortira gagnant ou, autrement dit, est-ce que la table est équilibrée ou non. En résumé, qu’elle soit non équilibrée, parce qu’étant cassée, ou parce qu’étant truquée, nous importe peu ; nous désirons uniquement savoir si Ω1 est confirmée ou non. Si une des ω1,j est l’interpré-

tation correcte, alors Ω1 a été confirmé (la table est équilibrée) et par conséquent

elle ne peut être truquée. Le problème se résume ainsi à savoir si H1 est confirmée

ou non, c’est-à-dire si elle est vraie ou fausse. Lorsqu’elle est n’est pas confirmée, et peu en importe la raison, nous en déduisons simplement qu’elle est fausse.

2. Une deuxième raison de la contradiction entre ω1,j et ω2,2, avec j = 1, ..., 37 relève

de la composition de Ω4. En effet, dans les couples (ω1,j, ω2,2), les ω1,j proviennent de

Ω5; cependant, ils sont tout à fait identiques aux ω1,j appartenant à Ω4. Rappelons

que Ω4 = {ω1,1, ω1,2, ..., ω1,37, ω2,2}. De même, pour tout Ω possédant m éléments, m

X

i=1

p(ωi) = 1.

Ainsi, un ensemble d’interprétations est défini comme un ensemble d’interprétations fini, dont une et une seule des interprétations peut être l’interprétation correcte. De ce fait, si l’une des 37 ω1,j se révèle être l’interprétation correcte, l’interprétation

ω2,2 se révèle automatiquement fausse.

Tous les arguments pour la contradiction entre ω1,j et ω2,2 sont également valables pour

15.3. STRATÉGIE 2 125 Ainsi, nous avons montré que des interprétations peuvent se contredire, tout en ayant une intersection non vide de leurs ensembles focaux.

Revenons à présent à la règle de combinaison de Dempster. D’après celle-ci, lorsqu’on com- bine des indications, il faut éliminer toutes les interprétations combinées qui contiennent des interprétations se contredisant entre elles. Le but de cette démarche est avant tout de normaliser la fonction de probabilité par rapport aux interprétations possibles uni- quement, toutes celles qui ne pourraient se réaliser étant déduites de l’ensemble d’inter- prétations de l’indication combinée. Nous avons vu que des interprétations pouvaient se contredire, en ce sens qu’elles ne peuvent se réaliser simultanément, tout en sortant de la définition formelle de la contradiction de la règle de Dempster.

Essayons à présent de combiner M4 et M5 par la règle de combinaison de Dempster. De

même, considérons que nous devons éliminer toutes les interprétations combinées contra- dictoires, soit toutes celles qui ne peuvent se réaliser simultanément, indépendamment du fait que leurs ensembles focaux sont disjoints ou non.

Notons cette opération par le symbole ˙⊕, afin d’éviter la confusion avec la règle de com- binaison de Dempster.

L’indication M7 = M4⊕M˙ 5 est définie par (Ω7, P7, Γ7, Θ), avec

- Ω7 = {(ω1,1, ω1,1), (ω1,1, ω1,2), . . . (ω1,1, ω1,37), (ω1,1, ω2,2) (ω1,2, ω1,1), (ω1,2, ω1,2) . . . (ω1,2, ω1,37), (ω1,2, ω2,2) .. . ... ... ... ... (ω1,37, ω1,1), (ω1,37, ω1,2) . . . (ω1,37, ω1,37), (ω1,37, ω2,2) (ω3,2, ω1,1), (ω3,2, ω1,2) . . . (ω3,2, ω1,37), (ω3,2, ω2,2)} - Γ7(ω1,j, ω1,j) = {(j − 1)}, où j = 1, ..., 37,

Γ7(ω1,j, ω1,i) = ∅, où j = 1, ..., 37, i = 1, ..., 37 et j 6= i, contradiction !

Γ7(ω1,j, ω2,2) = {(j − 1)}, où j = 1, ..., 37, contradiction ! Γ7(ω3,2, ω1,j) = {(j − 1)}, où j = 1, ..., 37, contradiction ! Γ7(ω3,2, ω2,2) = Θ - Fonction de probabilité p′ 7 avant normalisation p′ 7(ω1,j, ω1,j) = ₁₀9 ₃₇1 ₁₀7 ₃₇1, où j = 1, ..., 37 p′ 7(ω1,j, ω1,i) = ₁₀9 ₃₇1 ₁₀7 ₃₇1 , où j = 1, ..., 37, i = 1, ..., 37 et j 6= i, p′₇(ω1,j, ω2,2) = ₁₀7 ₃₇1 ₁₀1, où j = 1, ..., 37 p′₇(ω3,2, ω1,j) = ₁₀9 ₃₇1 ₁₀3, où j = 1, ..., 37 p′7(ω3,2, ω2,2) = ₁₀3 ₁₀1

- Fonction de probabilité P7 après normalisation

p7(ω1,j, ω1,j) = (₁₀9 ₃₇1 ₁₀7 ₃₇1)/(1 − (37 · 36₁₀9 ₃₇1 ₁₀7 ₃₇1 + 37₁₀7 ₃₇1 ₁₀1 + 37₁₀9 ₃₇1 ₁₀3)) = ₆₄₃₈63 , où

126 CHAPITRE 15. COMBINAISON D’INDICATIONS DE CONFIRMATION - Θ = {0, 1, 2, ..., 36}

On pourrait penser avoir résolu le problème de la combinaison de M4 et M5; mais il n’en

est rien pour l’instant. Si l’on considère le problème à sa base, on constate qu’il y a quatre situations possibles :

1. La table n’est ni truquée, ni cassée. 2. La table est truquée, mais pas cassée.

3. La table n’est pas truquée, mais elle est cassée. 4. La table est truquée et cassée.

Leurs probabilités respectives sont : 1. ₁₀9 ₁₀7 , 2. ₁₀1 ₁₀7 , 3. 9 10 3 10, 4. ₁₀1 ₁₀3 .

A présent, si l’on considère ces quatre situations en termes d’équilibre de la table, c’est- à-dire est-ce que H1 est confirmée ou non, nous n’avons plus que deux situations :

a) La table est équilibrée. b) La table n’est pas équilibrée.

La première correspond à la situation où la table n’est ni truquée, ni cassée (seule manière de garantir son équilibre), et la seconde englobe les situations 2 à 4, c’est-à-dire toutes celles qui affectent l’équilibre de la table. Leurs probabilités respectives sont :

a) 9 10

7 10,

b) 1 − ₁₀9 ₁₀7.

Ainsi, si la table est équilibrée, chacune des interprétations ω1,j, avec j = 1, ..., 37, de

l’indication combinant toutes les informations devraient avoir une probabilité de 1 37

9 10

7 10.

Quant à la situation b), regroupant les interprétations (ω1,j, ω2,2), (ω3,2, ω1,j) et (ω3,2, ω2,2),

où j = 1, ..., 37, elle devraient être représentée par une seule interprétation disant que la table n’est pas équilibrée et de probabilité 1 − 9

10 7 10.

Nous constatons que les résultats de la stratégie 2 ne correspondent pas à ceux qu’on devrait obtenir. Non seulement les interprétations correspondant à une table équilibrée voient leur probabilité baisser, par rapport à la probabilité qu’elles devraient avoir, mais en plus, la situation de table non équilibrée se résume à une seule des trois situations possibles, celle où la table est à la fois truquée et cassée, (ω3,2, ω2,2).

On constate ainsi que l’application de la règle de combinaison de Dempster, dans une version modifiée, à deux meta-indications basées sur une même indication classique pose problème. La stratégie 2 ne fonctionne donc pas.