Nous disposons de n actifs que nous désirons classer du plus performant au moins perfor- mant. Nous avons calculé des degrés de support de la meta-indication Mj pour chaque
actif j, avec j = 1, .., n et donc à chaque rang i, avec i = 1, ..., n se trouvant dans Θ est associé un certain degré de support, sp(i). Pour déterminer les places des actifs dans le classement définitif, nous devons en premier lieu calculer un indice pour chaque actif séparément. Nous appelons cet indice SPj pour l’actif j, car il est basé sur les degrés de
support.
L’indice SPj est construit de manière à prendre des valeurs élevées pour les actifs per-
formants et des valeurs faibles pour les actifs peu performants. Pour obtenir SPj, nous
multiplions chaque degré de support sp(i), avec i = 1, ..., n, par (n + 1 − i). En effet, si dans un classement de n actifs, un actif considéré est classé au rang i, la valeur (n + 1 − i) correspond au rang inverse de cet actif. Ainsi, sp(1) est multiplié par n et sp(n) par 1.
19.4. CLASSEMENT DÉFINITIF BASÉ SUR LES DEGRÉS DE SUPPORT 159 Inverser les rangs de cette manière est nécessaire pour obtenir des valeurs élevées de l’in- dice pour les actifs performants et vice-versa. Puis, nous additionnons tous les produits sp(i)(n + 1 − i) et obtenons ainsi l’indice SPj. En procédant ainsi, des actifs dont les
degrés de support non nuls sont associés aux places les plus performantes, se retrouvent avec des indices SPj élevés, tandis que les actifs dont les degrés de support non nuls sont
associés aux places les moins performantes, se retrouvent avec des indices SPj faibles.
On a ainsi, pour l’actif j, l’indice suivant : SPj :=
n
X
i=1
sp(i)(n + 1 − i), (19.4) qu’on appelle indice de support.
La pénalisation dans le classement par le risque d’incertitude est déjà intégrée dans l’indice SPj! En effet, un actif j, dont le risque d’incertitude est maximal, aurait ψj = 1.
Cela est dû au fait que dans la meta-indication Mj qui lui est associée, m(Θ) = 1. Etant
donné que la somme des masses est égale à 1 par définition, il s’en suit que tous les autres sous-ensembles de Θ ont des masses nulles, et par conséquent, des degrés de support nuls. Ainsi, l’indice de performance associé à cet actif est
SPj = 0.
Il s’agit de la valeur minimale que l’indice peut prendre.
Deux actifs, par exemple k et l, peuvent avoir des classements tout à fait différents, donnés par les six mesures de performance de la TMP et la TPMP et aboutir, pourtant, à des indices nuls, SPk= SPl = 0 et se retrouver ainsi à la fin du classement. Tel sera le cas si
ψk= ψl = 1. En effet, peu importe leurs classements respectifs donnés par les six mesures
de performance, si leur risque d’incertitude est maximal, alors ces mesures perdent toute leur pertinence. Un risque d’incertitude maximal et dû à la masse de Θ qui vaut 1. Pour que cela arrive, il est nécessaire que la probabilité que les rendements de l’actif ne suivent pas une loi normale et celle que les rendements de l’actif ne suivent pas une loi lognormale valent toutes deux 1. Autrement dit, ni l’hypothèse de la TMP, ni celle de la TPMP ne sont respectées. Cela explique pourquoi, dans ce cas précis, les mesures de performance données par ces deux théories ne se reflètent plus du tout dans notre classement.
Inversement, si plusieurs actifs j ont un risque d’incertitude nul, ψj = 0, cela serait dû au
fait que leurs rendements suivent, avec probabilité 1, une loi normale ou lognormale. La totalité de la masse sera répartie entre les singletons, car la masse de Θ sera nulle. Dans ce cas, les six mesures de performance vont se refléter entièrement dans notre classement. C’est en effet les rangs accordés par chacune d’elles, ainsi que les degrés de support qui permettront de départager les actifs entre eux, le risque d’incertitude n’intervenant pas dans le classement. Par exemple, si toutes les six mesures de performance classent un actif j à la première place, avec un risque d’incertitude nul, alors, m(1) = 1 et les masses de
160 CHAPITRE 19. NOUVELLE APPROCHE On obtient ainsi SPj = n X i=1 sp(i)(n + 1 − i) = n. Il s’agit de la valeur maximale que l’indice peut prendre.
Un actif peut également obtenir l’indice de support maximal n dans d’autres circonstances. En effet, imaginons que ses rendements suivent une loi normale avec probabilité 1 et une loi lognormale avec probabilité 0. Imaginons également que les trois mesures de performance de la TMP le classent en première position. Comme notre modèle éliminera les classements des trois mesures de performance de la TPMP, car ne répondant pas à leur hypothèse de base, nous nous retrouverons dans le même cas que celui cité précédemment.
En résumé,
0 ≤ SPj ≤ n, (19.5)
pour tout actif j dans un classement de n actifs basé sur les degrés de support.
Le fait que l’indice de support soit borné de deux côtés permet de créer un indice de sup- port normé, qui donne la possibilité de positionner une actif j par rapport à sa performance indépendamment des autres actifs. Ce n’est pas le cas des six mesures de performance, dont aucune n’a de borne inférieure ou supérieure.
On définit ainsi l’indice de support normé, donné par SPj∗ :=
SPj
n , (19.6)
où
0 ≤ SPj∗ ≤ 1, (19.7)
pour tout actif j dans un classement de n actifs basé sur les degrés de support.
Nous avons malgré tout besoin de n actifs, avec n ≥ 2, pour calculer SPj∗, car nous avons
besoin des classements obtenus par les six mesures de performance pour déterminer la fonction Γ de la meta-indication relative à l’actif j.