La crédibilité d’un ensemble d’éléments A, dans un cadre de discernement Θ, est définie comme la crédibilité totale de A. Autrement dit, il s’agit de l’évidence qui va précisément dans le sens de A ou de l’ensemble de l’évidence qui prouve ou supporte cette proposition. Cela représente la somme de toutes les masses attribuées aux éléments contenus dans A, plus la masse attribuée à A lui-même. Donc, si nous voulons mesurer la crédibilité totale attribuée à A, nous devons ajouter à m(A) les quantités m(B) pour tous les sous- ensembles B de A, étant donné que A est impliqué par tous les sous-ensembles B ⊂ A. On obtient :
Bel(A) = X
B⊂A
m(B). (2.5)
Bel(A) est appelé le degré de crédibilité de A. La fonction Bel : 2Θ → [0, 1], caractérisée
par la fonction de masse m : 2Θ → [0, 1], est appelée fonction de crédibilité sur Θ. De
même, Bel(A) est appelé degré de crédibilité de A.
Pour éviter d’alourdir la notation, les degrés de crédibilité des singletons éléments de Θ, seront dorénavant notées :
Bel(x) := Bel({x}), (2.6) pour tout x ∈ Θ.
2.4. FONCTION DE CRÉDIBILITÉ 19 Exemple 2.3. Rappelons les trois situations :
1. Information complète
Nous avions les masses suivantes : - m(∅) = 0,
- m(a1) = 0.6,
- m(a2) = 0.4,
- m({a1, a2}) = 0.
A partir des masses, il est aisé de calculer les fonctions de crédibilité correspondantes. Pour obtenir la fonction de crédibilité d’un des sous- ensembles, il suffit d’additionner les masses de tous les sous-ensembles qu’il contient.
Les degrés de crédibilité qui en résultent sont : - Bel(∅) = 0,
- Bel(a1) = 0.6,
- Bel(a2) = 0.4,
- Bel({a1, a2}) = 1.
Le degré de crédibilité de {a1, a2} = Θ est de 1, car il équivaut à la
somme des masses de tous ses sous-ensembles. Comme Θ contient tous les sous-ensembles considérés et que la somme de leurs masses respectives est égale à 1 par définition, le degré de crédibilité de Θ sera toujours de 1, comme on le verra dans le théorème 2.1.
2. Information partielle
Nous avions les masses suivantes : - m(∅) = 0,
- m(a1) = 0.2,
- m(a2) = 0.3,
- m({a1, a2}) = 0.5.
Les degrés de crédibilité qui en résultent sont : - Bel(∅) = 0,
- Bel(a1) = 0.2,
- Bel(a2) = 0.3,
- Bel({a1, a2}) = 1.
Comme l’ensemble nul ne contient que lui-même, il est clair que Bel(∅) = 0, propriété également mentionnée au théorème 2.1. La fonction de cré-
20 CHAPITRE 2. NOTIONS DE BASE deux sous-ensembles de a1, donc nous obtenons Bel(a1) = 0.2. Etant
donné que la masse de l’ensemble vide est par définition nulle, on en conclut évidemment que la crédibilité totale d’un sous-ensemble composé d’un seul et unique élément est égale à sa masse. De ce fait, nous pou- vons directement déterminer la valeur de la fonction de crédibilité pour a2 : Bel(a2) = 0.3. Enfin, avant de déterminer la valeur de la fonction de
crédibilité pour {a1, a2}, rappelons que la somme des masses de tous les
sous-ensembles du cadre de discernement est toujours égale à 1 et comme Θ = {a1, a2}, Bel(Θ) = Bel({a1, a2}) = 1.
3. Information nulle
Nous avions les masses suivantes : - m(∅) = 0,
- m(a1) = 0,
- m(a2) = 0,
- m({a1, a2}) = 1.
Les degrés de crédibilité qui en résultent sont : - Bel(∅) = 0,
- Bel(a1) = 0,
- Bel(a2) = 0,
- Bel({a1, a2}) = 1.
Notons au passage que dans la situation d’information nulle, c’est-à-dire lorsque m(A) = 0 et m(Θ) = 1 pour tout A 6= Θ, on a Bel(A) = 0 pour tout A 6= Θ et Bel(Θ) = 1. Une telle fonction est appelée fonction de crédibilité vide.
Il est également possible de caractériser la classe des fonctions de crédibilité sans se référer aux fonctions de masse.
Théorème 2.1. Si Θ est un cadre de discernement, alors une fonction Bel : 2Θ → [0, 1] est une fonction de crédibilité si et seulement si elle satisfait les conditions suivantes :
1. Bel(∅) = 0. 2. Bel(Θ) = 1.
3. Pour chaque entier positif n et chaque collection A1, ..., An de sous-ensembles de Θ,
Bel(A1 ∪ ... ∪ An) ≥ X I⊂{1,...,n} I6=∅ (−1)|I|+1Bel \ i∈I Ai ! . (2.7)
2.4. FONCTION DE CRÉDIBILITÉ 21 Ce théorème et sa preuve ont été présentés par Shafer [95].
De plus, la masse qui génère une certaine fonction de crédibilité est unique est peut être obtenue à partir de la fonction de crédibilité.
Théorème 2.2. Supposons que Bel : 2Θ → [0, 1] est une fonction de crédibilité donnée par la fonction de masse m : 2Θ → [0, 1]. Alors
m(A) = X
B⊂A
(−1)|A−B|Bel(B) (2.8) pour tout A ⊂ Θ.
Ce théorème et sa preuve ont été présentés par Shafer [95].
Reprenons l’exemple 2.3 en situation d’information partielle pour illustrer le théorème 2.2.
Exemple 2.4. Rappelons qu’une analyse publiée la veille nous poussait à croire que le cours resterait stable, mais sans grande certitude. Nous disposons des valeurs suivantes :
- Bel(∅) = 0, - Bel(a1) = 0.2,
- Bel(a2) = 0.3,
- Bel({a1, a2}) = 1.
Par définition m(∅) = 0. Pour obtenir m(a1), appliquons la formule :
m(a1) = X B⊂a1 (−1)|a1−B| Bel(B) = (−1)0Bel(a 1) = 0.2. De même, m(a2) = (−1)0Bel(a2) = 0.3. Enfin,
m({a1, a2}) = (−1)1Bel(a1) + (−1)1Bel(a2) + (−1)0Bel({a1, a2}) = 0.5.
Rappelons qu’un sous-ensemble A du cadre de discernement Θ, tel que m(A) > 0, est appelé un élément focal. Maintenant que les fonctions de crédibilité ont été introduites, on peut ajouter qu’il s’agit d’un élément focal d’une fonction de crédibilité sur Θ. L’union de tous les éléments focaux d’une fonction de crédibilité s’appelle le coeur de la fonction de crédibilité.
22 CHAPITRE 2. NOTIONS DE BASE Ce théorème et sa preuve ont été présentés par Shafer [95].
En effet, la valeur de la fonction de crédibilité pour un sous-ensemble B est égale à la somme des masses de tous les sous-ensembles contenus dans B, plus celle de B. Comme cette somme est égale à 1, cela implique que tous les éléments focaux doivent être contenus dans B et que tous les sous-ensembles de Θ que B ne contient pas ont une masse nulle. Cela équivaut à dire que si Bel(B) = 1, alors B contient le coeur de la fonction de crédibilité. De même, si B contient le coeur de la fonction de crédibilité, cela signifie qu’il contient tous les éléments focaux. La somme des masses de tous les éléments focaux étant égale à 1 par définition, il s’en suit que Bel(B) = 1. Reprenons l’exemple 2.3 en situation d’information partielle.
Exemple 2.5. Le coeur de la fonction de crédibilité correspondante est l’union de tous les sous-ensembles ayant une masse non nulle ; donc C = ({a1} ∪ {a1} ∪ {a1, a2}) = {a1, a2}. Comme le seul sous-ensemble qui
contienne C est le cadre de discernement Θ lui-même et il est évident que Bel(Θ) = 1.